北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵 3.3 矩阵的运算

3.3矩阵的运算 3.3.1矩阵的加法 33.2矩阵的数乘 3.3.3矩阵的乘法 3.3.4矩阵的转置 33.5矩阵的共轭 上页

3.3 矩阵的运算 3.3.1 矩阵的加法 3.3.2 矩阵的数乘 3.3.3 矩阵的乘法 3.3.4 矩阵的转置 3.3.5 矩阵的共轭

王3:31矩阵的加法 设有两个mx矩阵A=(an人B=(,那末矩阵 A=B的和记作A+B,规定为 A+B=a,+b a1+b1a12+b2…a1n+b1n 21+b, 2 22 +b 22 2 +b n n = a,+b mI 2 +b 2 +b 牛注:行数,列数相同的矩阵才能相加 这样的矩阵称为同型矩阵。 上页

( ) A+ B = aij + bij 设有两个 矩阵 那末矩阵 = 的和记作 ，规定为 mn A (a ), B (b ), = ij = ij A B A+ B 3.3.1 矩阵的加法               + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 注：行数，列数相同的矩阵才能相加。 这样的矩阵称为同型矩阵

12)(143 例如56与84.同型矩阵 37(39 12)(143)(1+142+3 155 56+84=5+86+4|=1310 (37八(39)(3+37+9丿(616 性质:1.4+B=B+A 工工工 2、(A+B)+C=A+(B+C) 3A=an定义-A=-anl,→A+(-4)=0 4定义A-B=A+(_B) 上页

例如                     3 9 8 4 14 3 3 7 5 6 1 2 与 为同型矩阵.           + + + + + + =           +           3 3 7 9 5 8 6 4 1 14 2 3 3 9 8 4 14 3 3 7 5 6 1 2           = 6 16 13 10 15 5 性质： 1.A+ B = B+ A 2.(A+ B) +C = A+ (B +C) 3.A = [ai j],定 义− A = [−ai j],  A+ (−A) = 0 4.定义A− B = A+(−B)

两个矩阵A=(n)与B=()为同型矩阵并且 中对应元素相等,即 an=bn(=12,,m;j=1,2,…,m 则称矩阵A与B相等记作A=B. 上页

两个矩阵 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即 ( ) ( ) A = aij 与B = bij a b (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n), ij = ij =  =  则称矩阵 A与B 相等,记作 A = B

王332矩阵的数乘 王数k与矩阵的乘积记佩域或北规定为 11 k 12 k n e kA=Ak=kai= 21 22 2n ·· mI a 性质:1AD)A=k( 2(k+D)A=k4+l4 3.k(A+B)=kA+kB 4.1·A=4,0.A=0 上页

[ ] . 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = = m m mn n n i j ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA Ak ka        数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak,规定为 3.3.2 矩阵的数乘 性质： 1.(kl)A = k(lA) 2.(k + l)A = kA+ lA 3.k(A+ B) = kA+ kB 4.1 A = A, 0 A = 0

王333矩阵的乘法 设A=(anl是一个mxs矩阵B=(b)是一个 s×n矩阵,那末规定矩阵A与矩阵B的乘积 是一个m×n矩阵C=(cn),其中 Cn=anb+a12b21+…+ab=∑a1nb k=1 (=1,2,…m;j=1,2,,n) 王并把此乘积记作C=AB 注:当A的列数=B的行数时,才有AB,且乘积 C=AB的行数为A的行数,列数为B的列数 上页

= + + + =  = s k ij ai b j ai b j ai sbsj ai k bkj c 1 1 1 2 2  (i = 1,2, m; j = 1,2,  ,n), 并把此乘积记作 C = AB. 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 ( ) A = aij m s ( ) B = bij sn mn ( )ij C = c A B 3.3.3 矩阵的乘法 注：当A的列数＝B的行数时，才有AB，且乘积 C=AB的行数为A的行数，列数为B的列数

注意1矩阵乘法不满足交换律,即: AB≠B,(4B)≠AB 2两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 11 一 例设A= B 1一1 00 则 2 AB= BA= (22 00 2 故AB≠BA. 特别的,当AB=BA时,则称A与B可交换。 上页

注意 1.矩阵乘法不满足交换律，即： AB  BA, (AB) A B . k k k  2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 例 设       − − = 1 1 1 1 A       − − = 1 1 1 1 B 则 , 0 0 0 0       AB = , 2 2 2 2       − − BA = 故 AB  BA. 特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换

王3矩阵乘法不满足消去律, 9 13 c例设A= 12 71 B= C 24 21 12 55 则 AB=AC= -1010 庄但A≠0,且B≠C 上页

例 设         = 2 4 1 2 A         − − = 2 1 1 3 B 则 , 10 10 5 5         − − AB = AC = 但 A 0, 且B C. 3.矩阵乘法不满足消去律，        − = 1 2 7 1 C

性质:1.(AB)C=A(BC 2k(AB)=(4)B=4(kB) 3.A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA 4.E.A=4 n nxn mxn 5 AminE nxn 5. (KEm)Amxn =kamxn? Amxn (kEn=A 结论:m阶数量矩阵与任意n阶矩阵可交换 上页 圆

性质： 1.(AB)C = A(BC) 2.k(AB) = (kA)B = A(kB) 3.A(B +C) = AB + AC (B + C)A = BA+ CA Em Amn = Amn Amn En = Amn 4. , m n n m n m m n m n A kE A kE A kA     = = ( ) 5.( ) , 结论：n阶数量矩阵与任意n阶矩阵可交换

定义n阶方阵的k次幂为:4k=AA…A 显然:4m=4+ k个A k (4") 例:设4与B为阶价方阵间等式 A2-B2=(4+B)(A-B) 工工工 成立的充要条件是什么? A解:(4+B)(4-B)=42+BA-AB-B, 故A2-B2=(4+B)(A-B)成立的充要条件为 AB= BA 上页

定义n阶方阵的k次幂为： A AA A k =  显然： k m k m k个A A A A + = k m km (A ) = A 设A与B为n阶方阵,问等式 A − B = (A+ B)(A− B) 2 2 成立的充要条件是什么? 例： 解： ( )( ) , 2 2  A+ B A− B = A + BA− AB − B 故 A − B = (A+ B)(A− B) 成立的充要条件为 2 2 AB = BA