经济数学基础 第2章导数与微分 第三单元忌数、微分的概念及四则运算 第一节景教和微分的概念 学习目标 本节课主要讨论导数和微分的概念,通过学习应明确导数与微分的定义,了解 导数的几何意义和经济意义,会求曲线的切线方程;了解导数、微分与连续之间的 关系并熟练背住导数和微分的基本公式 二、内容讲解 本节的主要内容是导数与微分的概念 1.导数概念 个引例:边际成本问题;瞬时速率问题;曲线切线问题 引例1:边际成本问题 C一总成本,q一总产量, 已知C=C(q当q。→40+△时(当自变量产生改变量,相应的函数也产生改变 量) C(q)→C(q0+△g) (成本平均变化率) C(qo+△q)-C(q0) (边际成本) 引例2:瞬时速率问题 路程S是时间的函数S() 当从→+M时,S(O)从S()→>S(+M) 56
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——56—— 第三单元 导数、微分的概念及四则运算 第一节 导数和微分的概念 一、学习目标 本节课主要讨论导数和微分的概念，通过学习应明确导数与微分的定义，了解 导数的几何意义和经济意义，会求曲线的切线方程；了解导数、微分与连续之间的 关系并熟练背住导数和微分的基本公式. 二、内容讲解 本节的主要内容是导数与微分的概念. 1.导数概念 三个引例：边际成本问题；瞬时速率问题；曲线切线问题. 引例 1： 边际成本问题 C—总成本， q —总产量， 已知 C = C(q),当q0 → q0 + q时 （当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变 量） ( ) ( ) C q → C q0 + q ， q C q q C q ( + ) − ( ) 0 0 （成本平均变化率） q C q q C q q + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 （边际成本） 引例 2:瞬时速率问题 路程 S 是时间 t 的函数 S(t) 当 t 从 t → t + t 0 0 时， S(t) 从 ( ) ( ) 0 0 S t → S t + t
经济数学基础 第2章导数与微分 S(t0+M)-S(t0) (平均速率) S(to+△)-S(0) (在时刻的瞬时速率) 引例3:曲线切线问题 考虑曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率 x→)x+△x 时,对应的1→>1+4y 曲线上(x,f(x2) (x0+Ax,/(xo+Ax)两点间割线的斜率为 tanφ (当4x→0时) tan a= lim tang= lim /(xo+ Ax)-f(ro) 称为切线的斜率 C(a=lim C(o +Ag-c(qo) S(= lim s(+4r)-S(o) A f(x)=lim f(x0+△x)-f(x0) 关于函数y=f(x),x0→x+Ax,f(x)→f(x0+△x) lim f(xo+ Ax)-/(o) 考虑极限 定义2.5—导数
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——57—— t S t t S t ( + ) − ( ) 0 0 （平均速率） t S t t S t t + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 （在 0 t 时刻的瞬时速率） 引例 3：曲线切线问题 考虑曲线 y = f (x) 在 0 x = x 处的切线斜率. 当 x → x + x 0 0 时，对应的 y → y + y 0 0 曲线上 ( , ( )) 0 0 x f x 和 ( , ( )) 0 0 x + x f x + x 两点间割线的斜率为 x f x x f x + − = ( ) ( ) tan 0 0 . （当 x →0 时） x f x x f x x x + − = = → → ( ) ( ) tan lim tan lim 0 0 0 0 称为切线的斜率. q C q q C q C q q + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 t S t t S t S t t + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 关于函数 y = f (x)， x → x + x 0 0 ， ( ) ( ) 0 0 f x → f x + x 考虑极限 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 定义 2.5——导数
经济数学基础 第2章导数与微分 又设函数y=f(x)在点x的邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得改变量 时,函数y取得相应的改变量: f(x0+△x)-f(x0) lim Ay= im (o+Ax)-f(o) 若当Ax→0时,两个改变量之比Ax的极限△xa0 在,则称函数y=f(x)在点处可导,并称此极限值为y=f(x)在点x处的导数, 记为f(x0)或x=或0x=或 即(x)(xn+△x)-f(x) 若极限不存在,则称函数y=f(x)在点处不可导 在理解导数定义时要注意:导数也是逐点讨论的. 2.导数定义的意义 数量意义:变化率 经济意义:边际成本 几何意义:切线的斜率 3微分的概念 设=J(x),导数drdr=y=f(x) 两边同乘d,得到函数的微分,微分 dy=df(x)=y'dx=f(x)dx 4.导数公式 (c)=0 (sin x)=cosx (x“)=a (cos x)=-sin x (a)=a hn (x) 5.微分公式 58
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——58—— 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的邻域内有定义，当自变量 x 在点 0 x 处取得改变量 x( 0) 时，函数 y 取得相应的改变量： ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 若当 x →0 时，两个改变量之比 x y 的极限 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存 在，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导，并称此极限值为 y = f (x) 在点 0 x 处的导数， 记为 ( ) 0 f x 或 0 x x y = 或 0 d d x x x f = 或 0 d d x x x y = ，即 ( ) 0 f x = x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 若极限不存在，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 处不可导. 在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的. 2.导数定义的意义 数量意义：变化率 经济意义：边际成本 几何意义：切线的斜率 3.微分的概念 设 y = f (x)，导数 ( ) d d ( ) d d y f x x f x x y = = = 两边同乘 dx ，得到函数的微分，微分 dy = df (x) = y dx = f (x)dx 4.导数公式 x x x x c 1 (ln ) ( ) ( ) 0 1 = = = − x x x x a a a x x x x (e ) e ( ) ln (cos ) sin (sin ) cos = = = − = 5.微分公式
经济数学基础 第2章导数与微分 由导数公式可以得到微分公式 (x")=axa-l d(r)=a -ldr (hn x)'=I d(In x) (sin x)=cos x d(sin x)=cos xdx. (cos x)=-sin x d(cos x)=-sin xdx (ay=a hna d(a)=a hn adx. (e =e d(e=adx 问题思考:设y=c,则 y'=(c)=0证明如下:因为y=f(x)=C,f(x+Ax)=C,f(x)=c f(x+Ar)-f(x)c-c lim /(x+ Ar)-f(x) =lim -=0 于是 、例题讲解 例1y=f(x)=x,求f(,f3,f(-2) 思路:先求f(x),再求f(x0) 解:因为f(x)=x2,f(x+△x)=(x+△x)2 im(x+△x)-f(x) lim (r+ Ax)2-x2 2x△x+(△x)2 2 所以f(x)=(x)=2x,f"(①)=2,f"()=6,f"(-2)=-4 例28(x)=hx,求8(008(0.5) 9
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——59—— 由导数公式可以得到微分公式 (x ) x d(x ) x dx −1 −1 = = ； x x x x x d 1 d(ln ) 1 (ln ) = = (sin x) = cos x d(sin x) = cos xdx ； (cos x) = −sin x d(cos x) = −sin xdx a a a a a a x x x x x ( ) = ln d( ) = ln d ； a x x x x x (e ) = e d(e ) = d 问题思考：设 y = c, 则 y = ? y = (c) = 0 证明如下：因为 y = f (x) = c, f (x + x) = c, f (x) = c ， 0 ( ) ( ) = − = + − x c c x f x x f x ；于是 lim 0 ( ) ( ) lim 0 0 = − = + − → → x c c x f x x f x x x 三、例题讲解 例 1 2 y = f (x) = x ，求 f (1), f (3), f (−2). 思路：先求 f (x) ，再求 ( ) 0 f x . 解：因为 2 2 f (x) = x , f (x + x) = (x + x) x x x x x x x x x x f x x f x x x x 2 2 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim 2 0 2 2 0 0 = + = + − = + − → → → 所以 f (x) (x ) 2x 2 = = ， f （1）= 2，f （3）= 6，f （− 2）= −4 例 2 g(x) = ln x ，求 g (10), g (0.5)
经济数学基础 第2章导数与微分 解:因为g(x)=hxg(x+Ax)=hx+Ax) Ax ln(x+△x)-ln +△x X+△x Iim(In In[ lim(x+Axx I 所以 g(0=108 导数公式 求导步骤:1、求f(x);;2、求 注意:x)是(x)的导函数,函数在x处的导数值(x)=f(m 四、课堂练习 lim f() 练习1设f(0)=0,且f(0)=0存在,求0x lim f(x) 利用已知条件对x0x进行适当的变形,再用导数定义求极限 60
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——60—— 解: 因为 g(x) = ln x, g(x + x) = ln( x + x) x x x x x x x x x x x x x x x x x g x x g x → → → → + = + = + − = + − 1 0 0 0 0 lim (ln ) ln 1 lim ln( ) ln lim ( ) ( ) lim x x x x x x x x x 1 ln e ln[ lim ] 1 1 1 0 = = + = → （ ） ，所以 , (0.5) 2 10 1 g (10) = g = 导数公式： x x 1 (ln ) = 求导步骤：1、求 f (x) ；；2、求 0 ( ) x x f x = . 注意： f (x) 是 f (x) 的导函数，函数在 0 x 处的导数值 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = = 四、课堂练习 练习 1 设 f (0) = 0 ，且 f (0) = 0 存在，求 x f x x ( ) lim →0 . 利用已知条件对 x f x x ( ) lim →0 进行适当的变形，再用导数定义求极限
经济数学基础 第2章导数与微分 lim /(x)= lim /(x)-/(o) x0xx0x-0.由导数定义,上式极限存在且就是函数f(x)在x=0处的导 数,即为f(0) 练习2设函数f(对)在x=0处可微,求(x) 利用已知条件,函数可微一定连续可以证明函数可导与可微是等价的,可导一定连续,反 则不然因为函数可微一定连续,所以x0 lm f(x)=f(o) 五、课后作业 1.根据导数定义,求下列函数的导数 (1)y=3x+2:(2)y=√x 2.求下列函数在指定点处的导数: (1)y=x,x0=3;(2)y=hx,x0=e:(3)y=2,x=0;(4)ssmx0s 求下列函数的导数和微分: (1)f(x)=5.(2) )f(x)=x1 ;(4)f( )=x 4求曲线y=如x在(1,0)点处的切线方程 5在抛物线y=x上求一点,使得该点处的切线平行于直线y=4x 1.(1) (2) 2.(1)27:(2) (3)ln2;(4)
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——61—— 0 ( ) (0) lim ( ) lim 0 0 − − = → → x f x f x f x x x .由导数定义，上式极限存在且就是函数 f (x) 在 x = 0 处的导 数，即为 f (0) 练习 2 设函数 f (x) 在 x = 0 处可微，求 lim ( ) 0 f x x→ . 利用已知条件，函数可微一定连续.可以证明函数可导与可微是等价的，可导一定连续，反 之则不然.因为函数可微一定连续，所以 lim ( ) (0) 0 f x f x = → 五、课后作业 1.根据导数定义，求下列函数的导数： （1） y = 3x + 2 ；（2） y = x 2.求下列函数在指定点处的导数： （1） , 0 3 3 y = x x = ；（2） ln , e y = x x0 = ；（3） y = 2 , x0 = 0 x ；（4） 3 sin , 0 y = x x = 3.求下列函数的导数和微分： （1） f (x）= 5 ；（2） x f x ) 2 1 ( ）= ( ；（3） 11 f (x）= x ；（4） f (x）= lg x 4.求曲线 y = ln x 在（1，0）点处的切线方程. 5.在抛物线 2 y = x 上求一点，使得该点处的切线平行于直线 y = 4x −1 1．（1） y = 3 ；（2） x y 2 1 = ； 2．（1）27；（2） e 1 ；（3）ln2；（4） 2 1
经济数学基础 第2章导数与微分 In 2 3.(1)0;(2) 2 (3)11x;(4)xln10 (2,4) 62—
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——62—— 3．（1）0； （2） ln 2 2 1 x − ； （3） 10 11x ； （4） ln 10 1 x . 4． y = x −1 ；5． (2,4)
经济数学基础 第2章导数与微分 第二节导数的四则运法则 、学习目标 通过本课程的学习,我们要熟练掌握导数的四则运算法则,并且能够熟练运用 四则运算法则计算函数的导数与微分 1.导数的加法法则 设(x).v(x)在点x处可导,则(x)±vx)在点x处可导亦可导,且 ((x)±v(x)=n'(x)±v'(x),(cv(x)=c(x)(c为常数) 2.加法公式证明 求证导数的加法法则(a(x)+vx)=n(x)+(x) 证:设f(x)=(x)+v(x),则f(x+Ax)=(x+Ax)+v(x+Ax),f(x)=(x)+v(x) f(x)=((x)±v(x)y=m<(x+△x)-/(x) =lnrl(x+△x)-(x)V(x+△x)-v(x) =inl(x+△xu+mY(x+△x)-v(x) Ax→0 Ax→0 l(x)+v'(x) 由已知条件,a(xv(x)均可导 3.导数的乘法法则 设(x)v(x)在点x处可导,则(x)1v(x)在点x处可导亦可导,且 (u(x)v(x)=(x)v(x)+u(x)'(x)(cv(x)=c'v(x)+cv'(x)=cv'(x) 4导数除法法则 u(x 设a(x).(x)在点x处可导,则v(x)在点x处可导亦可导,且 63
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——63—— 第二节 导数的四则运算法则 一、学习目标 通过本课程的学习，我们要熟练掌握导数的四则运算法则，并且能够熟练运用 四则运算法则计算函数的导数与微分. 1.导数的加法法则 设 u(x), v(x) 在点 x 处可导，则 u(x) v(x) 在点 x 处可导亦可导，且 (u(x) v(x)) = u (x) v (x)，(cv(x)) = cv (x) （ c 为常数） 2.加法公式证明 求证导数的加法法则 (u(x) + v(x)) = u (x) + v (x) 证：设 f (x) = u(x) + v(x) ，则 f (x + x) = u(x + x) + v(x + x) ， f (x) = u(x) + v(x) ； x f x x f x f x u x v x x + − = = → ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) lim 0 ] ( ) ( ) ( ) ( ) lim [ 0 x v x x v x x u x x u x x + − + + − = → x v x x v x x u x x u x x x + − + + − = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 = u (x) + v (x) 由已知条件， u(x), v(x) 均可导. 3.导数的乘法法则 设 u(x), v(x) 在点 x 处可导，则 u(x) v(x) 在点 x 处可导亦可导，且 (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x)，(cv(x)) = c v(x) + cv (x) = cv (x) 4.导数除法法则 设 u(x), v(x) 在点 x 处可导，则 ( ) ( ) v x u x 在点 x 处可导亦可导，且
经济数学基础 第2章导数与微分 u(x), u(xv(x-u(x)v(x) v(x)≠0 问题思考:设v(x)在点x处可导且vx)≠0,则m(+)=? v(x) (c)v(x)-cv'(x) -cv(x) v(x)(x).解:由导数的除法法则v(x) v2(x) 、例题讲解 例1设函数y=5x-4x+1,求y=? 分析:现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式,利用上述法则可求它们组 合后函数的导数 解:y=(5x3)-(4x)+()(利用加法法则) =5(x3)-4(x)+1(cv(x)’=cv'(x) 15x2-4(利用导数公式(x)=a“,(c)=0) 例2设 4 求 解:y=(4x)y-(√y+(2hx)y=4x)-(ky+2x) (提示 =3+cOSx 例3设 求 y’=(3x)+( 4(提示(a2)=aha(cox)=-smx
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——64—— ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 2 v x u x v x u x v x v x u x − = （ v(x) 0 ） 问题思考：设 v(x) 在点 x 处可导且 v(x) 0 ，则 ) ? ( ) ( = v x c ( ) ( ) ) ( ) ( 2 v x cv x v x c − = .解：由导数的除法法则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 2 2 v x cv x v x c v x cv x v x c − = − = 三、例题讲解 例 1 设函数 5 4 1 3 y = x − x + ，求 y = ? 分析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组 合后函数的导数. 解： (5 ) (4 ) (1) 3 y = x − x + （利用加法法则） 5( ) 4( ) 1 3 = x − x + (cv(x)) = cv (x) =15 4 2 x − （利用导数公式 ( ) ,( ) 0 1 = = − x x c ） 例 2 设 y 4x x 2ln x 3 = − + ，求 y . 解： (4 ) ( ) (2ln ) 3 y = x − x + x 4( ) ( ) 2(ln ) 3 = x − x + x （提示 x x x x 1 (ln ) 2 1 ( ) = = ） 2 = 12x x x 2 2 1 − + 例 3 设 4 cos 3 x y x = + ，求 y . 解： ) 4 cos = (3 ) + ( x y x （提示 a a a x x x x ( ) = ln (cos ) = −sin ）
经济数学基础 第2章导数与微分 3h3+(-snx)=3ln3 h√x 例4 2 +-In x hn√x=h In x 解:因 的3x2×2x(其中常数的导数为0) (由对数的性质: 所以 例5设y 求 解:利用导数的乘法法则,y=(x2)e+x2(e)(利用导数公式(ey=e) 例6 求 y 解:由导数基本公式(x)y=4x 利用导数的乘法法则 2x=4 说明无论用哪种方法其结果是唯一的. 例7 求 解:将函数看成x 利用乘法法则求导 sin x+ x coS x y=(,sin x+-(sn x)=--sinx+-cosx x osx- x2 方法2>利用导数的除法法则求导 65
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——65—— ( sin ) 4 1 3 ln 3 x x = + − 4 sin 3 ln 3 x x = − 例 4 x x y ln 2 1 3 + − = ， y = ? 解：因为 x x y ln 2 1 2 1 2 3 = − + （由对数的性质： x x ln x 2 1 ln ln 2 1 = = ） 所以 x y x 2 1 2 3 2 = + （其中常数的导数为 0） 例 5 设 x y x e 2 = ，求 y 解：利用导数的乘法法则， ( ) e (e ) 2 2 = + x x y x x （利用导数公式 x x (e ) = e ） 2 e e e (2 ) 2 x x x x x x x = + = + 例 6 4 y = x ，求 y . 解： 由导数基本公式 4 3 (x ) = 4x 利用导数的乘法法则 4 2 2 y = x = x x 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 y = (x ) = (x x ) = (x ) x + x (x ) = 2x x + x 2x = 4x 说明无论用哪种方法其结果是唯一的. 例 7 x x y sin = ，求 y . 解： 将函数看成 x x y sin 1 = ，利用乘法法则求导. 2 2 sin cos cos 1 sin 1 (sin ) 1 ) sin 1 ( x x x x x x x x x x x x y − + = + = − + = 利用导数的除法法则求导