第8章二次型 庄81三次型及其矩阵表示 王.3惯性定理和规范形 庄·84实二次型的正定性 85二次曲面的分类 ●总结习题课 上页
第8章 二次型 8.1 二次型及其矩阵表示 8.2 二次型的标准形 8.3 惯性定理和规范形 8.4 实二次型的正定性 8.5 二次曲面的分类 总结 习题课
在上一节中,数域P上的任一二次型,都可经过 适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一 问题:能否找到有关标准形的不变量? 上页
在上一节中，数域P上的任一二次型，都可经过 适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。 问题：能否找到有关标准形的不变量？
庄83.1惯性定理 个实二次型,既可以通过正交变换化为标 准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形 中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩. 工工工 下面我们限定所用的变换为实变换,来研究 中二次型的标准形所具有的性质 上页
8.3.1 惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理1(惯性定理)设有实二次型°=xAx,它的秩 为r,有两个实的可逆变换 x=Oy及x=Pz 使=k1y2+k2y2+…+k,y2(k≠0 牛及∫=1计2+42+…+1x2(4≠0 则k1,…,k,中正数的个数与九1,…,,中正数的个数 相等 工工 上页
( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax = + + + = + + + = = =
王 定义8-4:在实二次型的标准形中,正平方项的项数p 称为二次型的正惯性指数;负平方项的项数q=r-p( cr为二次型的秩)称为二次型的负惯性指数;它们的 差pq=2pr称为二次型的符号差 注:类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、 负惯性指数以及符号差。 千的充分必要条件是:它们具有相同的秩和正惯性指数 推论8-2两个实对称矩阵合同的充分必要条件是: 它们具有相同的秩和正惯性指数。 上页
定义8-4：在实二次型的标准形中，正平方项的项数p 称为二次型的正惯性指数；负平方项的项数q=r-p（ r为二次型的秩）称为二次型的负惯性指数；它们的 差p-q=2p-r称为二次型的符号差。 注：类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、 负惯性指数以及符号差。 推论8-1 两个实二次型可以经过非退化线性变换互相变换 的充分必要条件是：它们具有相同的秩和正惯性指数。 推论8-2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是： 它们具有相同的秩和正惯性指数
生832实二次型的规范形 实二次型经过适当的非退化线性变换(包括改变变量 的次序),总可以变为标准形 ∫=n2+…+dny2-ln+y2-…-d (d4>0,=-12…,r),r是的秩。 上页
8.3.2 实二次型的规范形 实二次型经过适当的非退化线性变换（包括改变变量 的次序），总可以变为标准形 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 0, 1,2, , p p p p r r i f d y d y d y d y d i r r f = + + − − − + + = ， 是 的秩
由于在实数域中,正数可以开平方,在作一次非退化 线性变换 41 →f=z+…+ 2 2 2 P p+1 y 此为实二次型的规范形。 yr+1=死r+1 n n 上页
由于在实数域中，正数可以开平方，在作一次非退化 线性变换 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r n n y z d y z d y z y z + + = = = = 2 2 2 2 1 1 p p r f z z z z = + + − + − − 此为实二次型的规范形
王 定理8-5任一实数域上的n元二次型,总可以经过非 c退化线性变换变为规范形,且规范形是惟一的。 上定理86任一实对称矩阵A必合同于一个形如 E E 0 的对角矩阵,其中p+q=r=R(A),p是正惯性指数, q是负惯性指数。 上页
定理8-5 任一实数域上的n元二次型，总可以经过非 退化线性变换变为规范形，且规范形是惟一的。 定理8-6 任一实对称矩阵A必合同于一个形如 的对角矩阵，其中p+q=r=R(A)，p是正惯性指数， q是负惯性指数。 1 1 1 0 1 0 0 p q E E − − = −
庄833复二次型的规范形 王复二次型经过适当的非退化线性变换(包括改变量 庄f=dn2+12+…+d,, (≠0,=1,2,…,r),r是的秩。 上页
8.3.3 复二次型的规范形 复二次型经过适当的非退化线性变换（包括改变变量 的次序），总可以变为标准形 ( ) 2 2 2 1 1 2 2 , 0, 1,2, , r r i f d y d y d y d i r r f = + + + = ， 是 的秩
由于复数总可以开平方,再作一次非退化线性变换 y1 如1 →f 十 y 此为复二次型的规范形。 yr+1=死r+1 n n 上页
由于复数总可以开平方，再作一次非退化线性变换 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r n n y z d y z d y z y z + + = = = = 2 2 2 1 2 r f z z z = + + + 此为复二次型的规范形