习题课 典型例题 、特征值与特征向量的求法 二、已知A的特征值,求与A 相关矩阵的特征值 上页
习题课 典 型 例 题 一、特征值与特征向量的求法 二、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值 A A
三、求方阵A的特征多项式 四、关于特征值的其它问题 五、判断方阵A可否对角化 六、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵 上页
三、求方阵 的特征多项式 四、关于特征值的其它问题 五、判断方阵 可否对角化 六、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵 A A
一、特征值与特征向量的求法 第一步计算A的特征多项式; 第二步求出特征多项式的全部根,即得A的全部 特征值; 第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组, 牛求出基础解系,即得该特征值的特征向量 上页
第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量． 一、特征值与特征向量的求法 第一步 计算 A 的特征多项式； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 的全部 特征值； A
324 例1计算阶实矩阵4=202的全部特征值 423 和特征向量 解第一步计算A的特征多项式 -3-2-4 f()=E-A=-24-2 4-2-3 =(-8)(+1 上页
. 4 2 3 2 0 2 3 2 4 3 和特征向量 计 算 阶实矩阵 的全部特征值 例 1 A = 4 2 3 2 2 3 2 4 ( ) − − − − − − − − = − = f E A ( 8)( 1) . 2 = − + 解 第一步 计算 A 的特征多项式
第二步求出特征多项式f(4)的全部根,即A 的全部特征值. 令f(4)=0,解之得A1=8,2=3=-1,为4的 全部特征值. 第三步求出A的全部特征向量 对几1=8,求相应线性方程组(1E-A)x=0 c的一个基础解系 上页
. ( ) , 的全部特征值 第二步 求出特征多项式f 的全部根 即A . ( ) 0, 8, 1, 1 2 3 全部特征值 令f = 解之得 = = = − 为A的 . 1 8, ( 1 ) 0 的一个基础解系 对 = 求相应线性方程组 E − A x = 第三步 求出 A 的全部特征向量
52 x1-2x2-4x3=0, x1+8x2-2x3=0, 4x1-2x2+5x3=0, 化简求得此方程组的一个基础解系 2 a1 2 属于A1=8的全部特征向量为k1a1(k1≠0为实 数) 上页
− − + = − + − = − − = 4 2 5 0, 2 8 2 0, 5 2 4 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x . 2 1 2 1 = 化简求得此方程组的一个基础解系 ). 1 8 1 1 ( 1 0 数 属于 = 的全部特征向量为k k 为实
同理对礼2=3=-1,求相应线性方程组(2E 王Ax=0一个基础解系 -4x1-2x2-4x3=0, -2x1-x2-2x3=0, 4x1-2x2-4x3=0, 求解得此方程组的一个基础解系 c,=0 2 a2 =-2 0 上页
. 0 2 1 , 1 0 1 : 4 2 4 0, 2 2 0, 4 2 4 0, ) 0 : 1, ( 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 = − − = − − − = − − − = − − − = = = = − − 求解得此方程组的一个基础解系 的一个基础解系 同理对 求相应线性方程组 x x x x x x x x x A x E
于是A的属于2=元3=-1的全部特征向量为 k22+k33 k2,k3是不全为零的实数 从而4的全部特征向量为k1a1;k2a2+k3a3,这 里k1≠0为实数,k2,k3是不全为零的实数 上页
, . , 1 2 3 2 2 3 3 2 3 是不全为零的实数 于是 的属于 的全部特征向量为 k k k k A + = = − 0 , , . ; , 1 2 3 1 1 2 2 3 3 里 为实数 是不全为零的实数 从而 的全部特征向量为 这 k k k A k k k +
压=、已知A的特征值,求与4相关 例2设n阶方阵的全部特征值为1,2,…,n,属 于的特征向量为,求P1AP的特征值与特征向 量. 工工工 解首先证明A与P1AP相同的特征值只需证明 它们有相同的特征多项式 ∫PA(4)=E-PAP =dP-P-PAP 上页
. , , , , , 1 1 2 量 于 的特征向量为 求 的特征值与特征向 设 阶方阵 的全部特征值为 属 P AP n A i i n − 例 2 解 . . 1 它们有相同的特征多项式 首先证明A与P − AP有相同的特征值 只需证明 f AP E P AP P 1 1 ( ) − − = − P P P AP −1 −1 = − 二、已知 的特征值，求与 相关 矩阵的特征值 A A
P-lhE-AP)=uE-A=f(), 九1,几2,…,元n就是P1AP的全部特征值 其次求P1AP属于的特征向量 ∴Aa;=几;a1, 即(;E-A)c;=0, X (E-P AP)ai=( Ap)a P(E-aPais 上页
= P E − A P − 1 E A f (), A = − = , , , . 1 1 2 n就是P − AP的全部特征值 . 其次求P −1AP属于i的特征向量 , A i = i i i E P AP i ( ) −1 又 − ( − ) = 0, 即 i E A i i P P P AP i ( ) −1 −1 = − ( ) , 1 = P i E − A Pi −