62、相似矩阵 621、线性变换在不同基下的矩阵 622、相似矩阵的性质 上页
6.2、相似矩阵 6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵 6.2.2、相似矩阵的性质
621、线性变换在不同基下的矩阵 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵, 那么这些矩阵之间有什么关系呢? 午定理1设线性空间H中取定两个基 a1,a2,…,Cn;B1,B2Bn, 王由基a1a,,a,到基AB,A2,,B的过渡矩阵为 上P,中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为 A和B,那末B=PAP. 上页
同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵 , , , ; , , , , 1 2 n 1 2 n 定理１ 设线性空间 V 中取定两个基 由基 到基 的过渡矩阵为 ， 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为 和 ，那末 n , , , 1 2 n , , , 1 2 V . 1 B P AP − = P T A B
证 明 ,B2 2 P T 12C, n 2 n T B1 月2 B )= B1 B B 于 是 B1 B2 B T (A B B2 T 2 r[( P
于是 ( ) ( ) n B T n , , , , , , 1 2 = 1 2 [( , , , ) ] = T 1 2 n P = T(1 , 2 , , n )P 证明 (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )P ( , , , ) ( , , , ) , T 1 2 n = 1 2 n A T(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )B
102 n DAP =(B1,B2,…,B)PAP 王因为A,月2,…,B,线性无关 所以B=PAP 证毕 定理表明:B与A相似,且两个基之间的过渡 矩阵P就是相似变换矩阵 上页
= (1 , 2 , , n )AP ( n )P AP 1 1 2 , , , − = 因为 1 , 2 , , n 线性无关， 所以 B P AP. −1 = 证毕. 定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 就是相似变换矩阵． B A P
例1设H2中的线性变换在基aa2下的矩阵为 1112 2122 求T在基a2,a1下的矩阵 01 解(a2)=(a1a 10 工工 01 即 01 P= 求得 10 上页
例 1 , . , , 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 求 在 基 下的矩阵 设 中的线性变换 在 基 下的矩阵为 T a a a a A V T = , 1 0 0 1 ( , ) ( , ) 2 1 1 2 解 = , 1 0 0 1 即 P = , 1 0 0 1 1 = − 求得 P
于是7在基(a2,a1)下的矩阵为 01/an1a2)∥01 B= 10 2122 10 a21a2Y01 (11 (12 10 2221 = 1211 上页
于是T在基(2 ,1 )下的矩阵为 = 1 0 0 1 1 0 0 1 21 22 11 12 a a a a B . 12 11 22 21 = a a a a = 1 0 0 1 11 12 21 22 a a a a
王定义1设4,B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P,使 PAP=B 则称B是4的相似矩阵或说矩阵A与B相似对A进 行运算P1AP称为对进行相似变换可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 注PAP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 王初等列变换,只是对初等变换的要求更高,即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此,相似变换是一种特殊的初 等变换矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形 上页
. , , . , 1 , , , 1 1 称为把 变 成 的相似变换矩阵 行运算 称为对 进行相似变换可逆矩阵 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 对 进 定 义 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 A B P AP A P B A A B A P AP B A B n P − − = 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形. 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 注 P −1 AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系 (1)反身性A与A本身相似 (2对称性若A与B相似,则B与A相似 (3)传递性若A与B相似,B与C相似 则A与C相似 王定理2m维线性空间上的一个线性变换G在V的 不同基下的矩阵是相似矩阵 上页
A与A本身相似. 若A与B相似,则B与A相似. . , , 则 与 相似 若 与 相似 与 相似 A C A B B C (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性 矩阵之间的相似关系具有如下等价关系 不同基下的矩阵是相似矩阵 定理2.n维线性空间V上的一个线性变换σ在V的
生三、相似矩阵与相似变换的性质 生1.4与B相似则k=kB 2相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。 当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。 3若4与B相似则4m与B相似(m为正整数) T 4. P-(,A2)P=P-A,PP4,P 上页
3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 二、相似矩阵与相似变换的性质 2.相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 P (A A )P P A PP A2 P 1 1 1 1 2 1 4. − − − = 1.A与B相似,则det(A) = det(B)
王sP(4+24)P=,PAP+P4P 其中k1,k2是任意常数 生定理2若阶矩阵与相似则4与F的特征多项 式相同从而A与B的特征值亦相 同 王证明4与B相似 →彐可逆阵P,使得PAP=B 工工工 B-hE=P-lAP-P(aE)P P(A-aEP =PA-E P =A-NE 上页
证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2 P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 5. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 2 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B