55欧几里得空间 、内积 、标准正交基 三、施密特正交化 四、正交矩阵与正交变换 上页
5.5 欧几里得空间 • 二、标准正交基 • 三、施密特正交化 • 四、正交矩阵与正交变换 • 一、内积
一、内积 二回忆:R3 ab=abc0s0,表示ab的夹角 观=√a 若a=a1i+a2j+a3k, 6=b,i +b,j+b3k 则a·b=a1b+a2b2+ab3 上页
回忆: 3 R a b a b cos , = 表示a,b的夹角. a a a = , , 1 2 3 1 2 3 b b i b j b k a a i a j a k = + + 若 = + + a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 则 一、内积
推广到n维实向量空间R”: 定义1设有n维向量 b B= b 令(a,B)=a1+a2b2+…+anb 称(a,B)为向量a与的内积 上页
定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1 = = n bn b b a a a ( ) = a1b1 + a2b2 ++ anbn 令 , 称(, )为向量 与的 内积 . 推广到n维实向量空间 : n R
Ⅻ说明 1(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广,但是没有3维向量直观的几何意义 2内积是向量的一种运算如果a,F都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 (a, B)=aB=Ba 上页
说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n 4) ( , ) . , : 2 , , T T = = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列
内积的运算性质 (其中a,B,y为n维向量,为实数) (1)(a,B)=(B,a (2)(ka,B)=k(a,B (3)(a+B,y)=(a,y)+(,y; (4)(a,a)20、(a,a)=0当且仅当a=0 R"中定义1的内积有时称为标准内积 上页
内积的运算性质 (其中, , 为n维向量,k为实数): (1) (, ) = ( ,); (2) (k, ) = k(, ); (3) ( + , ) = (, )+ ( , ); (4)(,) 0,(,) = 0当且仅当 = 0. 中定义1的内积有时称为标准内积. n R
王抽象定义一般线性空间的内积 王定义2设是实数R上的线性空间若对中 任意两向量a,B,都有唯一的实数与之对应该 实数记作(a,B),它满足上述性质(1)-(4,其中 王aB为中的任意向量为任意的实数则称 (a 定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间, 简称欧氏空间 上页
定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间, 简称欧氏空间. 抽象定义一般线性空间的内积: ( , ) . , , , , ( , ), (1) (4), , , , . 为向量 与 的内积 为 中的任意向量 为任意的实数 则称 实数记作 它满足上述性质 其中 任意两向量 都有唯一的实数与之对应 该 设 是实数域 上的线性空间 若对 中 V k V R V − 定义2
例1在R中,设a=(a1,a2)y,B=(b,b2),令 (,B)=a1-b1-ab2+31b2 亦为R中的内积 例2设C[01是定义在[0,1全体实连续函数 构成的线性空间,对f(x,g(x)∈C|0,1,令 (, g)=f(x)g(x)dx c利用定积分的性质可证明这是一内积 上页
( ) ( ) . ( , ) 3 , , , , , 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 亦为 中的内积 在 中 设 令 R a b a b a b a b R a a b b T T = − − + = = 例 1 . ( , ) ( ) ( ) , ( ), ( ) [0,1], [0,1] [0,1] 1 0 0 0 利用定积分的性质可证明这是一内积 构成的线性空间 对 令 设 是定义在 上全体实连续函数 = f g f x g x dx f x g x C 例 2 C
庄定义3令a=(aa 称a为n维向量a的长度(或范数) 王注向量的长度具有非负性: 即当a≠0时,a>0;当a=0时,a=0; 称长度是的向量为单位向量 对任一非零向量可将其单位化:= B R中,在标准内积下向量的长度为 a=a,a)=a2+a2+…+an 上页
定义3 令 = (, ), 称 为n维向量的 长度 (或 范数 ). 注 向量的长度具有非负性： 即当 0时, 0;当 = 0时, = 0; 对任一非零向量可将其单位化: . = 称长度是1的向量为单位向量. ( , ) . 2 2 2 2 = = a1 + a ++ an 中,在标准内积下向量的长度为: n R
为引入夹角的概念 定理1 Cauchy- Schwarz不等式 设V是欧氏空间,va,B∈V,有 (a,)≤aB 其中等号成立的条件是与线性相关 定义4在欧氏空间中向量a,B之间的夹角 a,B)=arco0(aB≠0) 定义5设是欧氏空间对a,B∈V,若(a,B)=0, 则称a与E正交,记作a⊥B. 注:零向量与任何向量都正交 上页
为引入夹角的概念 定理1 Cauchy-Schwarz不等式 设V是欧氏空间,, V,有 (, ) 定义4 ( ) ( 0) , , arccos , , = 在欧氏空间中向量 之间的夹角( ) , . , , , , 0, ⊥ = 则称 与 正交 记作 设V是欧氏空间 对 V 若 注： 零向量与任何向量都正交. 其中等号成立的条件是与线性相关. 定义5
定理2在n维欧氏空间中,成立 1.a+B≤a+B; 2当a⊥)时,a+B2=a2+2 上页
定理2 在n维欧氏空间中,成立 1. + + ; 2. , . 2 2 2 当 ⊥ 时 + = +