王42线性相关性 王42.1线性相关,线性无关 定义4:给定向量组4:a1,a2,,an, 如果存在不全为零实数1,k2,…,k 使k1a1+k2a 2 ++k =0 王注称向量组线性相关否则称向量组线性无关 一个向量组a1,a,…an,或者线性相关 牛或者线性无关二者必居其一 几何意义:()两向量线性相关:两向量共线 (2)三向量线性相关:三向量共面 上页 圆
4.2 线性相关性 A , A . 0 , , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 称向量组 线性相关 否则称向量组 线性无关 使 如果存在不全为零实数 给定向量组 + + + m m = m m k k k k k k A 定义4： 或者线性无关二者必居其一。 一个向量组 ，或者线性相关 . , , , , 1 2 m 注 几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 4.2.1 线性相关, 线性无关
解释Q)给定两个非零向量,a2 如果线性相关,则存在不全为零 的实数k,k2,使k1ax1+k2a2=0 不放设≠0,于是a=k2a 生这两个向量成比钢,几何上a,共线 (2)自己证明:三向量线性相关:三向量共面 工工 上页
这两个向量成比例，几何 上 ， 共线。 不放设 ，于是 的实数 使 如果线性相关，则存在不全为零 解释（）给定两个非零向量 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 0 , , 0 1 , k k k k k k k = − + = (2)自己证明 ：三向量线性相关：三向量共面
例1:用定义判断线性相关性 (1)向量O,a,B,y线性相关。 (2)向量a,a,B,y线性相关。 结论包含零向量的任何向量组一定线性相关。 至少有两个向量相同的任何向量线性相关。 任何一个非零向量一定线戋性无关 上页
例1：用定义判断线性相关性。 (1) 向量 o, , , 线性______关。 (2) 向量 , , , 线性______关。 相 相 任何一个非零向量一定线 性 至少有两个向量相同的任何向量线性相关。 结论 包含零向量的任何向量组一定线性相关。 无关
王42线性相关性的刻画 定理42向量组G1,a2,,Om(m≥2)线性相关 予少有一个向量可由其余m1个向量线性表示 证(必要性)设向量组n,a3,,an线性相关 王存在一组不全为零实数,k,…,k m 9 使k1a1+k2a2+…+knan=0 工工工 不放设k,≠0,于是 M-,a1一…、在 i+1 k n c由其余m-1个向量线性表示。 上页
4.2.1 线性相关性的刻画 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示 定理4-2 向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 0 , , , , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k 使 存在一组不全为零实数 证（必要性）设向量组 线性相关 由其余 个向量线性表示。 不放设 ，于是 m -1 k k k k k k k k k i m i m i i i i i i i i i = − −− − − + + − − 1 1 1 1 1 1 0
(充分性)设c由其余m-1个向量线性表示, 即a1=l1a1+…+la1+l1a1+…+Lnn A于是1a1+…+11+(-1)a1+lm1a1+…+Lan=0 于是向量C1,O2,…,Om(m≥2)线性相关 c推论:向量组a1a2,”,an(m≥2)线性无关 庄<个向量都不能由其余m个向量线性表示 王例2向量组a1,a2,…,am(m2)线性相关 手少有一个向量c1(1<ism)可由其前面 的向量线性表示 上页
i i i i i m m i l l l l m = 1 1 ++ −1 −1 + +1 +1 ++ -1 即 （充分性）设 由其余 个向量线性表示， 于 是l 1 1 ++ l i−1 i−1 + (−1) i + l i+1 i+1 ++ l m m = 0 于是向量 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 推论：向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性无关 任一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表示 至少有一个向量 可由其前面 的向量线性表示 例2: 向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 (1 i m) i
王证:充分性显然,只诬要性 假设向量组ax1,ax2,…,an线性相关 存在一组不全为零实数 15429° 使kC1+k,a,+…+kcn=0 从第m个系数一个一个往前看则 第一个不为零的系数不可能是k1, 中(否则k,a1=0,与k1≠0,a1≠0矛盾) 不妨设第一不为零的系数为k≠01<i≤m),于是 c:= C1一 在e 上a由其前面向量线性表示 上页
证：充分性显然，只证必要性 0 , , , , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k 使 存在一组不全为零实数 假设向量组 线性相关 否则 ，与 ， 矛盾） 第一个不为零的系数不可能是 从第 个系数一个一个往前看，则 ( 0 0 0 , 1 1 1 1 1 k = k k m 由其前面向量线性表示。 不妨设第一不为零的系数 为 ，于是 i i i i i i i k k k k k i m 1 1 1 1 0(1 ) − − = − − −
定理4-3:向量组A:a1,a2,…,an线性无关, 而向量组B:a1,a2,…,an,月线性相关, 则向量g必能由向量组A线性表示,且表示式唯一, 证:由向量组a1,a2,…,an,性相关 则存在一组不全为零效数k,k .k.l 使ka1+k2a2+…+knCn+lB=0 王如果=0,则上式变为 k1+k2C2+…+knOm=0 上页
则向量 必能由向量组A线性表示，且表示式唯一. 定理4-3：向量组 1 2 : , , , A m 线性无关, 而向量组 1 2 : , , , , B m 线性相关, 证：由向量组1 , 2 , , m ，线性相关0 , , , , 1 1 2 2 1 2 k + k + + k + l = k k k l m m m 使 则存在一组不全为零实数 0 0, 1 1 + 2 2 + + = = k k km m l 如果 则上式变为
王而且系数,,”4不全为零, 这与a,a2,…,an线性无关矛盾, 故/≠0 下面再证惟一性。 设=k1ax1+k2a2+…+kna B=1q1+l2a2+…+Lnan 工工工 两式相减得 (k1-L1a1+(k2-l2)a2+…+(kn-Ln)an=0 因为a1,a2,…,an线性无关, 所以系数k1-1=0,k2-L2=0,…,kn-Ln=0
0. , , , 1 2 1 2 l k k k m m 故 这 与 ， ， ， 线性无关矛盾， 而且系数 不全为零， m m m m l l l k k k = + + + = + + + 1 1 2 2 设 1 1 2 2 下面再证惟一性。 （k1 − l 1 )1 + (k2 − l 2 )2 ++ (km − l m ) m = 0 两式相减得 0, 0, , 0, , , , 1 1 2 2 1 2 − = − = m − m = m k l k l k l 所以系数 因 为 线性无关
于是有k,=l1,=1,2, 故胂由a1,a2,…,an线性表示的方法是惟的 上页
故 由 ， 线性表示的方法是惟一的 。 于是有 m ki l i i m , , , 1,2, , . 1 2 = =
4.2.3线性相关性的判断 王定理4-4设m维向量组 a1a2…,an,其中 T 119219° 9n1 T c2=(a12a2,…,an2 E am=(am, a-2m", anm) 上页
( ) ( ) ( ) 1 2 1 11 21 1 2 12 22 2 1 2 4 4 , , , , , , , , , , m T n T n m m m nm n a a a a a a a a a − = = = 定理 设 维向量组 ， ， ， 其中 4.2.3 线性相关性的判断
