北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性空间与线性变换 5.4 线性变换的矩阵

5 4线性变换的矩阵 、线性变换在一组基下的矩阵 ·二、向量的象的坐标 上页

5.4 线性变换的矩阵 • 一、线性变换在一组基下的矩阵 • 二、向量的象的坐标

王一、线性变换在一组基下的矩阵 定理设是数域P上的n维线性空间,a1,a2,…,n 是它的组基,o是的一线性变换,则中任一向量 中的象由基的象G(a)(2),,q(a,所完全确定 工工工 上页

一、线性变换在一组基下的矩阵 ( ), ( ), , ( ) . , , , , , , 1 2 1 2 的象由基的象 所完全确定 是它的组基 是 的一线性变换 则 中任一向量 定理 设 是数域 上的 维线性空间 n n V V V P n            

定义设G是线性空间中的线性变换,在V 中取定一个基a1,a2,…,an,如果这个基在变换 下的象为 (1)=1C1 a,1 21 2+…+n1Cn (a2)=a121+a,2O,+…+an20n o(cn)=a1,1+a,,0,+…+anC n 上页

( ) ( )  ( )       = + + + = + + + = + + + , , , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n nn n n n n n a a a a a a a a a                    定义 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为 V V    n , , , 1 2   

记a(a 19029 n)=(a(a1)o(a2)…σ(an)上式 可表示为 1925 15 a n 12 n 其中 4= 21 22 2n n2 nn 那末,A就称为线性变换矿在基1,C2,,On下的 矩阵 上页

其中 , 1 2 21 22 2 11 12 1               = n n nn n n a a a a a a a a a A         (1 , 2 ,  , n ) = (1 , 2 ,  , n )A 记 (1 ,2 ,  ,n ) = ( (1 ), (2 ),  , (n )), 上式 可表示为 那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵． n A  1 , 2 ,  ,

显然矩阵4由基的象σ(ax1),…,(an唯一确定 反之,设a1,a2…,an是线性空间的一基,A为 任一n阶方阵,则存在唯一的线性变换:Ⅳ→V, 使得 (a1,a2…On)=(012,…,cn)A 事实上,可定义变换σ:V→>如下 a(a,)=∑aak k=1 上页

, ( ), , ( ) . 显然 矩阵A由基的象 1   n 唯一确定 ( , , , ) ( , , , ) . , : , , , , , 1 2 1 2 1 2 A n V V V A n n n               = → 使得 任一 阶方阵 则存在唯一的线性变换 反之 设 是线性空间 的一基， 为 ( ) . : 1 k n k j ak j V V     = = 事实上，可定义变换 → 如下

va∈V设a=∑xc,有 i=1 (a)aC∑xa)=∑x(a i=1 i=1 =((ax1a(ax2,…,o(an 1 =(a1,2.n4x2 en 上页

,设 ,有 1   i n i xi V =   =  () ( ) 1  i n i  xi = = = = n i xi i 1  ( )               = x x x n n   2 1 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) ( , , , ) , 2 1 1 2               = x x x A n n     

即 (12nyx2=(a102¨n)4x2 上式唯一地确定了一个变换a,并且所确定的 变换是以A为矩阵的线性变换 以A为矩阵的线性变换σ由上式唯一确定 上页

( , , , ) ( , , , ) . 2 1 1 2 2 1 1 2               =                           x x x x x x n n n n A            即 . , 变换 是以 为矩阵的线性变换 上式唯一地确定了一个变换 并且所确定的  A  以A为矩阵的线性变换 由上式唯一确定

结论 在Vn中取定一个基后由线性变换σ可唯一地 确定一个矩阵A,由一个矩阵A也可唯一地确定一 个线性变换o. 在给定一个基的条件下线性变换与矩阵是 一对应的 上页

. , ,   个线性变换 确定一个矩阵 由一个矩阵 也可唯一地确定一 在 中取定一个基后 由线性变换 可唯一地 A A Vn . , 一对应的 在给定一个基的条件下线性变换与矩阵是一 结论

例1在P|x中,取基 P1=x,P2=x,PD3=x,P4=1, 求微分运算D的矩阵 解 Dp1=3x2=0p1+3p2+0P3+0p 49 Dp2=2x=0D1+0p2+2p3+0D4 Dp3=1=0p1+0p2+0p3+1p4, DP4=0=0p1+0p2+0p3+0P4, 上页

. , , , 1, [ ] , 3 4 2 2 3 1 4 求微分运算 的矩阵 在 中 取基 D x P x p = x p = x p = p = 例 1 解        = = + + + = = + + + = = + + + = = + + + 0 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 , 2 0 0 2 0 , 3 0 3 0 0 , 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 D p p p p p D p p p p p D p x p p p p D p x p p p p

所以D在这组基下的矩阵为 0000 3000 4= 0200 0010 上页

所以D在这组基下的矩阵为 . 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0               A =