第四章向量空间 4.1n维向量及其运算 4.2线性相关性 4.3向量组的秩 4.4矩阵的秩 4.5齐次线性方程组 4.6非齐次线性方程组 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 1 第四章 向量空间 4.1 n维向量及其运算 4.2 线性相关性 4.3 向量组的秩 4. 4 矩阵的秩 4.5 齐次线性方程组 4.6 非齐次线性方程组
41n维向量及其运算 411n维向量 定义4-1:数域P上的n个有次序的数a1,2,…”,n 所组成的有序数组(a,a2…,an)称为数域P上的一个 n维向量( vector),其中a1称为第个分量 component) 以后我们用小写希腊字母a,B,y…来代表向量。 而用小写拉丁字母a,b,C,…来代表数。 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 2 4.1 n维向量及其运算 4.1.1 n维向量 定义4-1：数域P上的n 个有次序的数 所组成的有序数组 称为数域P上的一个 n 维向量（vector), 其中 称为第i个分量(component) 1 2 , , , n a a a ( ) 1 2 , , , n a a a ai 以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。 而用小写拉丁字母 a,b,c, 来代表数
a=(a1,a2,…,an)也称为维行向量 C 称为n维列向量 分量全为零的向量(00…0)称为零向量 注:一个n维行向量就是一个×n矩阵; 个n维列行向量就是一个×1矩阵, 故 15u29 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 3 = (a1 ,a2 , ,an )也称为n维行向量 称 为n维列向量 a a a n = 2 1 故 一 个 维列行向量就是一个 矩 阵 注：一个 维行向量就是一个 矩阵； 1 , 1 n n n n ( ) T n n a a a a a a , , , 1 2 2 1 = 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量
例 (1)n个未知量的任一线性组的每一个解 都是一个n维向量 (2)一个m×n矩阵的每一行都是一个 n维向量而它的每一列都是m维向量; 反之,将m个n维向量按行排列, 就可构成一个mxn矩阵 将n个m维向量按列排列, 就可构成一个mxn矩阵。 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 4 例 都是一个 维向量。 个未知量的任一线性方程组的每一个解 n (1) n 就可构成一个 矩阵。 将 个 维向量按列排列， 就可构成一个 矩阵。 反之，将 个 维向量按行排列， 维向量 而它的每一列都是 维向量 一 个 矩阵的每一行都是一个 m n n m m n m n n m m n , ; (2)
4.1.2向量的运算及性质 定义4-2向量相等:如果 92…sa )和,B=(b2…b 是数域P上的两个n维向量,如果他们的对 应分量都相等,即 则称向量a和相等,记做:a=B 定义4-3向量的和:如果a=(a,a2,…,an) 和β=(b,,…,b,)是数域P上的两个n维向量 则a与的和a+为 a+ B=(a,+b,, a, +b,, ., a, +b)
2021/2/20 几何与代数 数学系 5 4.1.2 向量的运算及性质 定义4-2 向量相等：如果 和 是数域P上的两个n 维向量，如果他们的对 应分量都相等，即 则称向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b 1,2, , ( ) i i a b i n = = 和相等，记做: = 定义4-3 向量的和：如果 和 是数域P上的两个n 维向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b ( , , , ) + = a1 + b1 a2 + b2 an + bn + 则与的 和 为
负向量:向量-a=(-a1,-a2,,a) 称为向量a的负向量 向量的差a-B=a+(-) 加法运算满足性质 1'a+B=B+a 2(a+B)+y=(a+B)+y 3a+0=a 注:4a+(-a)=0 零向量和负向量是唯一的 加法的逆运算是减法。数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 6 负向量：向量 称为向量 的负向量 ( , , , ) − = −a1 −a2 −a n 向量的差 − = + −( ) 4 ( ) 0 3 0 2 ( ) ( ) 1 0 0 0 0 + − = + = + + = + + + = + 加法运算满足性质 注： • 零向量和负向量是唯一的 •加法的逆运算是减法
数乘运算:设k为数域卩中的数,向量 ka1,kn2…,kan)称为向量a=(a1,a2,an 与数k的数量乘积。记为ka 数乘运算满足下列四条规则: 5°1·c=a 6°k(lo)=(kD)a 7"(k+1)=ka+la 8 k(a+ B)=ka+kB a,B是n维向量,k,∈P 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 7 数乘运算：设 k 为数域 中的数，向量 ( ) 1 2 , , , n ka ka ka 称为向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a 与数 的数量乘积。记为 k p k ( ) n k l P k k k k l k l k l kl + = + + = + = = , , 8 ( ) 7 6 ( ) ( ) 5 1 0 0 0 0 是 维向量， 数乘运算满足下列四条规则：
线性运算:上述向量的加法及数乘运算称为 向量的线性运算 注 满足上述1-8的运算称为线性运算 (1)0a=0(2)(-1)a=-a; (3)0=0 (4)如果ka=0,则k=0或a=0 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 8 线性运算：上述向量的加法及数乘运算称为 向量的线性运算 注： •满足上述 的运算称为线性运算。 0 0 1 − 8 (4) 0, 0 0 (3) 0 0. (1) 0 0 (2) ( 1) ; = = = = = − = − 如 果k 则k 或
4.1.3n维向量空间 定义4-5:设数域P上所有n维向量组成的集合 连同在其上定义的加法与数乘运算,称为数域P上 的n维向量空间( vector space),记作:P 注:n维向量P对加法与数乘运算是封闭。 说明:集合卩对于加法及数乘两种运算封闭指 Va∈V,B∈V,有a+B∈V ya∈V,vk∈R,有ka∈V 定义4-6:设为数域P上的维向量的非空集合, 如果对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合 V为P上的向量空间 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 9 4.1.3 n 维向量空间 定义4-5： 设数域 上所有 维向量组成的集合， 连同在其上定义的加法与数乘运算，称为数域 上 的 维向量空间（vector space),记作： P n n P n P 注： n 维向量 P n 对加法与数乘运算是封闭。 定义4-6： 设 为数域 上的 维向量的非空集合， 如果 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 为 上的向量空间． n V V V P P 说明: V k R k V , , . 有 + V V V , , ; 有 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指
注:V中的加法与数乘运算满足上述性质1-8 两个特殊的子向量空间v={o}和P称为平凡子空 例1:3维向量的全体R是一个向量空间 例2:V={a=(x,y,0)|x,y∈R} 由xoy平面上所有向量全体做 成的向量空间,是R3的一个子向量空间 2021/2/20 几何与代数数学系
2021/2/20 几何与代数 数学系 10 注： V 中的加法与数乘运算满足上述性质 0 0 1 − 8 •两个特殊的子向量空间 称为平凡子空 间 n V = {o}和P 例1：3维向量的全体 是一个向量空间。 3 R 例2： 3 成的向量空间，是 R 由xoy平面上所有向量全体做 V = { = (x, y,0)| x, y R} 的一个子向量空间