第五章 相似矩阵及二次型 习题课 主要内容 典型例题 测验题 帮助 返回
定 向童达积『方阵特征值 有关特征值 和特征同量 的结论 有关特征问 定义及运算规律 的结论 内量的长度湘 向量的夹角 正交向量组的性质 交阵及正交变换 阵 标准,形 称 次型 定 阵阵 为标准形 惯 正定次 型的判定 次型及身标准形
生1二次型 上定义含有n个变量x,x,…,x,的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn)=a11+a22x2+ +ammxn+2anxix2t2a13xIx3+ +2an-inxn-ixn 称为二次型 上页
定义 . 2 2 2 ( , , , ) , , , 1, 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 称为二次型 含 有 个变量 的二次齐次函数 a x x a x a x x a x x f x x x a x a x n x x x n n n n nn n n n + − − + + + + = + + １ 二次型
二次型可记作=x1Ax,其中A=A.4称 庄为二次型的矩阵称为对称阵的二次型对 王称阵的秩称为二次型的秩 二次型与它的矩阵是一—对应的 ■ 当a;是复数时称为复二次型当a;是实数时, 称为实二次型 上页
. , , , . 称 阵 的秩称为二次型 的 秩 为二次型 的矩阵 称为对称阵 的二次型 对 二次型可记作 其 中 称 A f f f A f x Ax A A A T T = = 二次型与它的矩阵是一一对应的． . , ; , 称为实二次型 当 是复数时 称为复二次型当 是实数时 f aij f aij
生2二次型的标准形 王定义只含平方项的二次型 f=k1y1+k2y2+…+knyn 称为二次型的标准形或法式 上页
定义 ( ). 2 2 2 2 2 1 1 称为二次型的标准形或法式 只含平方项的二次型 f k y k y k y n n = + ++ 2 二次型的标准形
庄3化二次型为标准形 (1)任给可逆矩阵C,令B=CAC,如果4为对称 王阵则亦为对称阵且R(B)=R(4 牛(21任给实二次型=2m0x(x(n=m总 1 有正交变换x=P,使代化为标准形 f=1y1+λ2J2+…λnyn 牛其中x,2x,,x是/的矩阵4=(a)特征值 上页
, , ( ) ( ).. (1) , , B R B R A C B C AC A T = = 阵 则 亦为对称阵 且 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 , , , ( ) . , , (2) ( ), 1 2 2 2 2 2 2 1 1 , 1 其 中 是 的矩阵 的特征值 有正交变换 使 化为标准形 任给实二次型 总 f A a f y y y x Py f f a x x a a n ij n n i j ij ji n i j ij = = + + = = = = 3 化二次型为标准形
王(3)拉格朗日配方法及初等变换法亦可把 上次型化为标准形,此时所用的可逆线性变换 生般而言不是正交变换 上页
(3) , . 拉格朗日 及 亦可把 二次型化为标准形 此时所用的可逆线性变换 一般而言不 配方法 初等变 法 是正交变换 换
庄4正定二次型 王定义设有实二次型(x)=x4x如果对任何≠0 中都有(x)>0显然()=0,则称/为正定二次型并 称对称矩阵是正定的如果对任何≠0,都有f(x) 工工工 <0,则称为负定二次型并称对称矩阵4是负定的 上页
定义 0, , . ; 0, ( ) ( ) 0( (0) 0), , ( ) , 0, 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 是负定的 称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 都 有 显 然 则 称 为正定二次型 并 设有实二次型 如果对任何 f A A x f x f x f f f x x Ax x T = = 4 正定二次型
庄5惯性定理 设有实二次型f=x7Ax,它的秩为r,有两个 实的可逆变换 CI 及 x=1 使=k1y2+k2y2+…+k,y2(k;≠0), 及∫=1x+22+…+rx(1≠0, 则k1,k2,…,k,中正数的个数与礼1,12,…,2,中正 王数的个数相等 上页
. , , , , , , ( 0), ( 0), , , 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 数的个数相等 则 中正数的个数与 中 正 及 使 及 实的可逆变换 设有实二次型 它的秩为 有两个 r r r r i r r i T k k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz f x Ax r = + + + = + + + = = = 5 惯性定理
注意k1,k2,…,k,中正数的个数称为正惯性指 数 r-p=N称为负惯性指数 s=p-N=p-(r-p)=2p-r为的符号 差. 它们是二次型对于非退化线性变换的不变 上页
. . ( ) 2 ; ; , , , 1 2 量 它们是二次型对于非退化线性变换的不变 差 称 为 的符号 称为负惯性指数 数 中正数的个数 称为正惯性指 s p N p r p p r f r p N k k kr p = − = − − = − − = 注意