北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵 3.6 初等变换与初等矩阵

3.6初等变换与初等矩阵 3.6.1初等矩阵 3.6.2利用初等变换求逆矩阵 上页

3.6 初等变换与初等矩阵 3.6.1 初等矩阵 3.6.2 利用初等变换求逆矩阵

王361初等矩阵 矩阵的初等变换: 牛()对换变换:对调两仔列,记作分r(c台C A(2)倍乘变换:以数k≠0乘以某一行列的所有元素 记作k(kc;) 王()倍加变换:把第行列的k倍加到第行列上 记作r+r;(c1+cr 上页

矩阵的初等变换: (1)对换变换：对调两行(列)，记作ri  rj (ci  c j )； (2)倍乘变换：以数k  0 乘以某一行(列)的所有元素 (3)倍加变换：把第j 行(列)的k 倍加到第i 行(列)上 3.6.1 初等矩阵 ( ) 记作kri kci ( ). i j i j 记 作r + kr c + cr

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛 定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 1对调两行或两列 2.以数k≠0乘某行或某列; 王(3以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去 上页

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵.       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛

初等倍乘矩阵 大≠0 E((k)= k ←第i 第 列 上页

初等倍乘矩阵 ( ( ))                       = 1 1 1 1   E i k k  第i行 第 列 i  k  0

初等倍加矩阵 大≠0 1 第i 生02 ←第行 个个 第第 列列 上页

初等倍加矩阵 ( ( ))                       = 1 1 1 1      k E i j k  第i行 第j行 第 列 i  第 列 j  k  0

等对换矩阵1 第 ,) 第 行 第 第 列 列

初等对换矩阵 ( )                                     = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ,        E i j 第j行  第i行 第 列 i  第 列 j 

例1计算 100 ain 0k0‖a21a2 a2n 001八a 31 32 3n 10k 1+4a3142+ha 32 In 11 12 地)|010a1,a2=km 22 2n 001 予 32L 32 3n 31 32 11 3 100 b b 11 13 2 21 22 b2,|001b2b3b2 23 22 31 32 b3s人010 bb b 31 33 32 其中k≠0 上页

( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1                                                              k b b b b b b b b b a a a a k a a a a a a a a a a a k n n n 其 中 例 计 算              = n n n a a a ka ka ka a a a 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1              + + = 31 32 21 22 11 31 12 32 a a a a a ka a ka           = 31 33 32 21 23 22 11 13 12 b b b b b b b b b

庄一般结论、E()结果相当于A的第行乘 AE(t(k果相当于A的第列乘k EG(k)4结果相当于A的第行乘加到第行上 AE(v()结果相当于A的第列乘加到第列上 中E(,结果相当于A的第行与第行对换 AE(,)结果相当于A的第列与第/列对换 或 设A是mxn矩阵,对A施行一次初等行变 换,相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵 对施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘一个n 阶相应的阶初等矩阵

一般结论: ( ( )) ( ( )) A . A , AE i k i k E i k A i k 结果相当于 的第 列乘 结果相当于 的第 行乘 ( ( )) ( ( )) A . A , 结果相当于 的第 列乘 加到第 列上 结果相当于 的第 行乘 加到第 行上 AE ij k i k j E ij k A j k i ( ) ( , ) A . , A , 结果相当于 的第 列与第 列对换 结果相当于 的第 行与第 行对换 AE i j i j E i j A i j 或： 设A是m  n矩阵，对A施行一次初等行变 换，相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵； 对施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘一个n 阶相应的阶初等矩阵

初等矩阵是可逆的 100)(100 0k0·0 1k0 0|=E 001 0 主E00))=EE()=EG(A) 生)=EE(=E(G 圆[t 上页

初等矩阵是可逆的 E k k =                        0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 E(ij(k)) E(i, j) ( ( ))               = − k E i k E i 1 1 E(ij(k)) = E(ij(− k)) −1 E(i, j) E(i, j) 1 = − ( ( )) E k E i k E i =              1 E(ij(− k)) = E E(i, j) = E

例2设初等矩阵 0010 1 0100 k P P 1000 1 0001 C 求PP2P3及(PP2P3 01 0 1 1P2B3 0 0 C C

              =               =               = 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 2 3 k P c P P 例 设初等矩阵 1 1 2 3 1 2 3 ( ) − 求P P P 及 P P P               = 1 1 0 0 1 c k                              = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 3 k c PP P