《经济数学基础》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.1）极限的概念及其运算

经济数学基础 第2章导数与微 分 第一单元极限的概念及其运算 尊一节极限的概念 、学习目标 极限是微积分学中的重要概念,微积分中的许多重要概念都是由极限定义的 学习了这一节课,要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念.并且能够利 用函数图形和极限定义去求简单函数的极限 、内容讲解 1.极限的概念1 研究函数是利用极限的方法来进行;极限是一个变量在变化过程中的变化趋 势 例1圆的周长的求法.早在公元263年,古代数学家刘徽用圆内接正四边形、 正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长,显然随着边数的增 加,正多边形的边长将无限趋近圆的周长 例2讨论当x→+∞时,X的变化趋势 例3讨论一个定长的棒,每天截去一半,随着天数的增加,棒长的变化趋势. 尺之棰,日截其半,万世不竭”一一庄子·天下 定义2.1——函数的极限 设函数f(x)在点x的邻域(点x可以除外)内有定义,如果当x无限趋于x (但x≠x)时,f(x)无限趋近于某个常数A,则称x趋于时,f(x)以A为极 40—

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——40—— 第一单元 极限的概念及其运算 第一节 极限的概念 一、学习目标 极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的. 学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利 用函数图形和极限定义去求简单函数的极限. 二、内容讲解 1.极限的概念 1 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋 势。 例 1 圆的周长的求法.早在公元 263 年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、 正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增 加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长. 例 2 讨论当 x → + 时， x 1 的变化趋势. 例 3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势. “一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下 定义 2.1——函数的极限 设函数 f (x) 在点 0 x 的邻域（点 0 x 可以除外）内有定义，如果当 x 无限趋于 0 x （但 0 x  x ）时， f (x) 无限趋近于某个常数 A ，则称 x 趋于 0 x 时， f (x) 以 A 为极

经济数学基础 第2章导数与微 分 lim f(x)=A 限,记为xx 或f(x)→4(x→);若自变量x趋于x时,函数f(x)没有 个固定的变化趋势,则称函数f(x)在处没有极限 2.极限的概念2 在理解极限定义时要注意两个细节: 1.x→x时(12,÷x→xx0,如果讨论x→0是的极限,则函数分别 在x0时不是同一个表达式,必须分别考虑 由此引出左右极限的概念 定义2.2—左右极限 设函数f(x)在点x的邻域(xo点可以除外)内有定义,如果当x<x且x无 限于x(即x从x的左侧趋于x0,记为x→x)时,函数f(x)无限地趋近于常数

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——41—— 限，记为 f x A x x = → lim ( ) 0 或 f (x) → A ( ) 0 x → x ；若自变量 x 趋于 0 x 时，函数 f (x) 没有 一个固定的变化趋势，则称函数 f (x) 在 0 x 处没有极限. 2.极限的概念 2 在理解极限定义时要注意两个细节： 1. 0 x → x 时（ 0 x  x ），2.     →  → → 0 0 0 0 0 ( ) ( ) x x x x x x x x （包括这两种情况） 问题思考： ? 1 lim = x 极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的 变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程， 所以不好回答 x 1 lim 是多少，但是 =  x→ x 1 lim 0 ， ( 0) 1 1 lim 0 0 0 =  → x x x x x ， 0 1 lim = x→ x . 考虑函数 y = x ，依照极限的定义，不能考虑 x →0 的极限.因为 y = x 在 x  0 处无定义.又如函数      = 1 0 0 ( ) x x x f x ，如果讨论 x →0 是的极限，则函数分别 在 x  0 和 x  0 时不是同一个表达式，必须分别考虑. 由此引出左右极限的概念： 定义 2.2——左右极限 设函数 f (x) 在点 x 0 的邻域（ x 0 点可以除外）内有定义，如果当 x  x0 且 x 无 限于 x 0 （即 x 从 x 0 的左侧趋于 x 0 ，记为 x → x − 0 ）时，函数 f (x) 无限地趋近于常数

经济数学基础 第2章导数与微 分 lim f(x)=L L,则称当x趋于x0时,f(x)以L为左极限,记作x 或f(x0)=L 如果当x>x0且x无限趋于x0(即x从x0的右侧趋于x0,记为x→对)时,函数f(x) 无限地趋近于常数R,则称当x趋于x时,f(x)以R为右极限,记作 limf(x)=R或f(x0) =R。 3.极限存在的充分必要条件: 极限x存在的充分必要条件是:函数f(x)在x处的左,右极限都存在 lim f(x)=Ao lim f(x)=lim f(x)=A 且相等.即x→x x≤0 f(x)= 问题思考:设函数 ox>0求mf(x) lim f(x) 0 lim f(x)=lim x=0 因为x→0° Im f(x)=0 由极限存在的充分必要条件知 由函数的图形也可得到此结论 4.无穷小量 定义2.3—无穷小量和无穷大量 lm f(x)=0 称当x→x时,f(x)为无穷小量,简称无穷小 无穷小量是一个特殊的变量,它与有极限变量的关系是:变量y以为A极限的 充分必要条件是:y可以表示成A与一个无穷小量的和,即 imy=A→y=A+a(ima=0 无穷小量的有以下性质:

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——42—— L，则称当 x 趋于 x 0 时， f (x) 以 L 为左极限，记作 lim ( ) x x f x L → − = 0 或 f x − ( ) 0 = L； 如果当 x  x0 且 x 无限趋于 x （即 0 x 从 x 0 的右侧趋于 x 0 ，记为 x → x + 0 ）时，函数 f (x) 无限地趋近于常数 R，则称当 x 趋于 x 0 时， f (x) 以 R 为右极限，记作 lim ( ) ( ) x x f x R f x → + = + 0 或 0 =R。 3.极限存在的充分必要条件： 极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在的充分必要条件是：函数 f (x) 在 0 x 处的左，右极限都存在 且相等.即 lim ( ) x x f x A → =  0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → − → + = = 0 0 问题思考：设函数      = 0 0 0 ( ) x x x f x , 求 lim ( ) 0 f x x→ 因为 lim ( ) lim 0 0 0 0 = = → + → + x x f x ， lim ( ) lim 0 0 0 = = → − → − f x x x x 由极限存在的充分必要条件知， lim ( ) 0 0 = → f x x 由函数的图形也可得到此结论. 4.无穷小量 定义 2.3——无穷小量和无穷大量 lim ( ) 0 0 = → f x x x 称当 0 x → x 时， f (x) 为无穷小量，简称无穷小. 无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量 y 以为 A 极限的 充分必要条件是：y 可以表示成 A 与一个无穷小量的和，即 lim y = A  y = A +(lim  = 0) 无穷小量的有以下性质： y x

经济数学基础 第2章导数与微 分 性质1有限个无穷小量的和是无穷小量 性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量 性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 无穷大量 在某个变化过程中,绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为 无穷大量. lim 2=+o 例如因为x ,所以,当x→>+∞时,22是无穷大量.无穷小量与无 穷大量有如下“倒数关系 定理:当x→x(或x→∞)时,若f(x)是无穷小(而f(x)≠0),则f(x) 是无穷大,;反之,若f(x)是无穷大,则∫(x)是无穷小 三、例题讲解 例1讨论y=x2+mx2 解:求极限时,可以利用极限的概念和直观的了解,我们可以借助几何图形来 例2讨论函数x-1,当x→>1时的如m如 求函数的极限由几何图形可以看出,当x→2时,y=x→>4,即x2 x→1x-1 解:此函数在x=1处没有定义,可以借助图形求极限.由图形得到xx-1

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——43—— 性质 1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质 2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质 3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量 在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为 无穷大量. 例如 因为 = + →+ x x lim 2 ，所以，当 x → + 时， x 2 是无穷大量.无穷小量与无 穷大量有如下“倒数关系”： 定理：当 0 x → x （或 x → ）时，若 f (x) 是无穷小（而 f (x)  0 ），则 ( ) 1 f x 是无穷大，；反之，若 f (x) 是无穷大，则 ( ) 1 f x 是无穷小. 三、例题讲解 例 1 讨论 2 y = x 时, 2 2 lim x x→ =？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来 求函数的极限.由几何图形可以看出，当 x →2 时， 4 y = x 2 → ，即 2 2 lim x x→ =4 例 2 讨论函数 1 1 2 − − = x x y ,当 x →1 时的极限 1 1 lim 2 1 − − → x x x 解：此函数在 x =1 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x o y

经济数学基础 第2章导数与微 分 例3fm)=Jxx≤0 x>o p lm f(x) 解:注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同, 在0点处分别求左、右极限 lim f(x)=lim 1=1 lm f(x)=lim x=0 可见左右极限都存在但不相等;由几何图 形易见,由极限的定义知,函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某 个常数,因此此函数在0点处极限不存在 例4y=x,当x→0时 → 解:由图形可知,当x→0时,x2→0当x→>0时,x是无穷小量 四、课堂练习 练习1讨论函数y=x2+1当x→1时的变化趋势 解:函数y=x2+1的图形是 kx≤0 f(x) 练习2设函数 x>0 Im f(x) 问k为何值时 存 lm f(x)=lim 1=1 lm f(x)=lim k=k 解:因为x0 所以k=1 练习3当x→0时,下列变量中()是无穷小量 A) y=nx: b)y=cosx: c)y =e: d)y=x

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——44—— 例 3      = 1 0 0 ( ) x x x f x , 求 lim ( ) 0 f x x→ 解：注意到此函数当 x=0 的两侧表达式是不同， 在 0 点处分别求左、右极限. lim ( ) lim 1 1 0 0 = = → + → + x x f x lim ( ) lim 0 0 0 = = → − → − f x x x x 可见左右极限都存在但不相等；由几何图 形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某 个常数，因此此函数在 0 点处极限不存在. 例 4 2 y = x ，当 x →0 时， ? x 2 → 解： 由图形可知，当 x →0 时， 0 x 2 → 当 x →0 时， 2 x 是无穷小量. 四、课堂练习 练习 1 讨论函数 y = 1 2 x + 当 x →1 时的变化趋势. 解：函数 y = 1 2 x + 的图形是 练习 2 设函数      = 1 0 0 ( ) x k x f x ， 问 k 为何值时， lim ( ) 0 f x x→ 存在？ 解：因为 lim ( ) lim 1 1 0 0 = = → + → + x x f x ， f x k k x x = = → − → − 0 0 lim ( ) lim ，所以 k =1. 练习 3 当 x →0 时，下列变量中 （ ）是无穷小量. A） y = ln x ；B） y = cos x ；C） x y = e ；D） 2 y = x y o x

经济数学基础 第2章导数与微 分 m x 解:因为x ,所以选择D正确 练习4设f(x)g(x)是无穷大量,则f(x)g(x)是无穷大量 证明:因为f(x)g(x)是无穷大量,由“倒数关系”知f(x)g(x)均为无穷小量,于是 有f(x)8(x)是无穷小量,所以f(x)8(x)是无穷大量 五、课后作业 1.讨论函数yx当x>+∞时的变化趋势 2.判断下列极限是否收敛: (1)234 0,-D0,-,0, (2)248 (3)0.1001000…:(4)246.8 3求下列数列{xn(→)的极限: (1) n;(2) :(3)xn=(-1) (4) 4试用图形说明:x0x不存在 f(x) 0 5.设 x,x>0,求∫(x)在x→>0是的左、右极限,并说明f(x) 在x=0点极限是否存在 45

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——45—— 解：因为 lim 0 2 0 = → x x ，所以选择 D 正确. 练习 4 设 f (x), g(x) 是无穷大量，则 f (x) g(x) 是无穷大量. 证明：因为 f (x), g(x) 是无穷大量，由“倒数关系”知 ( ) 1 , ( ) 1 f x g x 均为无穷小量，于是 有 ( ) 1 ( ) 1 f x g x  是无穷小量，所以 f (x) g(x) 是无穷大量. 五、课后作业 1.讨论函数 y = 1 1 + x 当 x → + 时的变化趋势. 2.判断下列极限是否收敛： （1） , 4 3 , 3 2 , 2 1 ；（2） , 8 1 ,0, 4 1 ,0, 2 1 0, ；（3） 0.1,0.01,0.001,  ；（4） 2,4,6,8,  3.求下列数列 {x }(n → ) n 的极限： （1） n xn 1 = ；（2） n n xn +1 = ；（3） n n x = (−1) ；（4） n n xn  sin 1 = 4.试用图形说明： x x x 0 lim → 不存在. 5.设       − − = , 0 , 0 1 1 ( ) x x x x f x ，求 f (x) 在 x →0 是的左、右极限，并说明 f (x) 在 x = 0 点极限是否存在

经济数学基础 第2章导数与微 分 x+2.x≤1 f(x) x+1,x>1 lm f(x), lim f(x) Im f(x) 6.设 求 ,并讨论 是否存在 7.分析函数的变化趋势,并求极限. (x→>∞) y (x→>+∞) In (3)y=2(x→0):(4)y=cosx(x→0 8.当x→0时,下列变量中哪些是无穷小量? ,2x,100000x,xcOs 9.当x→0时,下列变量中是无穷小量的有: (1)sy (2)y=l0g2 x: (3) y=arctan x:(4) y=arc x 10.函数(x+3)在什么变化过程中是无穷大量?又在什么变化过程中是 无穷小量? y→>1( 2.(1)收敛:(2)收敛;(3)收敛;(4)发散 3.(1)0:(2)1:(3)发散:(4)0. 46

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——46—— 6.设    +  +  = 1, 1 2, 1 ( ) x x x x f x ，求 lim ( ), lim ( ) 1 1 f x f x x x → − → + ，并讨论 lim ( ) 1 f x x→ 是否存在. 7.分析函数的变化趋势，并求极限. （1） ( ) 1 = 2 x →  x y ；（2） ( ) ln 1 = x → + x y ； （3） 2 ( 0 ) 1 → − y = x x ；（4） y = cos x(x → 0) 8.当 x →0 时，下列变量中哪些是无穷小量？ x x x x x 2 ,2 ,100000 , cos 109 9.当 → + x 0 时，下列变量中是无穷小量的有： （1） 2 1 − y = x ；（2） y x 2 = log ；（3） y = arctan x ；（4） y = arc cot x 10.函数 2 ( 3) 1 + = x y 在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是 无穷小量？ 1. y →1(x → +) ；2.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散. 3.（1）0；（2）1；（3）发散；（4）0. 4

经济数学基础 第2章导数与微 分 m f(x)=lim lm f(x)=lim x=0 5.因为 x→0 x→0-x-1 所以,函数f(x)在x=0处 左、右极限存在但不相等,故函数f(x)在0点的极限不存在 lim f(x)=lim x+2=3 lim f(x)=lim x+1=2 Iim f(x) 因为函数f(x)在x=1处左、右极限存在但不相等,所以 不存在 7.(1)0;(2)0;(3)0:(4)1 8.10:10000xc0s 9. y=arctan x 10.当x→-3时,y为无穷大量,当x→时,y为无穷小量

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——47—— 5. 因为 1 1 1 lim ( ) lim 0 0 = − = − → − → − x f x x x ， lim ( ) lim 0 0 0 = = → + → − f x x x x ，所以，函数 f (x) 在 x = 0 处 左、右极限存在但不相等，故函数 f (x) 在 0 点的极限不存在. 6. lim ( ) lim 2 3 1 1 = + = → − → − f x x x x ， lim ( ) lim 1 2 1 1 = + = → + → − f x x x x 因为函数 f (x) 在 x =1 处左、右极限存在但不相等，所以 lim ( ) 1 f x x→ 不存在. 7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1. 8. x x x x 2 ;100000 ; cos 109 9. y = arctan x 10. 当 x →−3 时， y 为无穷大量，当 x → 时， y 为无穷小量

经济数学基础 第2章导数与微 分 第二节夜限的运 、学习目标 通过本课程的学习,要学会极限的四则运算法则,学会使用法则的方法和常用 的技巧,能够用四极限的四则运算法则计算则函数的极限. 内容讲解 在某个变化过程中,变量矶”分别以AB为极限,则 im(u±v)=lma±imv=A±B im(v)=lmu:limv=A·B y lim y B imf(x)=∞,lmng(x)=∝ 问题思考:设xx0 lm [f(x)-g(x)=0, lm[f(x)+g(x=oo ,对吗?请举例说明 f(x)= +1,g(x) imf(x)=∞,limg(x) 不一定如 lmf(x)-g(x)J=oo, Im f(x)+g(x)=1 三、例题讲解 例1求 fF limx2=lim(x.x)=(lim x)dim x)=2x2=4 48

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——48—— 第二节 极限的运算 一、学习目标 通过本课程的学习，要学会极限的四则运算法则，学会使用法则的方法和常用 的技巧，能够用四极限的四则运算法则计算则函数的极限. 二、内容讲解 在某个变化过程中，变量 u, v 分别以 A, B 为极限，则 lim( u  v) = lim u  lim v = A  B lim( u  v) = lim u lim v = A B ( 0) lim lim lim = = B  B A v u v u 问题思考：设 =  =  → → lim ( ) , lim ( ) 0 0 f x g x x x x x ，则 − = + =  → → lim [ ( ) ( )] 0, lim [ ( ) ( )] 0 0 f x g x f x g x x x x x ，对吗？请举例说明. 不一定 如 ( 2) 1 1, ( ) ( 2) 1 ( ) − + = − − = x g x x f x 且 =  =  → → lim ( ) ,lim ( ) 2 2 f x g x x x 但 lim[ ( ) ( )] , lim [ ( ) ( )] 1 2 0 − =  + = → → f x g x f x g x x x x 三、例题讲解 例 1 求 2 2 lim x x→ 解 ( ) ( 2 2 4 2 lim lim( ) lim lim ) 2 2 2 2 = = • =  = → → → → x xx x x x x x x

经济数学基础 第2章导数与微 分 例2求xx-1 解:m-=mn(x-1Xx+1)=m(x+=2 例3求x→3x+x 解: x2(1--) =lim xoo 3x+xx- 例4求 解: √x+1-1 lin (√x+1-1)√x+1+1) x(√x+1+1)x0√x+1+12 四、课堂练习 x3+3 练习1求x2-x-62 im(x3+3x2+2x)=(-2)3+3(-2)2+2(-2)=0 im(x2-x-6)=(-2)2-(-2)-6=0 属于分子、分母的极限均为0. (2x-1)3(3x-4)2 练习2求 49

经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——49—— 例 2 求 1 1 lim 2 1 − − → x x x 解： 2 1 ( 1) lim 1 ( 1)( 1) lim 1 1 lim 1 1 2 1 = + = − − + = − − → → → x x x x x x x x x 例 3 求 x x x x + − → 2 2 3 1 lim 解： 3 1 ) 1 (3 ) 1 (1 lim 3 1 lim 2 2 2 2 2 = + − = + − → → x x x x x x x x x 例 4 求 x x x 1 1 lim 0 + − → 解： ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 1 1 lim 0 0 + + + − + + = + − → → x x x x x x x x ( 1 1) lim 0 + + = → x x x x 2 1 1 1 1 lim 0 = + + = → x x 四、课堂练习 练习 1 求 6 3 2 lim 2 3 2 2 − − + + →− x x x x x x 解： lim ( 3 2 ) ( 2) 3( 2) 2( 2) 0 3 2 3 2 2 + + = − + − + − = →− x x x x  lim ( 6) ( 2) ( 2) 6 0 2 2 2 − − = − − − − = →− x x x ， 属于分子、分母的极限均为 0. 练习 2 求 (2 ) 3 (2 1) (3 4) lim 5 3 2 + − − → x x x x