《经济数学基础》课程教学资源：第四章 多元函数的微分——典型例题与综合练习

经济数学基础 第4章多元函数的微分 第一章典型例题与综合练习 第一节典型例题 偏导数与全微分 例1已知=xe+ye),求ax,az (e'+ye) 解:ar 例2已知==x2+y2-4x2y2,求d- 4x3-8 解: ar1on=403-8·0·12=0 =4y3-8x2y oy(n=41-803·1=4 az 0,1) 二、复合函数与隐函数微分法 例1已知=f(yy2)求 解:令Ⅱ=y,V=ye,则=f(V),x=0vy=1,=2 ye",y-e2x 根据复合函数求导法,得 =f·0+f2ye2x 2 134

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——134—— 第一章 典型例题与综合练习 第一节 典型例题 一、偏导数与全微分 例 1 已知 ln( e e ) y x z = x + y ，求 x z   ， z z   解： (e e ) e e 1 y x y x y x x y z + + =   ( e e ) e e 1 y x y x x y x y z + + =   例 2 已知 4 4 2 2 z = x + y − 4x y ，求 dz (0,1) ． 解： 3 2 4x 8xy x z = −   4 0 8 0 1 0 3 2 (0,1) =  −   =   x z ； y x y y z 3 2 = 4 − 8   4 1 8 0 1 4 3 2 (0,1) =  −   =   y z ； dz (0,1) = +   x x z (0,1) d y y z (0,1) d   = 4dy 二、复合函数与隐函数微分法 例 1 已知 ( , ), 2x z = f y ye 求 x z' ． 解：令 x u y v y 2 = , = e ,则 z = f (u,v) ， u' x = 0 , u' y = 1， x y x x v y v 2 2 2 e , = e  =  根据复合函数求导法，得 x x u v f f y x v v z x u u z z 2 0  2 e   +  =     +     =   = v x y f 2 2 e

经济数学基础 第4章多元函数的微分 例2设函数==(x,y)是由方程Sm(xy)+2=n(x+)确定的,求Ox 解:将函数==(x,y)代入原方程,得S(x)+[(x,y=sm+(x,y 两边同时对x求偏导数,视z为中间变量,得 ycos(xy)+2=-= cos(x+=)(1+-) 2=--cos(x+3)=cos(x+=)-ycos(xy) 整理得 az cos(xy)-cos(x+=) cos(x +=)-2 三、拉格朗日乘数法 例1用拉格朗日乘数法解下面问题:欲围一个面积为60平方米的矩形场地, 正面所用材料每米造价10元,其余三面每米5元.求场地长、宽各为多少米时, 所用材料费最少? 解:设场地长、宽分别为x(米,则有xy=60 所用材料费用S=10x+5(2y+x)=15x+10y(元) 因此,问题是在x=60的条件下,求S(xy)的最小值 为此设拉格朗日函数为(xy,A)=15x+10y+(xy-60) 求L(xy)分别对x、y、的偏导数,并令其为0,得 135

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——135—— 例 2 设函数 z = z(x, y) 是由方程 sin( ) sin( ) 2 xy + z = x + z 确定的，求 x z   ． 解：将函数 z = z(x, y) 代入原方程，得 sin( )  ( , ) sin  ( , ) 2 x y + z x y = x + z x y 两边同时对 x 求偏导数，视 z 为中间变量，得 cos( ) 2 cos( )(1 ) x z x z x z y x y z   = + +   + 整理得， 2 cos( ) cos(x z) y cos(x y) x z x z x z z = + −   − +   x z z y xy x z x z cos( ) 2 cos( ) cos( ) + − − + =   三、拉格朗日乘数法 例 1 用拉格朗日乘数法解下面问题：欲围一个面积为 60 平方米的矩形场地， 正面所用材料每米造价 10 元，其余三面每米 5 元．求场地长、宽各为多少米时， 所用材料费最少？ 解：设场地长、宽分别为 x,y(米)，则有 xy=60. 所用材料费用 S = 10x + 5(2y + x) = 15x +10y （元） 因此，问题是在 xy = 60 的条件下，求 S(x, y) 的最小值． 为此设拉格朗日函数为 L(x, y,) = 15x +10y + (xy − 60) 求 L(x, y,) 分别对 x、 y 、 的偏导数，并令其为 0，得

经济数学基础 第4章多元函数的微分 =15+y=0 =10+Ax=0 =xy-60=0 解此联立方程组得:x=2√0,y=3√0 即场地长、宽分别为2√1030米时,所用材料费最少 第一节典把例题 1.设函数=h√x+y-1,则其定义域为 2.设=f(x,y) f∫(x+y,x-y) 2=e 则Ox 4.若=e”,则d= 1.(xy)x+y1:2.4m:3.2x-y 4 (x y)e"(dx+dy) 1.若=eSmy,则d=( (A)"(sin ydx cos ydy);(B)e cos ydxdy:(c)e sin ydx;(D)e cos ydy 2.若=x,则ox() (A)e:(B)xe”:(C) (+xy)e 1.A:2 136

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——136——          = − =   = + =   = + =   60 0 10 0 15 0 xy L x y L y x L    解此联立方程组得： x = 2 10, y = 3 10 即场地长、宽分别为 2 10,3 10 米时，所用材料费最少． 第一节 典型例题 1.设函数 z = ln x + y −1 ，则其定义域为 ． 2.设 2 2 z = f (x, y) = x − y ．则 f (x + y, x − y) = ． 3.若 x xy z 2 2 e − = ，则 =   x z ． 4.若 xy z = e ，则 dz = ． 1. (x, y) x + y 1 ；2．4xy；3． x xy x y 2 2 2( )e − − ；4．(x y)e (dx dy) xy + + 1.若 z y x = e sin ，则 dz = （ ）． (A) e (sin ydx cos ydy) x + ；(B) y x y x e cos d d ；(C) y x x e sin d ；(D) y y x e cos d 2.若 xy z = xe ，则 =   x z （ ）． (A) xy xye ；(B) xy x e 2 ；(C) xy e ；(D) xy (1+ xy)e 1.A；2．D

经济数学基础 第4章多元函数的微分 1设二元函数f(xy=√x2+y2,则有( A)定义域为x0平面;B)驻点为00 C)定义域为xy)>0y>0,D)定义域为xy)≥0y20 2.设二元函数z=x,则有 A) ax B) ay c) d==x'In 3、下列说法正确的是 A)函数=f(xy)在点(x0,y)具有两个偏导数,则在该点一定存在全微分 B)函数=f(x,y)在点(xo,y)具有全微分,则在该点一定存在两个偏导数 C)函数=f(xy)在点(x,0)具有两个连续偏导数,则在该点一定存在全微分 D)函数z=f(xy)在点(xoy)连续,则在该点一定存在极限 1. AB: 2. AB: 3. BCD 四、是非题 x+ y 1.设 ,则 ay (x-y) 2若f(x,y)f(x,y0)存在,则f(x,y在(x0,y)一定不可微.() az (n y) In In y 3、若 ,则ax 1.×;2.×;3.×

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——137—— 1.设二元函数 2 2 f (x, y) = x + y ，则有（ ）. A）定义域为 xoy 平面；B）驻点为 (0,0) ； C）定义域为 (x, y) x  0, y  0 ；D）定义域为 (x, y) x  0, y  0 2.设二元函数 y z = x ，则有（ ） A） −1 =   y yx x z ；B） x x y z y = ln   ；C） dz = x x x + y ln d yx y y d −1 ；D） 0 (1,0) z = 3、下列说法正确的是（ ） A）函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有两个偏导数，则在该点一定存在全微分； B）函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有全微分，则在该点一定存在两个偏导数； C）函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有两个连续偏导数，则在该点一定存在全微分； D）函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续，则在该点一定存在极限. 1.AB；2．AB；3．BCD 四、是非题 1.设 x y x y z − + = ，则 2 ( ) 2 x y y y z − =   ．( ) 2.若 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x y   存在，则 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 一定不可微．( ) 3、若 (ln ) ( 1) cos z = y y  x ，则 y y x z x (ln ) ln ln cos =   ．( ) 1. ×； 2．×； 3．×

经济数学基础 第4章多元函数的微分 五、计算题 1.设z=f(x+y+5),求 2.函数=(xy)由方程-xyz=0确定,求d. 3.求函数=x+y在条件x+y=3下的极小值 az az y=J。+f, x dy dz x 3.极小值为m(.515)=225+225=45 138

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——138—— 五、计算题 1.设 z = f (x +1, y + 5) ，求 y z x z   +   ． 2.函数 z = z(x, y) 由方程 e − xyz = 0 z 确定，求 dz ． 3.求函数 2 2 z = x + y 在条件 x + y = 3 下的极小值． 1. y z x z   +    +  = u v f f ；； 2． dz = + − x xy yz z d e y xy xz z d e − ； 3．极小值为 zmin (1.5,1.5) = 2.25+ 2.25 = 4.5