经济数学基础 第5章不定积分 第四单元积分基本公式一、学习目标 通过本节课的学习,熟悉积分基本公式 二、内容讲解 正因为求导与求不定积分互为逆运算,所以导数基本公式和积分基本公式也是 互逆的.也就是说,有一个导数公式,反过来就有一个积分公式.先让我们回顾 下导数基本公式 (c)=0.(x)=arx1(hnx)= x,(a)=a Ina (a>0,a+1.(e)=e (Sin x)=cos x. (cos x)=-sm x (tan x)= cosr.(cot x sin 将以上这些公式反过来看,我们就能得到积分基本公式: ca≠-1 +c a+1 +c(a>0,a≠1) In a C I cos xdx=sin x+c sin xdx=-cos x+c tanx+c cos x cot -+c sinx 以上这些积分基本公式都是需要牢记的.另外,有一种方法可以检验不定积分计算 的正确与否,那就是将计算结果求导数,看是否等于被积函数.由此可见,积分基 本公式固然很重要,但最最重要的还是导数基本公式. 再来说明积分公式 150—
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——150—— 第四单元 积分基本公式一、学习目标 通过本节课的学习，熟悉积分基本公式． 二、内容讲解 正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是 互逆的．也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式．先让我们回顾一 下导数基本公式： (c) = 0 ； 1 ( ) − = x x ； x x 1 (ln ) = ； (a ) = a ln a (a 0, a 1) x x ； x x (e ) = e ； (sin x) = cos x ； (cos x) = −sin x x x 2 cos 1 (tan ) = ； x x 2 sin 1 (cot ) = − 将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式： x = c 0d ； 1 1 1 d 1 + − + = + x x x c ； x x c x = + d ln 1 ； ( 0, 1) ln d = + c a a a a a x x x ； x c x x = + e d e x x = x + c cos d sin ； x x = − x + c sin d cos ； x x c x = + d tan cos 1 2 ； x x c x = − + d cot sin 1 2 以上这些积分基本公式都是需要牢记的．另外，有一种方法可以检验不定积分计算 的正确与否，那就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数．由此可见，积分基 本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式． 再来说明积分公式
经济数学基础 第5章不定积分 dx= hnxl+c 当x>0时,()=(nxy= (In/x)=[In(-x)]" x;当x>0时, dx=nlx+c 将两个结果统一起来就得到积分公式x 三、例题讲解 说明在积分基本公式中为什么没有J的公式 分析:从不定积分运算和导数运算的关系加以说明 说明:在导数公式中 x是由定义及相关法则直接求得的.而血x的不 定积分需要找一个函数,使该函数的导函数是hx,我们无法在导数基本公式中得 到这样的结果,并且即使通过其它方法找到这个结果,一般来说也不是一个实用的 公式,所以在积分基本公式中没有减公式,类似地原因也没有mnxd 我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系 四、课后作业 利用积分基本公式求下列不定积分 (1)h3-1e
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——151—— x x c x = + d ln 1 当 x 0 时， x x x 1 (ln ) = (ln ) = ；当 x 0 时， x x x x x 1 ( ) 1 (ln ) [ln( )] − = − = − = 将两个结果统一起来就得到积分公式 x x c x = + d ln 1 ． 三、例题讲解 说明在积分基本公式中为什么没有 ln xdx 的公式． 分析：从不定积分运算和导数运算的关系加以说明． 说明：在导数公式中 x x 1 (ln ) = 是由定义及相关法则直接求得的．而 ln x 的不 定积分需要找一个函数，使该函数的导函数是 ln x ，我们无法在导数基本公式中得 到这样的结果，并且即使通过其它方法找到这个结果，一般来说也不是一个实用的 公式．所以在积分基本公式中没有 ln xdx 公式，类似地原因也没有 tan xdx 和 cot xdx ． 我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系． 四、课后作业 利用积分基本公式求下列不定积分： （1） x x x d e 3 ；（2） x x x d 5 . （1） c x + − ) e 3 ( ln 3 1 1 ；（2） C x − + 2