经济数学基础 第7章定积分的应用 第三单元微分方程的基本概念 、学习目标 通过本节课的学习,了解微分方程的基本概念. 二、内容讲解 设总成本函数为((q),已知条件为Cq)=2e2aC(0)=90,求(q) C(q)是未知函数,将此问题用数学语言表成边际成本是29,即 C(q)=2e02q 固定成本是90,即C()=90 这就是一个完整的数学模型,它由一个方程和一个C(0)=90的等式组成.在 这个方程中要求的是一个未知函数,另外在方程中还出现了未知函数的导数(或微 分).这样就得到第一个概念: 定义71—一徽分方程 含有未知函数的导数(或微分)的等式称为微分方程 看下面两个方程:y+ysmx=e;y+x(y)=y 这是两个微分方程.第一个方程中出现未知函数的一阶导数,第二个方程中出 现了未知函数的一阶导数和二阶导数.这样就得到第二个概念 微分方程中出现未知函数的导数(或微分)的最高阶数称为微分方程的阶 上面所列第一个方程是一阶微分方程,第二个方程是二阶微分方程 再看最初的问题这个问题的答案有C(q)=10e。9+c C(q)=10e02+80 201
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——201—— 第三单元 微分方程的基本概念 一、学习目标 通过本节课的学习，了解微分方程的基本概念． 二、内容讲解 设总成本函数为 C(q) ，已知条件为 q C q 0.2 ( ) = 2e 且 C(0) = 90 ，求 C(q) ． C(q) 是未知函数，将此问题用数学语言表成边际成本是 0.2q 2e ，即 q C q 0.2 ( ) = 2e ． 固定成本是 90，即 C(0) = 90 ． 这就是一个完整的数学模型，它由一个方程和一个 C(0) = 90 的等式组成．在 这个方程中要求的是一个未知函数，另外在方程中还出现了未知函数的导数（或微 分）．这样就得到第一个概念： 定义 7.1——微分方程 含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程． 看下面两个方程： x y + y sin x = e ； 3 5 y + x(y ) = y 这是两个微分方程．第一个方程中出现未知函数的一阶导数，第二个方程中出 现了未知函数的一阶导数和二阶导数．这样就得到第二个概念： 微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶． 上面所列第一个方程是一阶微分方程，第二个方程是二阶微分方程． 再看最初的问题这个问题的答案有 C q c q = + 0.2 ( ) 10e ( ) 10e 80 0.2 = + q C q
经济数学基础 第7章定积分的应用 C(q)代入方程C(q)=2e中使之成为恒等式.这样就得到第三个概念 如果函数满足一个微分方程,即把这个函数代入微分方程后,使这个微分方程 成为恒等式,则称此函数是该微分方程的解. 微分方程的解有很多,C(q)=10e02+c和C(q)=10e02+80都是微分方程 C(q)=2e的解,它可以分为两种 不带任意常数的解称为特解 带有任意常数(且常数的个数等于微分方程的阶数)的解称为通解 Cq)=10e+c是微分方程C(q)=2的通解, C(q)=10e0+80是微分方程C(q)=2满足C(O)=90的特解 已知自变量取某值时,未知函数(或导数)取特定的值,这样的条件称为初始 条件,含有初始条件的微分方程称为初值问题 归纳起来可知 C(q)=2e是一阶微分方程: C()=90是一个初始条件 C(q)=2e"2n C)=90是一个初值问题 C(q)=10e+c是C(q)=2e的通解 C(q)=102+80是C'(q)=2e02 的特解. 未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次的微分方程,称为线性微分方程 问题思考:=e是否为线性微分方程? 答案不是线性微分方程,因为是二次的形式 202
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——202—— C(q) 代入方程 q C q 0.2 ( ) = 2e 中使之成为恒等式．这样就得到第三个概念： 如果函数满足一个微分方程，即把这个函数代入微分方程后，使这个微分方程 成为恒等式，则称此函数是该微分方程的解． 微分方程的解有很多， C q c q = + 0.2 ( ) 10e 和 = + q C q 0.2 ( ) 10e 80 都是微分方程 q C q 0.2 ( ) = 2e 的解，它可以分为两种： 不带任意常数的解称为特解． 带有任意常数（且常数的个数等于微分方程的阶数）的解称为通解． C q c q = + 0.2 ( ) 10e 是微分方程 q C q 0.2 ( ) = 2e 的通解， ( ) 10e 80 0.2 = + q C q 是微分方程 q C q 0.2 ( ) = 2e 满足 C(0) = 90 的特解． 已知自变量取某值时，未知函数（或导数）取特定的值，这样的条件称为初始 条件， 含有初始条件的微分方程称为初值问题． 归纳起来可知 q C q 0.2 ( ) = 2e 是一阶微分方程； C(0) = 90 是一个初始条件； = = (0) 90 ( ) 2e 0.2 C C q q 是一个初值问题； C q c q = + 0.2 ( ) 10e 是 q C q 0.2 ( ) = 2e 的通解； ( ) 10e 80 0.2 = + q C q 是 q C q 0.2 ( ) = 2e 的特解． 未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程 问题思考 ： x yy = e 是否为线性微分方程？ 答案不是线性微分方程，因为 yy 是二次的形式．
经济数学基础 第7章定积分的应用 例题讲解 例1己知某种产品的需求弹性恒为-1,且当价格为2时需求量为300,求需 求函数 解:设需求函数为qP),应满足 p dq q dp q(2)=300 这就是整个问题的数学模型,是一个初值问题.如何求q(P)将是下一节要讲 的内容 四、课后作业 指出下列微分方程的阶数: (1)()2+3y)-y3+6x3=0:(2)x2(y)-5y+e=0 (3)x”+(y)3-5x=snx 2阶 (2)1阶 (3) 2阶 203
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——203—— 三、例题讲解 例 1 已知某种产品的需求弹性恒为−1 ，且当价格为 2 时需求量为 300，求需 求函数． 解：设需求函数为 q( p) ，应满足 = = − (2) 300 1 d d q p q q p 这就是整个问题的数学模型，是一个初值问题．如何求 q( p) 将是下一节要讲 的内容． 四、课后作业 指出下列微分方程的阶数： （1） ( ) 3( ) 6 0 2 4 5 8 y + y − y + x = ；（2） ( ) 5 e 0 2 3 − + = x x y yy ； （3） xy (y ) 5xy sin x 3 + − = . （1）2 阶 （2）1 阶 （3）2 阶