章节题目 第一节对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 对弧长曲线积分的计算 内|对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 容提要 对弧长曲线积分的计算 重点分析 对弧长曲线积分的计算中,参数方程的确定及直角坐标、极坐标 参数方程三种情形下曲线积分计算公式 难点分析 ls3(单)、5 题布置 备注
1 章 节 题 目 第一节 对弧长的曲线积分 内 容 提 要 对弧长的曲线积分的概念与性质 对弧长曲线积分的计算 对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 重 点 分 析 对弧长曲线积分的计算 难 点 分 析 对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、 参数方程三种情形下曲线积分计算公式 习 题 布 置 P158 3（单）、5 备 注
教学内容 问题的提出 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量M=p·s 分割M1,M2…,Mn1→>As, 取(,n)∈As,△M1≈p(51,)As1 求和M≈∑p(5,n)△s,近似值 取极限M=m∑p(5,n),△S,精确值 (51,7 A M 二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界用L 上的点M1,M2…Mn把L分成n个小段设第个小段的长度为 As,又(5,,)为第个小段上任意取定的一点作乘积(,)As, 并作和∑f(5,m)As, B L M (1,n) 2
2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 近似值 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 精确值 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 ( , ) , , ( , ) , ( , ) , , , , . , ( , ) . 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s s i f s M M M L n i L xoy f x y L L 并作和 又 为第 个小段上任意取定的一点 作乘积 上的点 把 分成 个小段设第 个小段的长度为 设 为 面内一条光滑曲线弧 函数 在 上有界用 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值A→>0时,这和的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分,记作f(xy)d,即 (xy)ds=m2/(,n),△ 曲线形构件的质量M=.m(x,y)d 2存在条件: 当∫(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分[f(x,y)d存在 3推广 函数f(x,y,=)在空间曲线弧I上对弧长的曲线积分为 [f(xy=)d=m∑/(5,,)As 注意: 1.若L(或冂是分段光滑的(L=L1+L2) s+L f(, y)ds LA(x, y)ds+L/(x,)ds 2.函数(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记对f(x,y)b 4性质 ()[f(xy)±g(xy)ds=f(x,y)d±g(x,y)d (2)0(xy)=(xy)(为常数) (3J/(xy)d=f(xy)4+f(x,y2(L=L4+2) 三、对弧长曲线积分的计算 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为 q(1) y=v() (a≤t≤B)其中o(1),v()在a,B上具有一阶连续 导数,且[f(x,y)ds=[oOv(m)yq2()+v2()dh (a<B) 注意:1.定积分的下限a一定要小于上限B
3 ( , ) lim ( , ) . , ( , ) , ( , ) 0 , , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds f x y L 或 第一类曲线积分 记作 即 则称此极限为函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分 如果当各小弧段的 长度的最大值 时 这和的极限存在 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds 2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 函数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = → 注意： 1. ( ) , ( ) 若L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds 2. ( , ) ( , ) . L 函数f x y 在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为 f x y ds 4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf(x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2 三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) , ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t f x y L L L 导数 且 其中 在 上具有一阶连续 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 注意: 1. 定积分的下限一定要小于上限;
2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x) x≤b x,y)ds= f[x, v(x)]v1+()dx(a<b) (2)L:x=0(y)c≤y≤d (x,y)b=9)y小+gOy)(<d 推广 r:x=q(1),y=v(1),==0(1).(a≤t≤B) x,y =.no(t,v(.o()g2()+v2()+o2(nd (a<B) 例1求1=[xL:椭圆{x=a(第象限) y=bsin t, *1=[acosz-bsintv-asin ()'+(bcos)'dt ab2 sin tcostva2sin21+b2cos2tdt in t+bcos 1) ab(a+ab+6- 3(a+b) 例2求=yzd,其中L:y2=4x从(12)到1-2)段 解/=y11+()2d=0 2
4 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (a b) (2) L : x =( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = + (c d) 推广: : x =(t), y =(t), z =(t). ( t ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2 = + + f t t t t t t dt f x y z ds 例 1 ( ). sin , cos , 求 , :椭圆 第象限 = = = y b t x a t I xyds L L 解 I a t b t a t b t dt 2 2 2 0 = cos sin (− sin ) + ( cos ) ab t t a t b tdt 2 2 2 2 2 0 = sin cos sin + cos − = a b u du a b ab 2 2 2 ( sin cos ) 2 2 2 2 令u = a t +b t . 3( ) ( ) 2 2 a b ab a ab b + + + = 例 2 , : 4 , (1,2) (1, 2) . 求I = yds 其中L y 2 = x 从 到 − 一段 L 解 dy y I y 2 2 2 ) 2 = 1+ ( − = 0
4 0.511.52 例3 求=xy=其中:x=aos,y=asmO,==kB的一段 (0≤6≤2x) 解Ⅰ a2 cos esin e.kO√a2+k2d a2√a2+k 例4求/=xb,其中为圆周x+y2+2=n =0 解由对称性,知[x2d=yh==d 故=3(x2+y2+)=3=3(2m=球面大圆周长) 四、几何与物理意义 )当m(xy)表示L的线密度时,M=(xy2t (2)当f(x,y)=时,L氯长=d (3)当f(x,y)表示立于L上的柱面在点(x,y)处的高时, S面积=(xy)
5 例 3 (0 2 ) , : cos , sin , . = = = = 求I xyzds 其中 x a y a z k 的一段 解 = 2 0 I a k a k d 2 2 2 cos sin + . 2 1 2 2 2 = − ka a + k 例 4 + + = + + = = 0. , , 2 2 2 2 2 x y z x y z a 求I x ds 其中 为圆周 解 由对称性, 知 . 2 2 2 x ds = y ds = z ds I = (x + y + z )ds 3 故 1 2 2 2 = ds a 3 2 . 3 2 3 a = (2 ,球面大圆周长) a = ds 四、几何与物理意义 (1) 当(x, y)表示L的线密度时, ( , ) ; = L M x y ds (2) ( , ) 1 , ; = L 当 f x y 时 L弧长 ds (3) 当f (x, y)表示立于L上的柱面在点(x, y)处的高时, ( , ) . = L S柱面面积 f x y ds y 4x 2 =
z=f(x, y) s (4)曲线弧对地轴及y轴的转动惯量,1=xn,1,=ym (5)曲线弧的重心坐标x= y=- 五、小结 1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 思考题 对弧长的曲线积分的定义中△S,的符号可能为负吗? 思考题解答 △S,的符号永远为正,它表示弧段的长度
6 (4) 曲线弧对x轴及y轴的转动惯量 , , . 2 2 = = L y L I x x ds I y ds (5) 曲线弧的重心坐标 , . = = L L L L ds y ds y ds x ds x 五、小结 1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 思考题 对弧长的曲线积分的定义中 i S 的符号可能为负吗？ 思考题解答 i S 的符号永远为正，它表示弧段的长度. s L z = f (x, y)