章节题目 第四节对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念、性质 对面积的曲面积分的计算法 内容提要 对面积的曲面积分的计算 重点分析 曲面类型及投影区域的确定 难点分析 题P04、5、6(单) 布 备注
1 章 节 题 目 第四节 对面积的曲面积分 内 容 提 要 对面积的曲面积分的概念、性质 对面积的曲面积分的计算法 重 点 分 析 对面积的曲面积分的计算 难 点 分 析 曲面类型及投影区域的确定 习 题 布 置 P190 4、5、6（单） 备 注
教学内容 概念的引入 实例若曲面∑是光滑的,它的面密度为连续函数p(x,y,=),求它的质量 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时切平 面也连续转动 、对面积的曲面积分的定义 1定义设曲面Σ是光滑的,函数f(x,y,=)在Σ上有界,把Σ分成n小块△S (△S同时也表示第i小块曲面的面积),设点(52,,5)为AS上任意取定的点作 乘积∫(5,,5)AS,并作和∑f(5,,5)△S,如果当各小块曲面的直径的 最大值λ→>0时,这和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,2=)在曲面∑上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分 记为 f(x,y, z)ds 即刂f(x,y,=)S=m∑f(5,m,5)AS 其中f(x,y,z)叫被积函数,Σ叫积分曲面 2对面积的曲面积分的性质 若Σ可分为分片光滑的曲面Σ及Σ2,则 f(x,y, =ds=If(x,y, z)dS+llf(x,y, =)ds 三、计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种: 1.若曲面∑:z=x(x,y) 则‖f(x,y,=)dS=‖fx,y,-(x,y)]y+12+12d 2.若曲面Σ:y=y(x,) 2
2 教 学 内 容 一、概念的引入 实例 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连续函数 (x, y,z) , 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平 面也连续转动. 二、对面积的曲面积分的定义 1.定义 设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z) 在 上有界, 把 分成 n 小块 i S （ i S 同时也表示第 i 小块曲面的面积）,设点 ( , , ) i i i 为 i S 上任意取定的点,作 乘积 ( , , ) i i i f i S , 并作和 = n i i i i f 1 ( , , ) i S , 如果当各小块曲面的直径的 最大值 →0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y,z) 在曲面 上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分. 记为 f (x, y,z)dS . 即 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S = → lim ( , , ) 1 0 其中f (x, y,z)叫被积函数， 叫积分曲面. 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 ,则 f (x, y,z)dS = + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS . 三、计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种： 1. 若曲面: z = z(x, y) 则 = f (x, y,z)dS [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy x y + + 2. 若曲面: y = y(x,z)
pu [S/(x,y, =)dS=rIx, y(x, =),= 1+y?+y2, 3.若曲面∑:x=x(y,z) 则j/(x,y=)△=几x0,)y+x2+x2d 例1计算(x+y+=21d,其中∑为平面y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的 部分 解积分曲面∑:z=5-y,投影域:D={(x,y)|x2+y2≤25} 故∫(x+y+=√2j(x+y+5-h=√(5+x)td V2 de (s+coso)dr=125/2r 例2计算川xy=|dS,其中Σ为抛物面=x2+y2(0≤=≤1) 解依对称性知:抛物面=x2+y2关于z轴对称
3 则 = f (x, y,z)dS [ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz x z + + 3. 若曲面： x = x(y,z) 则 = f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z + + 例 1 计算 (x + y + z)ds ,其中 为平面 y + z = 5 被柱面 25 2 2 x + y = 所截得的 部分. 解 积分曲面 ： z = 5 − y ,投影域 ： {( , )| 25} 2 2 Dxy = x y x + y dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + dxdy 2 = 1+ 0 + (−1) = 2dxdy, 故 (x + y + z)ds = + + − Dxy 2 (x y 5 y)dxdy = + Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr = + 5 0 2 0 2 (5 cos) =125 2. 例 2 计算 xyz dS | | ,其中 为抛物面 2 2 z = x + y （ 0 z 1 ）. 解 依对称性知： 抛物面z = x 2 + y 2关于z轴对称， x y z
被积函数|xyz|关于xO、y0x坐标面对称 有∫=4成立,(为第一卦限部分曲面) dxdy=1+(2x)2+(2y) dxdy 原式=jx|4=4」∫xyds=4x(x2+y)h+(2x)+()dh 其中Dn={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0} 利用极坐标x= rcos t,y=rsit a dt 5 cost in (-P2V1+4r2rdr =2sm2t√+4Fb=1+4 25 420 例3计算什xdS,其中∑是圆柱面x2+y2=1,平面z=x+2及z=0所围 成的空间立体的表面 解∫=』++』∫ 其中∑1:二=0,∑2:z=x+2, Σ3:x2+y=1投影域D:x2+y2≤1 显然‖xdS=xdxd=0 xds=[xVi+ lardy=0 讨论Σ3时,将投影域选在xOE上
4 被积函数 | xyz| 关于 xoz、 yoz 坐标面对称 有 = 1 4 成立，( 1 为第一卦限部分曲面) dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + x y dxdy 2 2 = 1+ (2 ) + (2 ) 原式 xyz dS = | | xyzdS = 1 4 x y x y x y dxdy Dxy 2 2 2 2 = 4 ( + ) 1+ (2 ) + (2 ) 其中 {( , )| 1 2 2 Dxy = x y x + y , x 0, y 0} 利用极坐标 x = r cost , y = rsin t , dt r t t r r rdr = + 1 0 2 2 2 2 0 4 cos sin 1 4 tdt r r dr 2 1 0 5 0 2 sin 2 1 4 2 = + 令 2 u =1+ 4r du u u 2 5 1 ) 4 1 ( 4 1 − = . 420 125 5 −1 = 例 3 计算 xdS , 其中 是圆柱面 1 2 2 x + y = , 平面 z = x + 2 及 z = 0 所围 成的空间立体的表面. 解 = + + 1 2 3 其中 1： z = 0, 2 ： z = x + 2, 3： 1 2 2 x + y = .投影域 D1： 1 2 2 x + y 显然 0 1 1 = = D xdS xdxdy , 1 1 0, 2 1 = + = D xdS x dxdy 讨论 3 时, 将投影域选在 xoz 上
XO (注意:y=±√1-x2分为左、右两片) (左右两片投影相同) xds=xdS+xds=2xv1+y +y/ dxd= -dxdz=2 xdS=0+0+丌=丌 例4计算(x2+y2+2)AS,其中∑为内接于球面x2+y2+2=a2的八面体 解被积函数∫(x,y,z)=x2+y2+二2,关于坐标面、原点均对称,积分曲面∑也 具有对称性,故原积分 (其中Σ1表示第一卦限部分曲面 x+y+2=a,即z=a-x-y V1+=x+yth=√3thy (x2+y2+=2) 8J(x2+y2+2)ds=Jix+y2+(a-x-y2N3drdy=2 3a 四、小结
5 （注意： 2 y = 1− x 分为左、右两片） （左右两片投影相同） 3 xdS = 31 xdS + 32 xdS = + + Dxz x yx yz dxdz 2 2 2 1 − = + Dxz dxdz x x x 2 2 1 2 1 − + − = 1 1 2 2 0 1 2 x dx dz x x = , xdS = 0+0+ = . 例 4 计算 (x y z )dS 2 2 2 + + , 其中 为内接于球面 2 2 2 2 x + y + z = a 的八面体 | x | + | y | + | z |= a 表面. 解 被积函数 f (x, y,z) = 2 2 2 x + y + z ,关于坐标面、原点均对称 , 积分曲面 也 具有对称性 , 故原积分 = 1 8 , (其中 1 表示第一卦限部分曲面) 1： x + y + z = a, 即 z = a − x − y dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + = 3dxdy (x y z )dS 2 2 2 + + = + + 1 8 ( ) 2 2 2 x y z dS x y a x y dxdy Dxy = 8 [ + + ( − − ) ] 3 2 2 2 2 3 . 4 = a 四、小结 xoz
1、对面积的曲面积分的概念 (xy,)4S=m∑/(5,nAS 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算 (按照曲面的不同情况分为三种) 思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中有因子,1+2+2试说明这个因 子的几何意义 思考题解答 dS是曲面元的面积,cos(n,z)= 故√1+=2+2是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数
6 1、 对面积的曲面积分的概念; f (x, y,z)dS i i i n i = f i S = → lim ( , , ) 1 0 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况分为三种） 思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子, 2 2 1 x y + z + z 试说明这个因 子的几何意义. 思考题解答 dS 是曲面元的面积, 2 2 1 1 cos( , ) x y z z n z + + = 故 2 2 1 x y + z + z 是曲面法线与 z 轴夹角的余弦的倒数
