《高等数学》课程电子教案：第十章（10.7）斯托克斯公式 环流量与旋度

章节题目 第七节斯托克斯( stokes)公式环流量与旋度 斯托克斯( stokes)公式 环流量与旋度 内容提要 斯托克斯( stokes)公式的使用条件、使用范围、用途 重点分析 利用斯托克斯( stokes)公式计算空间曲线积分 难点分析 习题布置 P 224 1(单)、3 备注

1 章 节 题 目 第七节 斯托克斯（stokes）公式环流量与旋度 内 容 提 要 斯托克斯（stokes）公式 环流量与旋度 重 点 分 析 斯托克斯（stokes）公式的使用条件、使用范围、用途 难 点 分 析 利用斯托克斯（stokes）公式计算空间曲线积分 习 题 布 置 P224 1（单）、3 备 注

教学内容 斯托克斯 stokes)公式 定理设r为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以r为边界的分片光滑的有向曲 面,的正向与∑的侧符合右手规则,函数P(x,y,=),Q(x,y,x),R(x,yz)在包 含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式 Dude dex t Dad =APdx+Ody+Rdz 斯托克斯公式 右手法则 ∑ 证明如图 ∑二=f(x,y) 设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点,并Σ取上侧有向曲线C为∑的正向边 界曲线r在xoy的投影且所围区域D 思路:曲面积分→二重积分→曲线积分 ddv cos B--cos r )ds 又∴cosB=-f,cosy,代入上式得 aP cOS 2

2 教 学 内 容 一、斯托克斯(stokes)公式 定理 设  为分段光滑的空间有向闭曲线,  是以  为边界的分片光滑的有向曲 面,  的正向与  的侧符合右手规则, 函数 P(x, y,z) ,Q(x, y,z), R(x, y,z) 在包 含曲面  在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx +Qdy + Rdz 斯托克斯公式 证明 如图 设Σ与平行于 z 轴的直线相交不多于一点, 并Σ取上侧,有向曲线 C 为Σ的正向边 界曲线  在 xoy 的投影.且所围区域 Dxy . 思路：曲面积分 → 二重积分 → 曲线积分 ds y P z P dxdy y P dzdx z P ( cos  cos )   −   =   −        又 cos  = − f y cos , 代入上式得 f ds z P y P dxdy y P dzdx z P y ( ) cos   +   = −   −       n    右手法则 x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy C n 

dzdx--dxdy= fy )dxdy PIx,y, f(x, y) apaP az odsdx-odxdy-[[--P[, y,f(x, y)]dxdy 根椐格林公式 PIx,y, f(x,y)drdy=fP[x,y,(,y)Jdx 即ox-h=手Pxy(xy)h平面有向曲线 ay d-dhy=P(x,y)b,空间有向曲 同理可证 订ah-d=0xy: aR cAx=R(x,y,=d= j②+(本+(图 =Pd+Qh+R故有结论成立 dydz dzdx dxdy 便于记忆形式』282 Pdx+Ody+rd- o R B 另一种形式 ds=o Pdx+Ody+ rd Q R 其中n={cosa,cosB,cosy} Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系

3 f dxdy z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )   +   = −   −       即 y f z P y P P x y f x y y    +   =   [ , , ( , )] P[x, y, f (x, y)]dxdy , y dxdy y P dzdx z P Dxy     = −   −    根椐格林公式   =   − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y xy [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P  c =   −    即 [ , , ( , )] 平面有向曲线 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P    =   −   空间有向曲线 同理可证 dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q    =   −   dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R    =   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 故有结论成立. 便于记忆形式    = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy 另一种形式    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos n ={cos,cos,cos}  其中 Stokes 公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系

当Σ是xoων面的平面闭区域时,斯托克斯公式在特殊情形得到格林公式 、简单的应用 例1计算曲线积分5+xd+y,其中是平面x+y+=1被三坐标面所 截成的三角形的整个边界它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规 解按斯托克斯公式有+xb+y=小+t+dh 由于Σ的法向量的三个方向余弦都为正,再由对称性知: [ dyd=+ddxdrdy=afdc D如图 dx+xdy+ ydz 例2计算曲线积分{(y2-=2)x+(x2-x2)+(x2-y2)其中r是平面 x+y+z=截立方体:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤≤1的表面所得的截痕,若从 ox轴的正向看去取逆时针方向

4 当Σ是 xoy 面的平面闭区域时，斯托克斯公式在特殊情形得到格林公式 二、简单的应用 例 1 计算曲线积分 zdx + xdy+ ydz  ,其中  是平面 x + y + z =1 被三坐标面所 截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规 则. 解 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy 由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：   dydz + dzdx + dxdy  = Dxy 3 d Dxy如图 zdx xdy ydz  + + 例 2 计算曲线积分 (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 − + − + −  其中  是平面 2 3 x + y + z = 截立方体: 0  x 1, 0  y 1, 0  z 1 的表面所得的截痕,若从 ox 轴的正向看去,取逆时针方向. 0 Dxy x y z n 1 1 1 x y o 1 1 Dxy

解取Σ为平面x+y+2=的上侧被r所围成的部分则n={11 y 0,20.40.60,811.2 即cosa=cosB=cosy 33√ d ax 4 (xy+)(在上x+y+=2 4 9 三、物理意义--环流量与旋度 1.环流量的定义

5 解 取Σ为平面 2 3 x + y + z = 的上侧被  所围成的部分.则 {1,1,1} 3 1 n =  即 , 3 1 cos = cos  = cos = ds y z z x x y x y z I   − − −        = 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1   = − (x + y + z)ds 3 4 ) 2 3 (在上x + y + z =   = −  ds 2 3 3 4  = − Dxy 2 3 3dxdy . 2 9 = − 三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量的定义: z x y o  n   Dxy 2 3 x + y = 2 1 x + y =

设向量场A(x,y,z)=P(x,y,=)+Q(x,y,z)j+R(x,y,)则沿场A中 某一封闭的有向曲线C上的曲线积分r=Ad=Pdx+Qh+R 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量 利用 stokes公式,有 环流量I=Ad=|8 ax az 2.旋度的定义 称向量 为向量场的旋度(rof) ax ay az P O R k 旋度rotA= ax ay d= ay a=a ar*(oo ap aa aR 80 斯托克斯公式的又一种形式 aR a0 aP )cosa cos y ds Pcosλ+ Ocos u+Rosi)ds 其中 ∑的单位法向量为n= cOS I+ cos B j+ cosy k, r的单位切向量为t= cos 1i+ cos AJ+ cosvk 斯托克斯公式的向量形式mndS=fids或ou,dS=54 其中 (rotA),=rotA n=( aR \cos B+( )cosy A =A n=Pcos+ocos u+Rcosv 环流量r=』md=54 Stokes公式的物理解释向量场A沿有向闭曲线r的环流量等于向量场A的旋度

6 . ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 称为向量场 沿曲线 按所取方向的环流量 某一封闭的有向曲线 上的曲线积分 设向量场 则沿场 中 A C C A ds Pdx Qdy Rdz A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k A C C            =  = + + = + + 利用 stokes 公式, 有 ds P Q R x y z i j k A ds C               =  =    环流量 2. 旋度的定义: (rotA). P Q R x y z i j k     称向量 为向量场的旋度       P Q R x y z i j k rotA       =     旋度 ( ) ( ) ( )k. y P x Q j x R z P i z Q y R      −   +   −   +   −   = 斯托克斯公式的又一种形式 dS y P x Q x R z P z Q y R [( ) cos ( ) cos  ( ) cos ]   −   +   −   +   −     (Pcos Qcos Rcos)ds   = + + 其中 n cos i cos j cos k ,     的单位法向量为 =  +  +  t i j k     的单位切向量为 = cos + cos  + cos 斯托克斯公式的向量形式     rotAndS = At ds         rotA dS = Ads n t ( )  或 其中 ( ) ( ) cos ( ) cos  ( )cos y P x Q x R z P z Q y R rotA n rotA n   −   +   −   +   −   =  =    At = An = Pcos +Qcos + Rcos        = rotAds = Ads t   环流量 Stokes 公式的物理解释:向量场 A  沿有向闭曲线  的环流量等于向量场 A  的旋度

场通过r所张的曲面的通量(r的正向与Σ的侧符合右手法则) 例3设一刚体绕过原点O的某个轴转动其角速度=(a1O2a2),刚体上每一点 处的线速度构成一个线速场则向量F=OM=,y在点M处的线速度 解由力学知道点M的线速度为 =0X 由此可看出旋度与旋转角速度的关系 观察旋度roti={2a,2o22o3}=2o 四、小结 斯托克斯公式 dydz dzdx dxdy ds= Pdx+Ody+ Rdz ay az ay az R P rotA- ndS= 斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义

7 场通过  所张的曲面的通量.(  的正向与  的侧符合右手法则) 例 3 设一刚体绕过原点O的某个轴转动,其角速度 ( , , )  = 1 2 3  ,刚体上每一点 处的线速度构成一个线速场,则向量 r = OM  = x, y,z 在点 M 处的线速度 解 由力学知道点 M 的线速度为 v = r =     x y z i j k 1 2 3    由此可看出旋度与旋转角速度的关系. 观察旋度 rot v  2 , 2 , 2  2 . 1 2 3   = = 四、小结 斯托克斯公式 =         ds P Q R x y z cos cos  cos    = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy     = rotAndS = At ds     斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义 M v   L o