《高等数学》课程电子教案：第十二章（12.10）二阶常系数非齐次线性微分方程

章节题目 第十节二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式,及f(x)为两种不同形式 时的解法 内 容提要 两种类型的非齐次线性微分方程特解的确定 重点分析 特解形式的确定 难点分析 题|Py1(单)、2(单,56 布 备注

1 章 节 题 目 第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 内 容 提 要 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式，及 f x( ) 为两种不同形式 时的解法 重 点 分 析 两种类型的非齐次线性微分方程特解的确定 难 点 分 析 特解形式的确定 习 题 布 置 P394 1（单）、2（单）、5、6 备 注

教学内容 、f(x)=ePn(x)型 y"+py+qy=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y+py+qy=0, 通解结构y=Y+, 常见类型P(x),P(x)e,Pn(x)e"cos鱼r,Pn(x)esnx 难点:如何求特解?方法:待定系数法 设非齐方程特解为y=Qx)e代入原方程 Q(x)+(2A+p)Q(x)+(x2+p2+q)Q(x)=Pn(x) (1)若不是特征方程的根,2+p2+q≠0 可设Q(x)=Qn(x),j=Qn(x)e (2)若λ是特征方程的单根, 2+p2+q=0,22+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)e (3)若λ是特征方程的重根 2+p2+q=0,22+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),y=x2Qn(x)ex 综上讨论 0A不是根 设=xe"Qn(x),k={1是单根 2是重根 注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数) 特别地y”+p+qy=Ae

2 教 学 内 容 一、 f (x) e P (x) m x = 型 y  + py  + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y  + py  + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？方法：待定系数法. 设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q x p Q x p q Q x P x + + + = m  +  +    (1)若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = (2)若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y xQ x e  = (3)若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 Q x x Q x 可设 = m ( ) . 2 x m y x Q x e  = 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 =      = 是重根 是单根 不是根    2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程（k 是重根次数）. 特别地 x y py qy Ae + + =

ex,A不是特征方程的根 22+p元+q xeλ是特征方程的单根 t p A λ是特征方程的重根 例1求方程y-3y+2y=xe2x的通解 解特征方程r2-3+2=0 特征根n=1,n2=2, 对应齐次方程通解Y=ce+c2e2x, =2是单根,设j=x(Ax+Be2x, 代入方程,得2Ax+B+2A=x∴ 2 于是y=x(x-1)e2x 原方程通解为y=C1e2+C2e2x+x(x-1)e2x f(x)=e[P(x)cos ax+P(x)sin ax]y f(x)=e[ P cos ox+ P sin ox]利用欧拉公式 IP Pn\(2+10)x+ P(x)e+je)+ P(x)e -JeJr 设y”+p'+qy=P(x)eo)x,n=x'Qnc+)x, it y+py+gy= P(x)e(-yjo), y,=xgn,e -jer 下=xe[Qne/+⑨e

3          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A x e p A e p q A y 2 2 2 , 2 , 例 1 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2x 的通解 解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 =1，r2 = 2， 对应齐次方程通解 , 2 1 2 x x Y = c e + c e  = 2是单根， ( ) , 2x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax+ B+2A= x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e +C e + x x − e 二、f (x) = e x [Pl (x) cosx + Pn (x)sin x]型 f (x) e [P cos x P sin x] l n x    = + 利用欧拉公式 ] 2 2 [ j e e P e e e P j x j x n j x j x l x      − − − + + = l n j x l n j x e j P P e j P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 ( +  −  = + + − ( ) ( ) , ( j )x ( j )x P x e P x e +  −  = + ( ) , ( j ) x y py qy P x e +  设 + + = , ( ) 1 j x m k y x Q e +  = ( ) , ( j )x y py qy P x e −  设 + + = , ( ) 1 j x m k y x Q e −  = [ ] j x m j x m k x y x e Q e Q e   −   = +

xe"[ro(x)cos ax+ R(x)sin ax]. 其中R(x,R2(x)是m次多项式,m=mxn k={0+/O)不是根 λ±jo是单根 注意:上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 例2求方程y”+y=4snx的通解 解:对应齐方通解Y=C1cosx+C,snx, 作辅助方程y"+y=4e λ=j是单根故y=Axe", 代入上式24=4,∴A=-2 2xsin x-(2xcos x)j, 所求非齐方程特解为y=-2 x coS x,(取虚部 原方程通解为y= C.cos x+C2snx-2 X cosx 例3求方程y+y=xcos2x的通解 解:对应齐方通解Y=CC0sx+C2Snx 作辅助方程y"+y=xe ∵=2j不是特征方程的根, 设y=(Ax+B)e2/,代入辅助方程 ∫44-3B=0 1,_4;2) 14 De,=(--x-)(cos 2x+jsin 2x) -xcos 2x+rsin 2x-(cos 2x +xsin 2x) 所求非齐方程特解为y3xCD2x+4 n2x,(取实部)

4 [ ( ) cos ( )sin ], (1) (2) x e R x x R x x m m k x    = + 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式，m = maxl,n , 1 0      = 是单根 不是根     j j k 注意：上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程. 例 2 求方程 y + y = 4sin x的通解. 解：对应齐方通解 cos sin , 1 2 Y =C x +C x 作辅助方程 4 , jx y + y = e  = j 是单根, , * jx 故 y = Axe 代入上式 2Aj = 4,  A = −2 j, 2 2 sin (2 cos ) , * y jxe x x x x j jx  = − = − 所求非齐方程特解为 y = −2x cos x, （取虚部） 原方程通解为 cos sin 2 cos . 1 2 y =C x +C x − x x 例 3 求方程 y + y = xcos2x的通解. 解：对应齐方通解 cos sin , 1 2 Y =C x +C x 作辅助方程 , 2 jx y + y = xe  = 2 j 不是特征方程的根, ( ) , * 2 jx 设 y = Ax + B e 代入辅助方程    − = − = 3 1 4 3 0 A Aj B , 9 4 3 1  A = − ，B = − j ) , 9 4 3 1 ( * 2 jx  y = − x − j e )(cos 2 sin 2 ) 9 4 3 1 = (− x − j x + j x sin 2 ) , 3 1 cos 2 9 4 sin 2 ( 9 4 cos 2 3 1 = − x x + x − x + x x j 所求非齐方程特解为 sin 2 , 9 4 cos 2 3 1 y = − x x + x （取实部）

原方程通解为y=C;cosx+C1smx-1x0s2x+4sm2x 注意 de cos ax. Ae sin ax 分别是Ae+o)x的实部和虚部 例4求方程y+y=tanx的通解 解:对应齐方通解Y=C1cosx+C2snx 用常数变易法求非齐方程通解设y=c1(x)cosx+c2(x)snx, (x)=1.c(x) sin x/sec x+tan x+CI c,(x)=-cos x+C? 原方程通解为y= C cosx+C2sinx- cos x.hnlsec x+tmnx 三、小结(待定系数法) (1)f(x)=eP(x),(可以是复数)jy=xeQn(x) (2)f(x)=e[P(x)cos ax+ P(x)sin ax], y=xe[r(x)cos ax+R2 (x)sin ax] 只含上式一项解法:作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特 解 思考题 写出微分方程y-4y+4y=6x2+8e2的待定特解的形式 思考题解答 设y-4y+4y=6x2的特解为y,设y-4y+4y=8e2x的特解为y2 则所求特解为y=y+y r2-4r+4=0特征根r12 y=Ax2+Bx+Cy2=D2e2(重根) y=y,+y2=Ax+ Bx+C+Dxe

5 原方程通解为 sin 2 . 9 4 cos 2 3 1 y = C1 cos x +C2 sin x − x x + x 注意 Ae x Ae x x x     cos , sin . 分别是 Ae(+ j) x 的实部和虚部 例 4 求方程 y + y = tan x的通解. 解：对应齐方通解 cos sin , 1 2 Y =C x +C x 用常数变易法求非齐方程通解 ( )cos ( )sin , 1 2 设 y = c x x +c x x w(x) =1, , ( ) cos ( ) sin ln sec tan 2 2 1 1    = − + = − + + c x x C c x x x x C 原方程通解为 cos sin cos ln sec tan . 1 2 y =C x +C x − x x + x 三、小结(待定系数法) (1) f (x) = e xPm (x), (可以是复数）y x e Q (x); m k x = (2) f (x) e [P(x) cos x P (x)sin x], l n x    = + [ ( ) cos ( )sin ]; (1) (2) y x e R x x R x x m m k x    = + 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特 解. 思考题 写出微分方程 x y y y x e 2 2 − 4 + 4 = 6 +8 的待定特解的形式. 思考题解答 设 2 y − 4y + 4y = 6x 的特解为 * 1 y ，设 x y y y e 2 − 4 + 4 = 8 的特解为 * 2 y 则所求特解为 * 1 * y = y * 2 + y 4 4 0 2 r − r + = 特征根 r1,2 = 2  y = Ax + Bx +C * 2 1 x y Dx e * 2 2 2 = （重根） * 1 * y = y * 2 + y = Ax + Bx +C 2 . 2 2x + Dx e