章节题目 第三节数列的极限 研究数列及其变化规律 讲授极限思想精确定义,几何意义; 内|收敛数列的性质:有界性、极限的唯一性 容提要 极限思想精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性、极限的唯一性. 重点分析 极限思想,精确定义 收敛数列的有界性 难点分析 题|P2:23(1)(3.4,5 布 备注
1 章 节 题 目 第三节 数列的极限 内 容 提 要 研究数列及其变化规律; 讲授极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性. 重 点 分 析 极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性. 难 点 分 析 极限思想,精确定义 收敛数列的有界性 习 题 布 置 P42 ：2、3（1）（3）、4、5 备 注
教学内容 概念的引入 割圆术: 割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 正六边形的面积A1:正十二边形的面积A2;… 正6×2形的面积An A1,A2,43,…,An2…→>S 2、截丈问题: 尺之棰,日截其半,万世不竭” 第一天截下的杖长为x1= 第二天截下的杖长总和为x2=2+2 第n天截下的杖长总和为X.=1+1+…+1 、数列的定义 定义:按自然数1,2,3,…编号依次排列的一列数 称为无穷数列简称数列其中的每个数称为数列的亟x称为通项(一般项)数列(1) 记为{xn} 例如:24,8, l11 1,-1,1,…,(-1) (-1)-} 4n+(-1) n+(-1) √3,3 +13
2 教 学 内 容 一、概念的引入 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 正六边形的面积 A1 ；正十二边形的面积 A2 ； 正 1 6 2 − n 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , → S 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = + ; 2 1 2 1 2 1 n 2 n 第n天截下的杖长总和为 X = + ++ 1 2 1 X n = 1− n → 二、数列的定义 定义:按自然数 1,2,3, 编号依次排列的一列数 x1 , x2 , , xn , (1) 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项, n x 称为通项(一般项).数列(1) 记为 { }n x . 例如： 2,4,8, ,2 , ; n {2 } n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n } 2 1 { n 1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 3, 3+ 3,, 3+ 3+ + 3 ,
注意: 1数列对应着数轴上一个点列可看作一动点在数轴上依次取 x 2数列是整标函数xn=f(n) 、数列的极限 观察数列{+();当m→O时的变化趋势 问题:当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时,x=1+(-1)”无限接近于1 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它 给定,由 100 n100·只要 时,有|xn-1 给定 1000 只要n>1000有 1000 给定 10000 只要n>1000付有xn-l 10000 给定E>0,只要n>N(=[时,有x,-1N时的一切x,不等式xn-da(n→>∞) 如果数列没有极限就说数列是发散的 注意 1不等式xn-d0,>0,使n>M时恒有xn-d<E
3 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 x f (n). n = 三、数列的极限 } . ( 1) {1 1 观察数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n 问题: 当 n 无限增大时, n x 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. xn −1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − , 100 1 给定 , 100 1 1 n 由 只要 n 100时, , 100 1 有 xn −1 , 1000 1 给定 只要 n 1000时, , 1000 1 有 xn −1 , 10000 1 给定 只要 n 10000时, , 10000 1 有 xn −1 给定 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 n N = 有 −1 成立. n x 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 n x ,不等式 x − a n 都成立,那末就称常数 a 是数列 n x 的极限,或 者称数列 n x 收敛于 a ,记为 lim x a, n n = → 或 x → a (n →). n 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式x a 刻划了x 与a的无限接近; n n − 2.N与任意给定的正数有关. − : lim = 0, 0, , − . → N xn a N n N xn a n 定义 使 时 恒有 1 x 2 x3 x 4 x n x
其中V:每一个或任给的,彐:至少有一个或存在 几何解释: E M2 I XN+l a 当n>N时,所有的点x都落在(a-E,a+E)内 只有有限个(至多只有N个)落在其外 注意:数列极限的定义未给出求极限的方法 例1证明mn+(-1)=1 +(-1)1 任给E>0,要-11 所以,取N=[],则当n>M时, 就有n+(-1) kE即hm+(-1) 例2设xn=C(C为常数),证明lm 证:任给E>0,对于一切自然数n, x-C=(C-q=00,寻找N但不必要求最小的 例3证明mq=0,其中q0,若q=0,则mq”=lim0=0 若0N时,就一0<6 In a
4 其中 :每一个或任给的; :至少有一个或存在. 几何解释: ( ) . , ( , ) , 只有有限个 至多只有 个 落在其外 当 时 所有的点 都落在 内 N n N xn a − a + 注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 例 1 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 证明 证： xn −1 1 ( 1) 1 − + − = − n n n n 1 = 任给 0, −1 , n 要 x , 1 n 只要 , 1 或n 所以, ], 1 [ 取N = 则当n N时, − + − − 1 ( 1) 1 n n n 就有 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 即 例 2 x C(C ), lim x C. n n n = → 设 为常数 证明 证： 任给 0, 对于一切自然数n, xn −C = C −C = 0 成立, 所以, lim x C. n n = → 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找 N,但不必要求最小的 N. 例 3 lim = 0, 1. → q q n n 证明 其中 证 任给 0, 若q = 0, lim = lim 0 = 0; → n→ n n 则 q 若0 q 1, − 0 = , n xn q nln q ln , , ln ln q n ], ln ln [ q N 取 = 则当n N时, − 0 , n 就有q x 1 x 2 x N+2 x N +1 x 3 x 2 a− a + a
imq”=0 例4设xn>0.,且mxn=a>0,求证m√xn= 证:任给E>0,lm 丑N使得当n>M时恒有xn-aM时恒有x-d0,N1,N2使得当n>N时恒有xn-d<E
5 lim = 0. → n n q 例 4 x 0, lim x a 0, lim x a. n n n n n = = → → 设 且 求证 证： 任给 0, lim x a, n n = → , 1 N n N x −a 使得当 时恒有 n x a x a x a n n n + − 从而有 − = a x a n − a 1 = lim x a. n n = → 故 四、数列极限的性质 1.有界性 定义: 对数列 n x , 若存在正数 M , 使得一切自然数 n , 恒有 xn M 成立, 则称 数列 n x 有界, 否则, 称为无界. 例如, ; +1 = n n x 数列 n 有界 2 . n n 数列 x = 无界 数轴上对应于有界数列的点 n x 都落在闭区间 [−M,M ] 上. 定理 1 收敛的数列必定有界. 证： lim x a, n n = → 设 由定义, 取 =1, N, n N x −a 1, 则 使得当 时恒有 n a −1 x a +1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n 故 有界. n x 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性 定理 2 每个收敛的数列只有一个极限. 证: lim x a, lim x b, n n n n = = → → 设 又 由定义, 0,N1 ,N2 .使得 ; 1 n N x −a 当 时恒有 n
当n>N2时恒有xn-bN时有l-b=(xn-b)-(x-a)≤xn-b+xn-dN时,有xn一dN时,x∈(a-,a+,区间长度为1 而xn无休止地反复取1-两个数不可能同时位于长度为1的区间内 事实上{xn}是有界的但却发散 五小结 数列:研究其变化规律 数列极限极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质有界性唯一性 思考题 指出下列证明in√n=1中的错误 证明:要使n0,取N In(1+8) 当n>N时,必有0<3<1+E成立 思考题解答 <1+ nn<mn(1+E)(等价) 6
6 ; 2 n N x −b 当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 则当n N时有 a b (x b) (x a) − = n − − n − xn −b + xn −a + = 2. 上式仅当a = b时才能成立. 故收敛数列极限唯一. 例 5 ( 1) . 证明数列xn = − n+1是发散的 证: lim x a, n n = → 设 由定义, , 2 1 对于 = , 2 1 则N,使得当n N时,有 xn − a 成立 ), 2 1 , 2 1 即当n N时, xn (a − a + 区间长度为 1. 而 无休止地反复取1, −1两个数, n x 不可能同时位于长度为 1 的区间内. 事实上,{ }是有界的,但却发散. n x 五.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性. 思考题 指出下列证明 lim =1 → n n n 中的错误。 证明：要使 1+ , n n 只要使 ln ln(1 ) 1 n + n 从而由 ln 2 ln(1 ) ln 1 ln(1 ) + + n n 得 0, 取 1 ln(1 ) ln 2 + + = N 当 n N 时，必有 0 1+ n n 成立 lim =1 → n n n 思考题解答 1+ n n ~ ln ln(1 ) 1 n + n （等价）
证明中所采用的N>h(1+E) In 2 In 2 仅有-<h(1+E)成立 但不是-<h(1+c)的充分条件
7 证明中所采用的 ln 2 ln(1 ) ln 1 ln(1 ) + + n n 实际上就是不等式 ln(1 ) ln 2 ln + n n n 即证明中没有采用“适当放大” n ln n 的值，反而缩小为 n ln 2 从而 ln 2 ln(1+ ) n N 时， 仅有 ln(1 ) ln 2 + n 成立， 但不是 ln(1 ) ln + n n 的充分条件．