章节题目 第三节反函数的导数、复合函数求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则 内容提要 复合函数的求导法则 重点分析 利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正 确使用链导法 难/抽象函数求导 点 分 析 118:1(单)、2(单)、3(单)、5 题布置 备注
1 章 节 题 目 第三节 反函数的导数、复合函数求导法则 内 容 提 要 反函数的求导法则 复合函数的求导法则 重 点 分 析 复合函数的求导法则 难 点 分 析 利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正 确使用链导法 抽象函数求导 习 题 布 置 P118：1（单）、2（单）、3（单）、5 备 注
教学内容 反函数的导数 定理 如果函数x=9()在某区间J内单调、可导且q(y)≠0, 那末它的反函数y=f(x)在对应区间l2内也可导,且有 f(x)= 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 证:任取x∈l2给x以增量Ax(△x≠0,x+△x∈l2) 由y=f(x)的单调性可知△y≠0, 于是有少_1 f(x)连续,4y→0(x→0)又知q(y)≠0 即f(x)= ax→0Ax4→0Ax(y) o() 例1求函数y= arcsin x的导数 解:∵x=sny在1∈(-,内单调、可导,且(sny)y=cosy>0, 在l1∈(-11)内有 (arcs x= sin y) cos y√-sin2y 同理可得( arccos x)y= (arctan x) 1+x2,(arc cot x)'=_I 1+x 例2求函数y= log. x的导数 解::x=a在l,∈(-∞,+∞)内单调、可导,且(a)=aha≠0, 在,∈(0,+∞)内有
2 教 学 内 容 一、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 , x f x y f x I x y I y x y = = = 那末它的反函数 在对应区间 内也可导 且有 如果函数 在某区间 内单调、可导且 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 证： , x 任取xI 给x以增量x ( 0, ) x x x + xI 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1 y x x y = f (x)连续, y → 0 (x → 0), 又知(y) 0 x y f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim 0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x 即 = 例 1 求函数 y = arcsin x的导数. 解： ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = 同理可得 . 1 1 (arccos ) 2 x x − = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = . 1 1 ( cot ) 2 x arc x + = − 例 2 求函数 y log x的导数. = a 解： = 在 (−,+)内单调、可导, y y x a I (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I
(a)aIna xh a 特别地(血x)1 二、复合函数的求导法则 定理 如果函数u=(x)在点x可导,而y=f()在点u=0(x)可 导,则复合函数y=[(x)在点x可导,且其导数为 t/≈n=f(l0),(x0) 即:因变量对自变量求导等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求 导(链式法则) 证:由y=f(u)在点L可导,∴m~=fV4) 故Ay=f(x)+a(hma=0)则Ay=f(an)△M+a△M lin My=lim [(uo)+a]=f(uo)lim 4u △t△t +lm a lim △x→0△x f(uoo(xo) 推广: iy=f(u),u=o(v), v=y(x) 则复合函数y=f{v(x)}的导数为 dy dy du d dx du dy dx 例3求函数y=hsnx的导数 解: u. u=SIn x dydy du CoS x COSx= dx du dx u 例4求函数y=(x2+1)0的导数 解:a=10(x2+1)°(x2+1y=10x2+19.2x=20x(x2+1) 例5求函数y=2 的导数
3 ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 特别地 . 1 (ln ) x x = 二、复合函数的求导法则 定理 ( ) ( ). , [ ( )] , ( ) , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f u x dx dy y f x x u x x y f u u x x x = = = = = = 导 则复合函数 在点 可导 且其导数为 如果函数 在点 可导 而 在点 可 即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求 导.(链式法则) 证： ( ) , 由y = f u 在点u0可导 lim ( ) 0 0 f u u y u = → ( ) (lim 0) 0 = 0 + = → u f u u y 故 则y = f (u0 )u +u x y x →0 lim lim [ ( ) ] 0 0 x u x u f u x + = → x u x u f u x x x + = →0 →0 →0 0 ( ) lim lim lim ( ) ( ). 0 0 = f u x 推广： 设 y = f (u), u =(v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x = 则复合函数 = 的导数为 例 3 求函数 y = ln sin x的导数. 解： y = ln u, u = sin x. dx du du dy dx dy = x u cos 1 = x x sin cos = = cot x 例 4 ( 1) . 求函数 y = x 2 + 10 的导数 解： 10( 1) ( 1) 2 9 2 = x + x + dx dy 10(x 1) 2x 2 9 = + 20 ( 1) . 2 9 = x x + 例 5 arcsin . 2 2 2 求函数 2 2 的导数 a a x a x x y = − +
解:y3=( x)+(arcsin 例6求函数y=hyx+1 vx=2(x>2)的导数 解:∵y=(x2+1)-m(x-2) 2 3(x-2)x2+13(x-2 例7求函数y=e的导数 W: y=e (sin -)=e r. cos-(=--e rcos 三、小结 反函数的求导法则(注意成立条件) 复合函数的求导法则(注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法) 已能求导的函数可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商
4 解： arcsin ) 2 ) ( 2 ( 2 2 2 = − + a a x a x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 a x a a x x a x − + − = − − . 2 2 = a − x 例 6 ( 2) . 2 1 ln 3 2 求函数 的导数 − + = x x x y 解： ln( 2), 3 1 ln( 1) 2 1 2 y = x + − x − 3( 2) 1 2 1 1 2 1 2 − − + = x x x y 3( 2) 1 1 2 − − + = x x x 例 7 . 1 sin 求函数 y = e x 的导数 解： ) 1 (sin 1 sin = x y e x ) 1 ( 1 cos 1 sin = x x e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x = − 三、小结 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商
思考题 若f(u)在不可导,u=g(x)在x可导,且l=g(x0),则∫[g(x)在x处 (1)必可导:(2)必不可导;(3)不一定可导 思考题解答 正确地选择是(3) 例:f(u)=a|在u=0处不可导, 取u=g(x)=snx在x=0处可导, [g(x)=sinx|在x=0处不可导,所以1错 l=g(x)=x在x=0处可导, ∫g(x)=x4=x4在x=0处可导,所以2错
5 思考题 若 f (u) 在 0 u 不可导， u = g(x) 在 0 x 可导，且 ( ) 0 0 u = g x ，则 f [g(x)] 在 0 x 处 （ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； 思考题解答 正确地选择是（3） 例： f (u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 取 u = g(x) = sin x 在 x = 0 处可导， f [g(x)] =|sin x | 在 x = 0 处不可导，所以 1 错 4 u = g(x) = x 在 x = 0 处可导， 4 4 f[g(x)] =| x |= x 在 x = 0 处可导，所以 2 错