章节题目 第九节二阶常系数齐次线性微分方程 阶常系数齐次线性微分方程的标准形式及解法 高阶常系数齐次线性微分方程解法 内容提要 阶常系数齐次线性微分方程通解的求法 重点分析 难点分析 题|P1(单、2(单,5 布 备注
1 章 节 题 目 第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 内 容 提 要 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式及解法 高阶常系数齐次线性微分方程解法 重 点 分 析 二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法 难 点 分 析 习 题 布 置 P386 1（单）、2（单）、5 备 注
教学内容 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 +Pyo+…+Pny'+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y t py ta 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+py+y=f(x) 二阶常系数齐次线性方程解法 y"+py+qy=0-特征方程法 设y=e",将其代入上方程,得(r2+pr+q)e"=0 e"≠0,故有r2+pr+q=0特征方程 特征根 N有两个不相等的实根(△>0) 特征根为F= p+√p2-4q 两个线性无关的特解y=en,y2=e2x, 得齐次方程的通解为y=C1e1+C2e2 N有两个相等的实根(△=0) 特征根为=2=-P,一特解为y=e", 设另一特解为y2=u(x)e1, 将y2,y,y代入原方程并化简, l"+(2r+p川'+(2+p+q)u=0 知”=0,取(x)=x,则y2=xe 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e 2
2 教 学 内 容 一、定义 n 阶常系数线性微分方程的标准形式 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + − + = − 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二、二阶常系数齐次线性方程解法 y + py + qy = 0 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 特征根 , 2 4 2 1,2 p p q r − − = 有两个不相等的实根 ( 0) 特征根为 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = 两个线性无关的特解 , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e +C e 有两个相等的实根 ( = 0) 特征根为 , 2 1 2 p r = r = − 一特解为 , 1 1 r x y = e ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C +C x e
N有一对共轭复根(△<0) 特征根为F=a+jB,1=a-jB, y a+jB)x V2=e(a-jB)r 重新组合=(1+y2)=e"cos,y2=(y1-y2)=esn, 得齐次方程的通解为y=e"(C1cos+C2six) 定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法 例1求方程y+4y+4y=0的通解 解特征方程为r2+4r+4=0 解得F=n2=-2 故所求通解为y=(C1+C2 例2求方程y+2y+5y=0的通解 解特征方程为r2+2r+5=0 解得12=-1±2j 故所求通解为 y=e(CI cos 2x+C2 sin 2x) 、n阶常系数齐次线性方程解法 P-y+P,y=0 特征方程为r"+Prn+…+Pnr+P=0 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r (Co+C1x+…+Ck-1x-)e 若是k重共轭 C+C1x+…+C1x)cost 复根a±jB +(D+Dx+…+Dx)sn 注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且 每一项各一个任意常数y=Cy+C2y2+…+Cnyn
3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e + = , ( ) 2 j x y e − = 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). 1 2 y e C x C x x = + 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 例 1 求方程 y +4y +4y = 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r + r + = 解得 2 , r1 = r2 = − 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e − = + 例 2 求方程 y +2y +5y = 0的通解. 解 特征方程为 2 5 0 , 2 r + r + = 解得 1 2 , 1 2 r ， = − j 故所求通解为 ( cos2 sin 2 ). 1 2 y e C x C x x = + − 三、n 阶常系数齐次线性方程解法 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y P y P y P y n n n n 特征方程为 1 0 1 + 1 + + − + = − n n n n r Pr P r P 注意 n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且 每一项各一个任意常数. n n y = C y +C y ++C y 1 1 2 2 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ − j k 复根 若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1 − − − − + + + + + + +
例3求方程y+y4+2y3)+2y"+y+y=0的通解 解特征方程为r35+r4+2r3+2r2+r+1=0 (r+1)r2+1)=0 特征根为n=-1,==J,n4==-J 故所求通解为 y=Ce+(C2+C3x)cosx+(C4+Csx)sin x 四、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 (1)写出相应的特征方程; (2)求出特征根 (3)根据特征根的不同情况得到相应的通解 y+py+gy=0 r+pr+q=0 匚特征根的情况 通解的表达式 实根r≠ 实根 12 y=(C+Cx)e 复根2=a±1y=e(ck+CsmA 思考题 求微分方程yy-()2=y2hy的通解 思考题解答 y≠0·J () In y, (ny)=2,:(any) 令二=ny则z"-z=0,特征根=± 通解z=C1ex+Ce∴hy=Ce2+C,e-x
4 例 3 2 2 0 . 求方程 y (5) + y (4) + y (3) + y + y + y = 的通解 解 特征方程为 2 2 1 0, 5 4 3 2 r + r + r + r + r + = ( 1)( 1) 0, 2 2 r + r + = 特征根为 1, , , 1 2 3 4 5 r = − r = r = j r = r = − j 故所求通解为 ( ) cos ( )sin . 1 2 3 4 5 y C e C C x x C C x x x = + + + + − 四、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. y + py + qy = 0 0 2 r + pr + q = 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r r 实根 1 2 r = r 复根 r1,2 = i r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 r x y C C x e 2 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 思考题 求微分方程 yy (y ) y ln y 2 2 − = 的通解. 思考题解答 y 0, ( ) ln , 2 2 y y yy y = − ln y, y y = (ln ) , y y y x = (ln y) = ln y, 令 z = ln y 则 z − z = 0, 特征根 = 1 通解 x x z C e C e − = 1 + 2 ln . 1 2 x x y C e C e − = +
