章节题目 第八节无穷小的比较 无穷小的比较 等价无穷小的替换 内容提要 价无穷小的替换 重点分析 利用等价无穷小替换求极限时注意自变量条件 难点分析 习题布置 P:1、3、4(1)(3) 备注
1 章 节 题 目 第八节 无穷小的比较 内 容 提 要 无穷小的比较 等价无穷小的替换 重 点 分 析 等价无穷小的替换 难 点 分 析 利用等价无穷小替换求极限时注意自变量条件 习 题 布 置 P74 ：1、3、4（1）（3） 备 注
教学内容 无穷小的比较 例如,当x→0时,xx2 sin x.x sin1都是无穷小 观察各极限 3x=0.x2比3x要快得多; 1,snx与x大致相同; 不存在不可比 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同 定义:设a,B是同一过程中的两个无穷小,且a≠0 如果mB=0就说是比a高阶的无穷小 记作B=0(a) (2)如果m2=C(C≠0),就说B与a是同阶的无穷小 特殊地如果2=1,则称与是等价的无穷 记作a~B (3)如果mn=CC≠0,k>0.就说B是a的阶的 无穷小 例1证明:当x→0时4xtan3x为x的四阶无穷小 4x tan'x 解:lim 4 lin 故当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷 例2当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数 tan x-sin x 解:∵li =lim tan x 1-cosx tanx-sinx为x的三阶无穷小
2 教 学 内 容 一、无穷小的比较 例如， . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 观察各极限 x x x 3 lim 2 →0 = 0, 3 ; x 2比 x要快得多 x x x sin lim →0 = 1, sin x与x大致相同; 2 2 0 1 sin lim x x x x→ x x 1 lim sin →0 = 不存在. 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. ( ); (1) lim 0, , = o = 记作 如果 就说 是比 高阶的无穷小 (2) 如果lim ( 0),就说与是同阶的无穷小; = C C ~ ; lim 1, ; 记作 特殊地 如果 = 则称 与 是等价的无穷小 . (3) lim ( 0, 0), 无穷小 如果 k C C k 就说是的k阶的 = 例 1 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 解： 4 3 0 4 tan lim x x x x→ 3 0 ) tan 4lim ( x x x→ = = 4, 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x →0时,求tan x −sin x关于x的阶数. 解： 3 0 tan sin lim x x x x − → ) tan 1 cos lim ( 2 0 x x x x x − = → , 2 1 = tan x −sin x为x的三阶无穷小
常用等价无穷小:当x→0时, SInx- xx arcsinx-x tan x-x. arctan xx In(1+x)x, e-l-x, 1-cosx-=x 用等价无穷小可给出函数的近似表达式 h2-1:m22-0.即a-B=a2于是有a=B+a(a 例如six=x+o(x),cosx=1-x2+o(x2) 二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 设a~a,B~且血B存在,则mB=hmB 证:mB=m(B 6. Jim 5. lim a=lim B 例3求 lim tan2x →01-cosx 解:当x→0时,1-osx、1,2tn2x-2x 原式=m(2+) 注意:不能滥用等价无穷小代换对于代数和中各无穷小不能分别替换 例4求 lim tan x-snx x→0sn32x 错解:当x→0时,tnx~x,smx~x原式=lmx-x=0 解:当x→0时, 原式=lm 例5求lm tan 5x-coSx+1 sin ox
3 常用等价无穷小: 当x →0时, . 2 1 ln(1 ) ~ , 1~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − − 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim =1, lim = 0, − 即 − = o(), 于是有 = +o(). 例如 sin x = x + o(x), ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x 二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存在 则 证： lim lim( ) = = lim lim lim lim . = 例 3 . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x→ − 求 解: , tan 2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8 注意: 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 例 4 . sin 2 tan sin lim 3 0 x x x x − → 求 错解: 当x →0时, tan x ~ x, sin x ~ x. 3 0 (2 ) lim x x x x − = → 原式 =0 解: 当x →0时, sin 2x ~ 2x, tan x −sin x = tan x(1− cos x) , 2 1 ~ 3 x 3 3 0 (2 ) 2 1 lim x x x→ 原式 = . 16 1 = 例 5 . sin 3 tan 5 cos 1 lim 0 x x x x − + → 求
A:. tan x=5x+o(x), sin 3x=3x +o(x), 1-cosx==x+o(x) 5x+0(x)+x2+o(x2) 5+ x +x+2(x2) 原式=lin lim 3x+o(r) 3+o(x) 三、小结 1无穷小的比较 反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可 进行比较 高(低)阶无穷小,等价无穷小;无穷小的阶 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法,注意适用条件 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗? 思考题解答 不能.例当x→+∞时f(x)=,g(x)=5x都是无穷小量 但lm3= lim sin x不存在且不为无穷大 故当x→+∞时∫(x)和g(x)不能比较
4 解: tan x = 5x + o(x), sin 3x = 3x + o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x 3 ( ) ( ) 2 1 5 ( ) lim 2 2 0 x o x x o x x o x x + + + + = → 原式 x o x x o x x x o x x ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 5 lim 2 0 + + + + = → . 3 5 = 三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可 进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ 思考题解答 不能．例当 x → + 时 , 1 ( ) x f x = x x g x sin ( ) = 都是无穷小量 但 = →+ ( ) ( ) lim f x g x x x x lim sin →+ 不存在且不为无穷大 故当 x → + 时 f (x) 和 g(x) 不能比较
