章节题目 第一节中值定理 尔中值定理 拉格朗日中值定理 内/何西中值定理 容 提 要 个中值定理之间的关系、及其几何解释 三个中值定理的应用 重点分析 应用中值定理证明时辅助函数的构造 难点分析 166 l、3、5、7、8、13 题布置 备注
1 章 节 题 目 第一节 中值定理 内 容 提 要 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 重 点 分 析 三个中值定理之间的关系、及其几何解释 三个中值定理的应用 难 点 分 析 应用中值定理证明时辅助函数的构造 习 题 布 置 P166：1、3、5、7、8、13 备 注
教学内容 罗尔(Roll定理 罗尔(Roll)定理如果函数f(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b)内可导, 且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 5(a<5<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零 即f(5)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)x+1)在-1,3上连续 在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0, f(x)=2(x-1) 取2=1,(1∈(-1,3) f'(2)=0 几何解释: 在曲线弧4B上至少有一点C,在该点处的切线是水平的 y=f(r) 物理解释:变速直线运动在折返点处瞬时速度等于零 证:∵f(x)在{ab连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m则f(x)=M 由此得f(x)=0.V∈(a,b),都有f()=0 (2)若M≠m∵f(a)=f(b) 最值不可能同时在端点取得
2 教 学 内 容 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导, 且在区间端点的 函数值相等，即 f (a) = f (b) ,那 末在 (a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x) 在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x +1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 =1, (1(−1,3)) f ( ) = 0. 几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的. 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 证： f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值M 和最小值m. (1) 若 M = m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. a b 1 2 x y o y = f (x) C
设M≠f(a),则在(a,b)内至少存在一点5使f(2)=M ∵∫(+Ax)≤f(5)∴f(2+△x)-f(5)≤0, 若△x>0则有/(5+Ax)-f()<0, △x 若Ax<0.则有f(5+Ax)-/()20, r(2=m./(5+A)-/(520 f(5)=mJ(+△x)-f()∠0, f(5)存在 ∫(5)=f()∴只有f(2)=0 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立 例如,y=x∈[-2,2 在-2,2]上除f(0)不存在外,满足罗尔定理的一切条件,但 在内找不到一点能使f(x)=0 又例如,y=1-x,x∈(0,1f(0)=0,y=x,x∈[O,1 例1证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根 证:设f(x)=x3-5x+1,则f(x)在连续,且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理彐x0∈(0,1)使f(x0)=0即为方程的小于1的正实根 设另有x∈(01)x1≠x,使f(x)=0 f(x)在x0,x之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在x0,x之间使得f(5)=0 但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾 为唯一实根 、拉格朗日( Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数fx)在闭区间[a,b上连续,在开区间
3 设 M f (a), 则在(a,b)内至少存在一点 使 f () = M. f ( + x) f ( ), f ( + x) − f ( ) 0, 若x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () (). − + f = f 只有 f () = 0. 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; ( ) 0. [ 2,2] (0) , , = − f x f 在内找不到一点能使 在 上除 不存在外 满足罗尔定理的一切条件 但 又例如, y =1− x, x(0,1], f (0) = 0; y = x, x[0,1]. 例 1 5 1 0 1 . 证明方程 x 5 − x + = 有且仅有一个小于 的正实根 证： ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) =1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于 1 的正实根. (0,1), , 1 1 0 设另有 x x x ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f ( ) = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x(0,1)) 矛盾, 为唯一实根. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间
(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点5(a<5<b),使等式 f(b)-f(a)=f(b-a)成立 注意与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=∫(b) 结论亦可写成/(b)-f(a)=f(5 b 几何解释 y=f(x) ■量 在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB 证:分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b) 弦AB方程为y=f+(b)-1(x-a)曲线f(x减去弦AB 所得曲线a,b两端点的函数值相等 作辅助函数F(x)=f(x)-(+<(b)-f(a) a)] F(x)满足罗尔定理的条件, 则在ab内至少存在一点使得F()=0即r()-(b)-/a-0 或∫(b)-f(a)=f(b-a) 注意拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的 导数之间的关系 设f(x)在在(a,b)内可导,x0,x0+Ax∈(ab),则有 f(x+Ax)-f(x0)=f(x0+Ox)Ax(0<6<1) 也可写成Δy=∫(x+Ax)Δx(0<b<1)(增量Ay的精确表达式)
4 (a,b) 内可导 , 那末在 (a,b) 内至少有一点 (a b) ，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) f b a f b f a = − − 结论亦可写成 几何解释: 在曲线弧 AB 上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦 AB. 证：分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) = f (b). 弦 AB 方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等. 作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b)− f (a) = f ()(b−a). 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的 导数之间的关系. 设 f (x)在在(a,b)内可导, x0 , x0 + x(a,b), 则有 ( ) ( ) ( ) (0 1). f x0 + x − f x0 = f x0 +x x ( ) (0 1). 也可写成 y = f x0 +x x （ 增量y的精确表达式. ） a 1 x 2 b o x y y = f (x) A B C N D M
拉格朗日中值公式又称有限增量公式 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.(微分中值定理) 推论:如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那末f(x)在区 间Ⅰ上是一个常数 例2证明 arcsin x+ arccos x=(-1≤x≤1) 证:设f(x)= arcsin x+ arccos x,x∈[-1 f(x)= f(x)≡C,x∈[-1 又:f(0)= arcsin0+ arccos0=0+=即C=x arcsin x+ arccos x 例3证明当x>0时,<m(1+x)<x 证;设f(x)=l(1+x),f(x)在0,x]上满足拉氏定理的条件, f(x)-f(0)=f(2)(x-0,(0<5<x) ∵f(0=0,f(x)=,,由上式得h(1+x) 1+x 又:0<5<x1<1+<1+x 1+x1+5 x.即 1+x1+5 1+x<1+x)<x 、柯西( Cauchy)中值定理 柯西( Cauchy)中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b上连续在开区 间(an,b)内可导且F(x)在(a,b)内每一点处均不为零,那末在(a,b)内至少有一 点5(a<5<b使等式!(a)-f(b)(成立 F(a)-F(b)F(5) 几何解释 在曲线弧4B上至少有一点C(F(f(2)在该点处的切线平行于弦AB
5 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. （微分中值定理） 推论： . ( ) , ( ) 间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 那末 在区 I f x I f x 例 2 ( 1 1). 2 arcsin x + arccos x = − x 证明 证： 设 f (x) = arcsin x + arccos x, x[−1,1] ) 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 x x f x − + − − = =0 f (x) C, x[−1,1] 又 f (0) = arcsin 0 + arccos 0 2 0 = + 2 = . 2 即C = . 2 arcsin arccos x + x = 例 3 ln(1 ) . 1 0 , x x x x x + + 证明当 时 证： 设 f (x) = ln(1+ x), f (x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件, f (x) − f (0) = f ( )(x − 0), (0 x) , 1 1 (0) 0, ( ) x f f x + = = 由上式得 , 1 ln(1 ) + + = x x 又0 x 11+ 1+ x 1, 1 1 1 1 + + x , 1 1 x x x x + + ln(1 ) . 1 x x x x + + 即 三、柯西(Cauchy)中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 及 F(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区 间 (a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在 (a,b) 内每一点处均不为零，那末在 (a,b) 内至少有一 点 (a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F a F b f a f b = − − 成立. 几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点C(F(), f ()),在该点处的切线平行于弦AB
X=F( =f(x) B A O|F(a)F(51)F(x) F(52)F(b) 证:作辅助函数q(x)=f(x)-f(a) f(b)-f(a [F(x)-F(a) F(b-F(a q(x)满足罗尔定理的条件,则在(a,b内至少存在一点,使得(2)=0 则在(ab内至少存在一点5,使得q(2)=0 即f(5)~(b)-f(a) F()=0, F(b)-F(a f(b)-f(a)f(5) F(b)-F(a)F(5) F(x=x, F(b-F(a)=b-a, F(x)=1 fb)-/(a)(5)f(b)-f(a=f (b)-F(a)F'(2) 例4 设函数f(x)在上连续,在(O1内可导 证明:至少存在一点∈(01)使f()=2f(1)-f(0 证:分析:结论可变形为 1(0=/=(x.设gx)=x2, (x2 则f(x),g(x)在0上满足柯西中值定理的条件, 在(O,)内至少存在一点5,有 f(1)-f0=()即f()=25()-f() 1-0 6
6 证：作辅助函数 [ ( ) ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a F b F a f b f a x f x f a − − − = − − (x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得() = 0. 则在(a,b)内至少存在一点,使得() = 0. ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − F F b F a f b f a 即 f . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − 当F(x) = x, F(b) − F(a) = b − a, F(x) =1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − ( ). ( ) ( ) f b a f b f a = − − 例 4 : (0,1), ( ) 2 [ (1) (0)]. ( ) [0,1] , (0,1) , f f f f x 证明 至少存在一点 使 = − 设函数 在 上连续 在 内可导 证：分析: 结论可变形为 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f = − − . ( ) ( ) 2 = = x x f x ( ) , 2 设 g x = x 则 f (x), g(x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件, 在(0,1)内至少存在一点,有 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f = − − 即 f () = 2[ f (1)− f (0)]. ( ) F 1 ( ) F 2 o x y = = ( ) ( ) Y f x X F x F(a) A F(b) B C D F(x) N M
四、小结 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系 f(a=f(b) Lagrange F(x=x 中值定理 中值定理 注意定理成立的条件; 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤 思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可 思考题解谷 < f(x) 不满足在闭区间上连续的条件 f2(x)=-,x∈[a,b]且ab<0不满足在开区间内可微的条件; 以上两个都可说明问题
7 四、小结 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. 思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可. 思考题解答 = = 3, 1 , 0 1 ( ) 2 1 x x x f x 不满足在闭区间上连续的条件； , [ , ] 1 ( ) 2 x a b x f x = 且 ab 0 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题. Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 f (a) = f (b) F(x) = x