《高等数学》课程电子教案：第五章（5.7）广义积分

章节题目 第七节、广义积分 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分(瑕积分) 内容提要 无穷限广义积分的计算 无界函数广义积分的计算 重点分析 无界函数广义积分的计算中内部瑕点的判断 难点分析 a/蜜 320:1(2)(4)(6)(8)、2 布置 备注

1 章 节 题 目 第七节、广义积分 内 容 提 要 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分（瑕积分） 重 点 分 析 无穷限广义积分的计算 无界函数广义积分的计算 难 点 分 析 无界函数广义积分的计算中内部瑕点的判断 习 题 布 置 P320 ：1（2）（4）（6）（8）、2 备注

教学内容 无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间[a+)上连续,取b>a,如果极限m上f(x)a存 在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a+∞)上的广义积分,记作厂f(x) f(x)dx f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散 类似地,设函数f(x)在区间(-b上连续,取a<b,如果极限lnf(x)r 存在则称此极限为函数/x)在无穷区间(一上的广义积分,记作[f(x f(x)dx lim f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在时,称广义积分发散 设函数f(x)在区间(-+∞)上连续如果广义积分上f(x)d和[f(x)d都 收敛,则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分, 记作」f(x)h f(x)da f(x)d f(x)dx =lim f(x)cx +lim l f(x)dx 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散 例1计算广义积分 解=+[", dx +lin lim arctan xp+ lim arctan x] b→+∞ lim arctan a + lim arctan b 口→ 丌 2)2 例2计算广义积分「 sin -dx =-lim

2 教 学 内 容 一、无穷限的广义积分 定义 1 设函数 f (x) 在区间 [a,+) 上连续，取 b  a ，如果极限  →+ b b a lim f (x)dx 存 在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 [a,+) 上的广义积分，记作  + a f (x)dx .  + a f (x)dx  →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 类似地，设函数 f (x) 在区间 (−,b] 上连续，取 a  b ，如果极限  →− b a a lim f (x)dx 存在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 (−,b] 上的广义积分，记作 − b f (x)dx . − b f (x)dx  →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 设函数 f (x) 在区间 (−,+) 上连续,如果广义积分 − 0 f (x)dx 和  + 0 f (x)dx 都 收敛，则称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+) 上的广义积分， 记作  + − f (x)dx .  + − f (x)dx − = 0 f (x)dx  + + 0 f (x)dx  →− = 0 lim ( ) a a f x dx  →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 例 1 计算广义积分 . 1  2 + − + x dx 解：  + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx  + + + 0 2 1 x dx  + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x  + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →− =   b b x 0 lim arctan →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2     + =      = − − 例 2 计算广义积分 . 1 sin 1 2 2 +  dx x x 解：  +  2 1 sin 1 2 dx x x  +       = −  2 1 1 sin x d x        = − →+ b b x d  x 2 1 1 lim sin

lim cos-= lim cos--cos 例3证明广义积分广1 dx当p>l时收敛,当p≤1时发散 (1)p=1, d x dx=[mx]=+∞ (2)p≠1"1a=「x27/+p1时广义积分收敛,其值为 1;当P≤1时广义积分发散 例4证明广义积分当p>0时收敛,当p0 pp 0时收敛,当p0, 如果极限lmf(x)d存在,则称此极限为函数f(x)在区间(a,b上的广义积 +0a+E 分,记作f(x)db f(x)dx =lm f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散 类似地,设函数f(x)在区间[a,b)上连续,而在点b的左邻域内无界取E>0, 如果极限mf(x)存在,则称此极限为函数f(x)在区间[ab)上的广义积 记作f(x)dt=lmf(x)h 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散

3 b b x  2 1 lim cos       = →+       = − →+ 2 cos 1 lim cos  b b =1. 例 3 证明广义积分  + 1 1 dx x p 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散. (1) p =1,  + 1 1 dx x p  + = 1 1 dx x   + = 1 ln x = +, (2) p  1,  + 1 1 dx x p + −       − = 1 1 1 p x p       − +   = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ；当 p 1 时广义积分发散. 例 4 证明广义积分  + − a px e dx 当 p  0 时收敛，当 p  0 时发散. 证明：  + − a px e dx  − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e       = − − →+ lim         = − − − →+ p e p e pa pb b lim         = − , 0 , 0 p p p e ap 即当 p  0 时收敛，当 p  0 时发散. 二、无界函数的广义积分 定义 2 设函数 f (x) 在区间 (a,b] 上连续，而在点 a 的右邻域内无界．取   0， 如果极限 →+  + b a f x dx   lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数 f (x) 在区间 (a,b] 上的广义积 分，记作  b a f (x)dx .  b a f (x)dx →+  + = b a f x dx   lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 类似地，设函数 f (x) 在区间 [a,b) 上连续，而在点 b 的左邻域内无界.取   0 ， 如果极限  − →+   b a lim f (x)dx 0 存在，则称此极限为函数 f (x) 在区间 [a,b) 上的广义积 分， 记作  b a f (x)dx  − →+ =   b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a1时收敛,当p≤1时发散 (1)q=1 dx dx +∞,q>1 (2)q≠1 q 因此当q<1时广义积分收敛,其值为一1:当p≤1时广义积分发散 计算广义积分 . In =lim d(n x) xIn a→0+h+ s xIn x lim In(In x)P E In x im[n2)-hm(1+)]=∞ 故原广义积分发散 例8计算广义积分 x=1瑕点 1) (x-1)

4 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上除点 c (a  c  b) 外连续，而在点 c 的邻域内无界.如 果两个广义积分  c a f (x)dx 和  b c f (x)dx 都收敛，则定义  b a f (x)dx  = c a f (x)dx  + b c f (x)dx  − →+ =   c a lim f (x)dx 0 →+  +  + b c f x dx   lim ( ) 0 否则，就称广义积分  b a f (x)dx 发散. 定义中 C 为瑕点，以上积分称为瑕积分. 例 5 计算广义积分 ( 0). 0 2 2  −  a a x a dx , 1 lim 0 2 2 = + − → − a x x a   x = a 为被积函数的无穷间断点.  − a a x dx 0 2 2  − →+ − =   a a x dx 0 0 2 2 lim   − →+       = a a x 0 0 lim arcsin       − − = →+ lim arcsin 0 0 a a   . 2  = 例 6 证明广义积分  + 1 1 dx x p 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散. (1) q =1,  1 0 1 dx x q  = 1 0 1 dx x   1 0 = ln x = +, (2) q 1,  1 0 1 dx x q 1 0 1 1       − = − q x q       − +   = , 1 1 1 , 1 q q q 因此当 q  1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ；当 p 1 时广义积分发散. 例 7 计算广义积分 . ln 2 1 x x dx 解：  2 1 x ln x dx → +  + = 2 0 1 ln lim   x x dx → +  + = 2 0 1 ln (ln ) lim   x d x   2 1 0 lim ln(ln )   + → + = x lim ln(ln 2) ln(ln( 1 )) 0   = − + → + = . 故原广义积分发散. 例 8 计算广义积分 . ( 1) 3 0 3  2 x − dx x =1 瑕点 解：  − 3 0 3 2 (x 1) dx   − = + 1 0 3 1 3 2 ( 1) ( ) x dx

d x d (x-1) =lim (x-1)2-20(x-1)3 3(1+√2) 、小结 无穷限的广义积分(x),f(xk,厂(x) 无界函数的广义积分(瑕积分)[f(x)dx(注意:不能忽略内部的瑕点) 广fx)dk=C(x)女+(x 思考题 In 积分 dx的瑕点是哪几点 思考题解答 积分 dx可能的瑕点是x=0,x Immx=m1=1.:x=1不是瑕点 x→1x-1x-+1x In x dx的瑕点是x=0

5  − 1 0 3 2 (x 1) dx  − → + − =   1 0 0 3 2 ( 1) lim x dx = 3  − 3 1 3 2 (x 1) dx → +  + − = 3 0 1 3 2 ( 1) lim   x dx 3 2, 3 =   −  3 0 3 2 (x 1) dx 3(1 2). 3 = + 三、小结 无穷限的广义积分  + − f (x)dx， − b f (x)dx，  + a f (x)dx 无界函数的广义积分（瑕积分）  b a f (x)dx （注意：不能忽略内部的瑕点）    = + c a b c b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 思考题 积分  − 1 0 1 ln dx x x 的瑕点是哪几点？ 思考题解答 积分  − 1 0 1 ln dx x x 可能的瑕点是 x = 0, x =1 1 ln lim →1 x − x x  1, 1 lim 1 = = x→ x  x =1 不是瑕点,  −  1 0 1 ln dx x x 的瑕点是 x = 0