章节题目 第七节、广义积分 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分(瑕积分) 内容提要 无穷限广义积分的计算 无界函数广义积分的计算 重点分析 无界函数广义积分的计算中内部瑕点的判断 难点分析 a/蜜 320:1(2)(4)(6)(8)、2 布置 备注
1 章 节 题 目 第七节、广义积分 内 容 提 要 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分（瑕积分） 重 点 分 析 无穷限广义积分的计算 无界函数广义积分的计算 难 点 分 析 无界函数广义积分的计算中内部瑕点的判断 习 题 布 置 P320 ：1（2）（4）（6）（8）、2 备注
教学内容 无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间[a+)上连续,取b>a,如果极限m上f(x)a存 在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a+∞)上的广义积分,记作厂f(x) f(x)dx f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散 类似地,设函数f(x)在区间(-b上连续,取a<b,如果极限lnf(x)r 存在则称此极限为函数/x)在无穷区间(一上的广义积分,记作[f(x f(x)dx lim f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在时,称广义积分发散 设函数f(x)在区间(-+∞)上连续如果广义积分上f(x)d和[f(x)d都 收敛,则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分, 记作」f(x)h f(x)da f(x)d f(x)dx =lim f(x)cx +lim l f(x)dx 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散 例1计算广义积分 解=+[", dx +lin lim arctan xp+ lim arctan x] b→+∞ lim arctan a + lim arctan b 口→ 丌 2)2 例2计算广义积分「 sin -dx =-lim
2 教 学 内 容 一、无穷限的广义积分 定义 1 设函数 f (x) 在区间 [a,+) 上连续，取 b a ，如果极限 →+ b b a lim f (x)dx 存 在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 [a,+) 上的广义积分，记作 + a f (x)dx . + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 类似地，设函数 f (x) 在区间 (−,b] 上连续，取 a b ，如果极限 →− b a a lim f (x)dx 存在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 (−,b] 上的广义积分，记作 − b f (x)dx . − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 设函数 f (x) 在区间 (−,+) 上连续,如果广义积分 − 0 f (x)dx 和 + 0 f (x)dx 都 收敛，则称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+) 上的广义积分， 记作 + − f (x)dx . + − f (x)dx − = 0 f (x)dx + + 0 f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 例 1 计算广义积分 . 1 2 + − + x dx 解： + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b x 0 lim arctan →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 + = = − − 例 2 计算广义积分 . 1 sin 1 2 2 + dx x x 解： + 2 1 sin 1 2 dx x x + = − 2 1 1 sin x d x = − →+ b b x d x 2 1 1 lim sin
lim cos-= lim cos--cos 例3证明广义积分广1 dx当p>l时收敛,当p≤1时发散 (1)p=1, d x dx=[mx]=+∞ (2)p≠1"1a=「x27/+p1时广义积分收敛,其值为 1;当P≤1时广义积分发散 例4证明广义积分当p>0时收敛,当p0 pp 0时收敛,当p0, 如果极限lmf(x)d存在,则称此极限为函数f(x)在区间(a,b上的广义积 +0a+E 分,记作f(x)db f(x)dx =lm f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散 类似地,设函数f(x)在区间[a,b)上连续,而在点b的左邻域内无界取E>0, 如果极限mf(x)存在,则称此极限为函数f(x)在区间[ab)上的广义积 记作f(x)dt=lmf(x)h 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散
3 b b x 2 1 lim cos = →+ = − →+ 2 cos 1 lim cos b b =1. 例 3 证明广义积分 + 1 1 dx x p 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散. (1) p =1, + 1 1 dx x p + = 1 1 dx x + = 1 ln x = +, (2) p 1, + 1 1 dx x p + − − = 1 1 1 p x p − + = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ；当 p 1 时广义积分发散. 例 4 证明广义积分 + − a px e dx 当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散. 证明： + − a px e dx − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e = − − →+ lim = − − − →+ p e p e pa pb b lim = − , 0 , 0 p p p e ap 即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散. 二、无界函数的广义积分 定义 2 设函数 f (x) 在区间 (a,b] 上连续，而在点 a 的右邻域内无界．取 0， 如果极限 →+ + b a f x dx lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数 f (x) 在区间 (a,b] 上的广义积 分，记作 b a f (x)dx . b a f (x)dx →+ + = b a f x dx lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 类似地，设函数 f (x) 在区间 [a,b) 上连续，而在点 b 的左邻域内无界.取 0 ， 如果极限 − →+ b a lim f (x)dx 0 存在，则称此极限为函数 f (x) 在区间 [a,b) 上的广义积 分， 记作 b a f (x)dx − →+ = b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散
设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a1时收敛,当p≤1时发散 (1)q=1 dx dx +∞,q>1 (2)q≠1 q 因此当q<1时广义积分收敛,其值为一1:当p≤1时广义积分发散 计算广义积分 . In =lim d(n x) xIn a→0+h+ s xIn x lim In(In x)P E In x im[n2)-hm(1+)]=∞ 故原广义积分发散 例8计算广义积分 x=1瑕点 1) (x-1)
4 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上除点 c (a c b) 外连续，而在点 c 的邻域内无界.如 果两个广义积分 c a f (x)dx 和 b c f (x)dx 都收敛，则定义 b a f (x)dx = c a f (x)dx + b c f (x)dx − →+ = c a lim f (x)dx 0 →+ + + b c f x dx lim ( ) 0 否则，就称广义积分 b a f (x)dx 发散. 定义中 C 为瑕点，以上积分称为瑕积分. 例 5 计算广义积分 ( 0). 0 2 2 − a a x a dx , 1 lim 0 2 2 = + − → − a x x a x = a 为被积函数的无穷间断点. − a a x dx 0 2 2 − →+ − = a a x dx 0 0 2 2 lim − →+ = a a x 0 0 lim arcsin − − = →+ lim arcsin 0 0 a a . 2 = 例 6 证明广义积分 + 1 1 dx x p 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散. (1) q =1, 1 0 1 dx x q = 1 0 1 dx x 1 0 = ln x = +, (2) q 1, 1 0 1 dx x q 1 0 1 1 − = − q x q − + = , 1 1 1 , 1 q q q 因此当 q 1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ；当 p 1 时广义积分发散. 例 7 计算广义积分 . ln 2 1 x x dx 解： 2 1 x ln x dx → + + = 2 0 1 ln lim x x dx → + + = 2 0 1 ln (ln ) lim x d x 2 1 0 lim ln(ln ) + → + = x lim ln(ln 2) ln(ln( 1 )) 0 = − + → + = . 故原广义积分发散. 例 8 计算广义积分 . ( 1) 3 0 3 2 x − dx x =1 瑕点 解： − 3 0 3 2 (x 1) dx − = + 1 0 3 1 3 2 ( 1) ( ) x dx
d x d (x-1) =lim (x-1)2-20(x-1)3 3(1+√2) 、小结 无穷限的广义积分(x),f(xk,厂(x) 无界函数的广义积分(瑕积分)[f(x)dx(注意:不能忽略内部的瑕点) 广fx)dk=C(x)女+(x 思考题 In 积分 dx的瑕点是哪几点 思考题解答 积分 dx可能的瑕点是x=0,x Immx=m1=1.:x=1不是瑕点 x→1x-1x-+1x In x dx的瑕点是x=0
5 − 1 0 3 2 (x 1) dx − → + − = 1 0 0 3 2 ( 1) lim x dx = 3 − 3 1 3 2 (x 1) dx → + + − = 3 0 1 3 2 ( 1) lim x dx 3 2, 3 = − 3 0 3 2 (x 1) dx 3(1 2). 3 = + 三、小结 无穷限的广义积分 + − f (x)dx， − b f (x)dx， + a f (x)dx 无界函数的广义积分（瑕积分） b a f (x)dx （注意：不能忽略内部的瑕点） = + c a b c b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 思考题 积分 − 1 0 1 ln dx x x 的瑕点是哪几点？ 思考题解答 积分 − 1 0 1 ln dx x x 可能的瑕点是 x = 0, x =1 1 ln lim →1 x − x x 1, 1 lim 1 = = x→ x x =1 不是瑕点, − 1 0 1 ln dx x x 的瑕点是 x = 0
