章节题目 第一节空间直角坐标系 空间直角坐标系(轴、面、卦限) (注意它与平面直角坐标系的区别) 内/空间两点间距离公式 容|MM|=(x-x)+(2-x)+(2-=) 提 要 空间两点间距离公式 M1M4|=√x2-x)+(2-y)+(2-=) 重点分析 求空间两点间距离 难点分析 题P2:2、4、9 布 备注
1 章 节 题 目 第一节 空间直角坐标系 内 容 提 要 空间直角坐标系（轴、面、卦限） （注意它与平面直角坐标系的区别） 空间两点间距离公式 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 重 点 分 析 空间两点间距离公式 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 难 点 分 析 求空间两点间距离 习 题 布 置 P374 ：2、4、7、9 备 注
教学内容 空间点的直角坐标 竖轴 定点 y纵轴 横轴 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系 即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以一角 度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向 Ⅲ z0. yOz面 xOy面 空间直角坐标系共有八个卦限 空间的点←—>有序数组(x,y,z) 特殊点的表示:坐标轴上的点P,Q,R 坐标面上的点A,B,C,O(0,0.0) 2
2 教 学 内 容 一、空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向符合右手系. 即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以 2 角 度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向. Ⅶ x o y z xoy面 yoz面 zox面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间的点 1−⎯−1→ 有序数组 (x, y,z) 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0) y 纵轴 横轴 x z 竖轴 定点 o• 空间直角坐标系
R(0,0,=) B(0,y,) C(x,O,=) M(4y,=) Q0,y,0) rP(x,0,0) A(x,y,O) 二、空间两点间的距离 设M1(x,y1=1)、M2(x2,y2=2)为空间两点 d=|MM2|=? R 在直角△MNM2及直角△MPN中,使用勾股定理知 d'=M, P+PN+NM2 M,P= -xPN=IV2-yl NM2==-= d=M,P2+PN+NM2I M,M2 x)+(v2-y1)+(=2-=1)空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为M(x,yz),O0,0,0) d=OM 例1求证以M1(4,3,1)、M2(712)、M3(5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解:M1M2|=(7-4)2+(1-3)+(2-1)2=14
3 二、空间两点间的距离 设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 ? d = M1M2 = 在直角 M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定理知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM , 1 2 1 M P = x − x , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M (x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z 例 1 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解： = 2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = M (x, y,z) • x y z o P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) x y z o M1• P N Q R • M2
M2M2=(5-7)2+(2-12+(3-2 MM=(4-5)2+(3-2)2+(-3)2=6 M2M=MM小原结论成立 例2设P在x轴上,它到P(0,√23)的距离为到点P(01-1)的距离的两倍,求 点P的坐标 解因为P在x轴上,设P点坐标为(x,0,0 PRl=x+(2) PP=√x2+(-)+1=√x2+2 PPl=2|Pl:x2+1l-=2x2+2 →x=±1,所求点为(1,0,0),(-1,0,0) 小结 空间直角坐标系(轴、面、卦限) (注意它与平面直角坐标系的区别) 空间两点间距离公式 MM|=Vx2-x)+(y2-y)+(2-=) 思考题 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A(1,-2,3),B(2,3,-4), C(2,-3-4),D(-2,-3,1) 思考题解答 AⅣV:B:V:C:Ⅷ:DⅢ
4 = 2 M2M3 (5 7) (2 1) (3 2) 6, 2 2 2 − + − + − = = 2 M3M1 (4 5) (3 2) (1 3) 6, 2 2 2 − + − + − = M2M3 , = M3M1 原结论成立. 例 2 设 P 在 x 轴上，它到 (0, 2,3) P1 的距离为到点 (0,1, 1) P2 − 的距离的两倍，求 点 P 的坐标. 解 因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 (x,0,0), PP1 = ( ) 2 2 2 x + 2 + 3 11, 2 = x + PP2 = ( ) 2 2 2 x + −1 +1 2, 2 = x + PP1 = 2 , PP2 11 2 x + 2 2 2 = x + x = 1, 所求点为 (1,0,0), (−1,0,0). 三、小结 空间直角坐标系（轴、面、卦限） （注意它与平面直角坐标系的区别） 空间两点间距离公式 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A(1,−2,3), B(2,3,−4), C(2,−3,−4), D(−2,−3,1). 思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
