《高等数学》课程电子教案：第九章（9.2）二重积分的计算法（2/2）

章节题目 第二节二重积分的计算法(2) 利用极坐标系计算二重积分 内容提要 利用极坐标系计算二重积分 重点分析 极坐标系下二重积分化为二次积分时积分限的确定 难点分析 题P12(单)3(单)、4(单)、5(单)、8 布 备注

1 章 节 题 目 第二节 二重积分的计算法（2） 内 容 提 要 利用极坐标系计算二重积分 重 点 分 析 利用极坐标系计算二重积分 难 点 分 析 极坐标系下二重积分化为二次积分时积分限的确定 习 题 布 置 P111 2（单）、3（单）、4（单）、5（单）、8 备 注

教学内容 、利用极坐标系计算二重积分 △G1=(G+M)2·△G1-r2△O1=(2r+M)△r△O r+(r+Ar) M·△=F·M·△2 f(x, y)dxdy=l f(rcos O, rsin O)rdrde 二重积分化为二次积分的公式(1) 区域特征如图 q(6) D a≤6≤B,q2(6)≤r≤2(6) f(rose, rsn O)rdrde ea f(rose, rsin O)rdr 区域特征如图 r=q1(6) 广=y a≤6≤B,q2(6)≤r≤q2(6) f/(rcos8, sin O )rdrde delio/(rose,sinO)rdr 2

2 教 学 内 容 一、利用极坐标系计算二重积分 i i i i i i  = r + r  − r  2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i = (2r + r)r  2 1 i i i i i r r r r   + +  = 2 ( ) , i i i = r r  ( , ) ( cos , sin ) .   = D D f x y dxdy f r  r  rdrd 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图    , ( ) ( ). 1   r 2   D f (r cos,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr 区域特征如图    , ( ) ( ). 1   r 2   D f (r cos,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr o A D  i i r = r i i r = r + r  =i + i  =i   A D o ( ) r =1  ( ) r =2    o A D ( ) r =2  ( ) r =1 

二重积分化为二次积分的公式(2) 区域特征如图 r=q() a≤6≤B,0≤r≤(6) JS e, rsin O)rdrde= dorf(rcose,rsin O)rdr 二重积分化为二次积分的公式(3) 区域特征如图 q(6) 0≤6≤2x,0≤r≤(0) I( e, rsin O)rdrde =r dor f(rose, rsin O)rdr 极坐标系下区域的面积a=rde 例1写出积分/(x,y)b的极坐标二次积分形式,其中积分区域 D={(x,y)1-x≤y≤√1-x2,0≤x≤1} 「x= rose 解在极坐标系下 y=rsn e 所以圆方程为r=1 直线方程为r= sin 0+cose

3 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图    , 0  r ( ).  D f (r cos,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( )  0 =     d f r  r  rdr 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 0   2 , 0  r ( ).  D f (r cos,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) 0 2 0  =    d f r  r  rdr 极坐标系下区域的面积 .  = D  rdrd 例 1 写出 积 分  D f (x, y)dxdy 的 极 坐标 二 次积 分形 式 ，其 中 积分 区 域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x  y  − x 0  x 1} . 解 在极坐标系下    = =   sin cos y r x r 所以圆方程为 r =1, 直线方程为 sin  cos 1 + r = ,  D f (x, y)dxdy ( cos , sin ) . 2 0 1 sin cos   1 + =    d f r  r  rdr o A D r = ( )   D o A r = ( )

0.6 0.4 0.2 0.20.40.60.81 例2计算 Te-r-ydxdy,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成 的闭区域 解在极坐标系下 D:0≤r<a,0≤b≤2丌 =m(1-e) 例3求广义积分e- y D2 R V2R 解D={(x,y)|x2+y2≤R} D2={(x,y)|x2+y2≤2R2} S={(x,y)|0≤x≤R0≤y≤R} {x≥0,y≥0}显然有 CSCD2

4 例 2 计算 e dxdy D x y  − − 2 2 ，其中 D 是由中心在原点，半径为 a 的圆周所围成 的闭区域. 解 在极坐标系下 D： 0  r  a， 0   2 . e dxdy D x y  − − 2 2   − = a r d e rdr 0 2 0  2  (1 ). 2 a e − = − 例 3 求广义积分   − 0 2 e dx x . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y  R {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y  R S ={( x, y)| 0  x  R,0  y  R} {x  0, y  0} 显然有 D1  S  D2 0, 2 2  −x −y  e x + y =1 1 2 2 x + y = D1 SD2 S D1 D2 R 2R

dd≤exdd≤ e-x-ydxdy 又∵I dxdy 4=J 同理l2 dxdy =(1 1∞时,l1 故当R→∞时,I 所求广义积分[=y 例4计算j(x2+y)dd,其D为 =4y及 直线x-√3y=0,y-√3x=0所围成的平面闭区域 0.511.522.53

5   − − 1 2 2 D x y e dxdy  − −  S x y e dxdy 2 2 . 2 2 2  − −  D x y e dxdy 又  − − = S x y I e dxdy 2 2    − − = R y R x e dx e dy 0 0 2 2 ( ) ; 2 0 2  − = R x e dx I 1 =  − − 1 2 2 D x y e dxdy   − = R r d e rdr 0 0 2 2   (1 ); 4 2 R e − = −  同理 I 2 =  − − 2 2 2 D x y e dxdy (1 ); 4 2 2R e − = −  , 1 2 I  I  I (1 ); 4 (1 ) ( ) 4 2 2 2 2 2 0 R R R x e e dx e − − −  −   −    当 R → 时, , 4 1  I → , 4 2  I → 故当 R → 时, , 4  I → 即 =   − 2 0 ( ) 2 e dx x 4  , 所求广义积分 =   − 0 2 e dx x 2  . 例 4 计算 x y dxdy D ( ) 2 2  + ，其 D 为由圆 x y 2y 2 2 + = ，x y 4y 2 2 + = 及 直线 x − 3y = 0， y − 3x = 0 所围成的平面闭区域. 解

3x=0→62 x 4y→r=4sne x-√3y=0→61 2sin e ∫x2+y2)ddy=d z 例5计算二重积分 sm丌 dxdy,其中积分区域为 D={(x,y)|1≤x2+y2≤4} 解由对称性,可只考虑第一象限部分,D=4D D 注意:被积函数也要有对称性 sn(r√x2+y2) dtdy=4rsm(x、x2+y)dd .2 sin r 例6求曲线(x2+y2)2=2a2(x2-y2)和x2+y22a2所围成的图形的面积 解根据对称性有D=4D

6 y − 3x = 0 3 2   = x y 4y 2 2 + = r = 4sin x − 3y = 0 6 1   = x y 2y 2 2 + =  r = 2sin  x y dxdy D ( ) 2 2  +   =  3 6 4sin 2sin 2     d r rdr 3). 2 =15( −  例 5 计算二重积分  + + D dxdy x y x y 2 2 2 2 sin( ) ,其中积分区域为 {( , )|1 4} 2 2 D = x y  x + y  . 解 由对称性，可只考虑第一象限部分， D = 4D1 注意：被积函数也要有对称性.  + + D dxdy x y x y 2 2 2 2 sin( ) = 4  + + 1 2 2 2 2 sin( ) D dxdy x y  x y   = 2 0 1 sin 4 2 rdr r r d    = −4. 例 6 求曲线 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 x + y = a x − y 和 2 2 2 x + y  a 所围成的图形的面积. 解 根据对称性有 D = 4D1 D1

在极坐标系下 x+y=a→r=a (x2+y2)2=2a2(x2-y2)→r=a√2cos20 r=a√2cos2 由 得交点A=(a,-) 所求面积σ=dh=4dp 2c0s 20 4|°d rh=a2(√3-z 、小结 重积分在极坐标下的计算公式 f(rose, rsn O)rdrde 2(6) f(rose, rsin O)rdr f(rcos8, rsin O)rdn r deff(rose,rsin O)rdr- (在积分中注意使用对称性)

7 在极坐标系下 , 2 2 2 x + y = a  r = a ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 x + y = a x − y  r = a 2cos 2 , 由    = = r a r a 2cos 2 ,得交点 ) 6 ( ,  A = a , 所求面积  = D  dxdy  = 1 4 D dxdy   =    2cos2 0 6 4 a a d rdr ). 3 ( 3 2  = a − 二、小结 二重积分在极坐标下的计算公式  D f (r cos,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr ( cos , sin ) . ( )  0 =     d f r  r  rdr ( cos , sin ) . ( ) 0 2 0  =    d f r  r  rdr （在积分中注意使用对称性） D1

思考题 交换积分次序|=2my(or(a20 思考题解答 0≤r≤ a cose =df(,O)d0. 6= arccos r=acos D arccos

8 思考题 交换积分次序: ( , ) ( 0). cos 0 2 2 =    − I d f r dr a a      思考题解答 , 0 cos 2 2 :       −       r a D ( , ) . arccos 0 arccos  − = a r a r a I dr f r  d o x y r = acos D a a r  = −arccos a r  = arccos