章节题目 第七节平面及其方程 平面的方程:点法式方程、一般方程、截距式方程 两平面的夹角 内|点到平面的距离公式 容提要 求平面的法向量 两平面的位置关系 |点与平面的距离 点分析 平面方程的确定 难点分析 423:3、6、7、8 题布置 备注
1 章 节 题 目 第七节 平面及其方程 内 容 提 要 平面的方程: 点法式方程、一般方程、截距式方程 两平面的夹角 点到平面的距离公式 重 点 分 析 求平面的法向量 两平面的位置关系 点与平面的距离 难 点 分 析 平面方程的确定 习 题 布 置 P423：3、6、7、8 备 注
教学内容 平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={A,B,C},M0(x0,y,0) 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥n→M0Mn=0 MM={x-x0,y-y0,=--0} A(x-x0)+B(y-y0)+C(二-0)=0平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x2y,二0) 平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程,上方程称为平面的 方程,平面称为方程的图形 例1求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,4-6},AC={-2,3-1} 取n=AB×AC={14,9-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(2-4)=0, 化简得14x+9--15=0 例2求过点(1,1,1),且垂直于x-y+x=7和3x+2y-122+5=0的平面方程
2 教 学 内 容 一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量． 已知 n ={A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M (x, y, z) 必有 M M n 0 ⊥ M0M n = 0 { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 其中法向量 n = {A, B,C}, 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的 方程，平面称为方程的图形． 例 1 求过三点 A(2,−1,4) 、 B(−1,3,−2) 和 C(0,2,3) 的平面方程. 解 AB ={−3, 4,−6}， AC ={−2, 3,−1} 取 n = AB AC = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y +1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z −15 = 0. 例 2 求过点 (1,1,1) ，且垂直于 x − y + z = 7 和 3x + 2y −12z + 5 = 0 的平面方程. x y z o M0 M n
解五1={1-1,1},n2={3,2-12} 取法向量n=历1Xn2=10,155}, 所求平面方程为10(x-1)+15(y-1)+5(二-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0. 平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-x)+B(y-y)+C(z-=0) Ax+ By+Cr-(Ax+ Byo +C=o=0 Ax+B+C+D=0平面的一般方程 法向量n={A,B.C 平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点 (2)A=0, 「D=0 D≠0 平面通过x轴:平面平行于x轴; 类似地可讨论B=0,C=0情形 (3)A=B=0,平面平行于xoy坐标面 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形 例3设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面4x-y+2==8垂直,求此平面方程 解设平面为Ax+By+Cx+D=0, 由平面过原点知D=0, 由平面过点(6,-3,2)知6A-3B+2C=0 n⊥{4,-1,2},∴4A-B+2C=0 A=B=-=C,所求平面方程为2x+2y-3z=0 例4设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b0)、R(00,c)(其中a≠0
3 解 {1, 1,1}, n1 = − {3,2, 12} n2 = − 取法向量 n n1 n2 = ={10,15,5}, 所求平面方程为 10(x −1) +15( y −1) + 5(z −1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 二、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 Ax + By +Cz −(Ax0 + By0 +Cz0 ) = 0 Ax + By +Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n ={A,B,C}. 平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0, = 0, 0, D D 平面通过 x 轴；平面平行于 x 轴； 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形. (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 例 3 设平面过原点及点 (6,−3,2) ，且与平面 4x − y + 2z = 8 垂直，求此平面方程. 解 设平面为 Ax + By +Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0, 由平面过点 (6,−3,2) 知 6A−3B+2C = 0 n ⊥{4,−1,2}, 4A−B+2C = 0 , 3 2 A = B = − C 所求平面方程为 2x + 2y −3z = 0. 例 4 设平面与 x, y,z 三轴分别交于 P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c) （其中 a 0
b≠0,c≠0),求此平面方程 解设平面为Ax+By+Cz+D=0, 将三点坐标代入得{bB+D=0, CC+D=0 D A= B b 将A=D D D ,代入所设方程得 x+2+三=1平面的截距式方程 a b c ax轴上截距 by轴上截距 c:z轴上截距 例5求平行于平面6x+y+62+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为 个单位的平面方程 x 解设平面为x+2+三=1 a b c =1, 由所求平面与已知平面平行得 (向量平行的充要条件) 化简得=11 6a b b b=-,C=,代入体积式 66 t 6t a=1,b=6, 所求平面方程为6x+y+6=6
4 b 0， c 0 ），求此平面方程. 解 设平面为 Ax + By +Cz + D = 0, 将三点坐标代入得 + = + = + = 0, 0, 0, cC D bB D aA D , a D A = − , b D B = − . c D C = − 将 , a D A = − , b D B = − , c D C = − 代入所设方程得 + + =1 c z b y a x 平面的截距式方程 a: x 轴上截距 b:y 轴上截距 c: z 轴上截距 例 5 求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一 个单位的平面方程. 解 设平面为 + + =1, c z b y a x V =1, 1, 2 1 3 1 abc = 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） , 6 1 1 1 6 1 a b c = = 化简得 , 6 1 1 6 1 a b c = = 令 t a b c = = = 6 1 1 6 1 , 6 1 t a = , 1 t b = , 6 1 t c = 代入体积式 t t 6t 1 1 6 1 6 1 1 = , 6 1 t = a =1, b = 6, c =1, 所求平面方程为 6x + y + 6z = 6. x y z o
三、两平面的夹角 定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.(通常取锐角) Ax+By ∏2:A2x+B2y+C2+D2=0, n1={A,B1,C},n2={A2,B2C2}, 按照两向量夹角余弦公式有 1 AA,+B, B,+CC2I √A42+B2+C12、V42+B2+C2 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 (1)∏1⊥∏2<→AA2+BB2+CC2=0 (2)n,∥n2∈→4=B=C A, B, 例6研究以下各组里两平面的位置关系 (1)-x+2y-+1=0,y+3-1=0 (2)2x-y+二-1=0, 4x+2y-22-1=0 (3)2x-y-2+1=0 4x+2y+2=-2=0 解(1)cosb= 1×0+2×1-1×3 (-1)2+22+(-1)2√12+32 两平面相交,夹角O= arccos √60 (2)n1={2-1,1},2={-4,2,-2}
5 三、两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. （通常取锐角） : 0, 1 A1 x + B1 y +C1 z + D1 = : 0, 2 A2 x + B2 y +C2 z + D2 = { , , }, n1 = A1 B1 C1 { , , }, n2 = A2 B2 C2 按照两向量夹角余弦公式有 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | cos A B C A B C A A B B C C + + + + + + = 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： 1 2 (1) ⊥ 0; A1A2 + B1B2 +C1C2 = 1 2 (2) // . 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = 例 6 研究以下各组里两平面的位置关系： (1) − x + 2y − z +1= 0, y + 3z −1= 0 (2) 2x − y + z −1= 0, − 4x + 2y − 2z −1= 0 (3) 2x − y − z +1= 0, − 4x + 2y + 2z − 2 = 0 解 (1) 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 3 | 1 0 2 1 1 3 | cos − + + − + − + − = 60 1 cos = 两平面相交，夹角 . 60 1 = arccos (2) {2, 1,1}, n1 = − { 4,2, 2} n2 = − − 1 n1 2 n2
两平面平行 M(1,10)∈∏1M(1,10)g∏2 两平面平行但不重合 两平面平行 422 f(11,0)∈∏1M(110)∈∏2 两平面重合 例7设P0(x,y0,=0)是平面Ax+By+C+D=0外一点,求P到平面的距离 P 解VP(x1,y2=1)∈∏I d=l Prjn I PrjPPo=PPon PP0={x0-x1,y0-y1,=0--1} 4+B2+c2√+B2+C√+B2 Pr, PPO=P1P·n PP0={xo-x1,y0-y1,=0-=1} PP0={x0-x1,y0-y1,=0--1} Prj, PP=PB·n A(x+、B(=n)+x(=0-=) √A+B2+C2√A2+B2+C2√A2+B2+ Axo+ Byo+C=o-(Ax,+ By,+C=1 A2+B2+C2
6 , 2 1 2 1 4 2 − = − = − 两平面平行 1 2 M(1,1,0) M(1,1,0) 两平面平行但不重合． (3) , 2 1 2 1 4 2 − = − = − 两平面平行 1 2 M(1,1,0) M(1,1,0) 两平面重合. 例 7 设 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 是平面 Ax + By +Cz + D = 0 外一点，求 P0 到平面的距离. 解 P1 (x1 , y1 , z1 ) | Pr | P1P0 d j = n 0 1 0 1 0 Pr j n P P = P P n { , , } 1 0 0 1 0 1 0 1 P P = x − x y − y z − z + + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 , , A B C C A B C B A B C A n 0 Pr j n P1P0 = P1P0 n { , , } 1 0 0 1 0 1 0 1 P P = x − x y − y z − z { , , } 1 0 0 1 0 1 0 1 P P = x − x y − y z − z 0 Pr j n P1P0 = P1P0 n 2 2 2 0 1 2 2 2 0 1 2 2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) A B C C z z A B C B y y A B C A x x + + − + + + − + + + − = , ( ) 2 2 2 0 0 0 1 1 1 A B C Ax By Cz Ax By Cz + + + + − + + = P1 N n P0
∵Ax+B1+C=1+D=0(P∈ID) Prj PPo A2+B2+C +B+C+D2,点到平面距离公式 A2+B2+c 四、小结 平面的方程:点法式方程.一般方程.截距式方程 (熟记平面的几种特殊位置的方程) 两平面的夹角.(注意两平面的位置特征) 点到平面的距离公式 思考题 若平面x+k 0与平面2x-3y+z=0的夹角为,求k=? 思考题解答 z 1×2+k×(-3)-2×1 (-2)2√22+(-3)2+1 14
7 Ax1 + By1 +Cz1 + D = 0 ( ) P1 Pr j n P1P0 = , 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D + + + + + . | | 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D d + + + + + = 点到平面距离公式 四、小结 平面的方程: 点法式方程. 一般方程. 截距式方程. （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角. （注意两平面的位置特征） 点到平面的距离公式. 思考题 若平面 x + ky − 2z = 0 与平面 2x − 3y + z = 0 的夹角为 4 ，求 k = ? 思考题解答 , 1 ( 2) 2 ( 3) 1 1 2 ( 3) 2 1 4 cos 2 2 2 2 2 2 + + − + − + + − − = k k , 5 14 3 2 1 2 + − = k k . 2 70 k =
