章节题目 第一节、定积分的元素法 元素法的提出、思想、步骤 内容提要 元素法的思想、步骤 重点分析 元素法的思想 难点分析 习题布置 备注
1 章 节 题 目 第一节、定积分的元素法 内 容 提 要 元素法的提出、思想、步骤 重 点 分 析 元素法的思想、步骤 难 点 分 析 元素法的思想 习 题 布 置 备 注
教学内容 问题的提出 回顾:曲边梯形求面积的问题 y=f(x) 曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴与两条直线x=a、x=b所围成。 A=f(x)dx 面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b]分成n个长度为△x的小区间,相应的曲边梯形被分为n个小窄 曲边梯形,第i个小窄曲边梯形的面积为△A,则A=△A (2)计算△A1的近似值△41≈f(5;)Ax,5∈△x (3)求和,得A的近似值A∑f()x (4)求极限,得A的精确值A=ln∑()x=f(x)dk 提示:若用△A表示任一小区间[x,x+△x]上的窄曲边梯形的面积,则 A=∑M,并取M≈f(x)d,于是A∑f(x)tx y=f(x) a xx+d bx
2 教 学 内 容 一、问题的提出 回顾：曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0) 、x 轴与两条直线 x = a、x = b 所围成。 = b a A f (x)dx 面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间 [a,b] 分成 n 个长度为 i x 的小区间，相应的曲边梯形被分为 n 个小窄 曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为 Ai ，则 = = n i A Ai 1 . （2）计算 Ai 的近似值 i i i A f ( )x ， i i x （3） 求和，得 A 的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = （4） 求极限，得 A 的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx 提示： 若用 A 表示任一小区间 [x, x + x] 上的窄曲边梯形的面积，则 A =A ，并取 A f (x)dx ，于是 A f (x)dx a b x y o y = f (x) a b x y o y = f (x) x x + dx
A=lm∑f(x)dx=f(x) 当所求量U符合下列条件 (1)U是与一个变量x的变化区间[a1b]有关的量: (2)U对于区间[ab]具有可加性,就是说,如果把区间6分成许多部分区间, 则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和 (3)部分量△U的近似值可表示为f()Ax; 就可以考虑用定积分来表达这个量U 元素法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为积分变量,并确定它的变化区间 a,b]; 2)设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小区间并记为[x,x+x],求出 相应于这小区间的部分量△U的近似值如果ΔU能近似地表示为[a,b]上的一个 连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU,即d=f(x)ahx; 3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得 U=(x),即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 应用方向:平面图形的面积;体积:平面曲线的弧长;功;水压力;引力和平均 值等 二、小结 元素法的提出、思想、步骤.(注意微元法的本质) 思考题 微元法的实质是什么? 思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限
3 A = lim f (x)dx ( ) . = b a f x dx 当所求量 U 符合下列条件： （1） U 是与一个变量 x 的变化区间 a,b 有关的量； （2） U 对于区间 a,b 具有可加性，就是说，如果把区间 a,b 分成许多部分区间， 则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和； （3）部分量 Ui 的近似值可表示为 i i f ( )x ； 就可以考虑用定积分来表达这个量 U 元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a,b] ； 2）设想把区间 [a,b] 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为 [x, x + dx] ，求出 相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a,b] 上的一个 连续函数在 x 处的值 f (x) 与 dx 的乘积，就把 f (x)dx 称为量 U 的元素且记作 dU ，即 dU = f (x)dx ； 3）以所求量 U 的元素 f (x)dx 为被积表达式，在区间 [a,b] 上作定积分，得 = b a U f (x)dx ，即为所求量 U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均 值等． 二、小结 元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 思考题 微元法的实质是什么？ 思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限