《高等数学》课程电子教案：第七章（7.3）向量的坐标

章节题目 第三节向量的坐标 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 内/向量的模与方向余弦的坐标表示式 容 提 要 向量在坐标轴上的分向量与向量坐标的区别与联系 重点分析 向量的模与方向余弦的坐标表示式 难点分析 习题布置 391:1、2、4、7、8 备注

1 章 节 题 目 第三节 向量的坐标 内 容 提 要 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 向量的模与方向余弦的坐标表示式 重 点 分 析 向量在坐标轴上的分向量与向量坐标的区别与联系 难 点 分 析 向量的模与方向余弦的坐标表示式 习 题 布 置 P391：1、2、4、7、8 备 注

教学内容 向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴,AB是轴u上的有向线段 如果数满足A2=|AB且当AB与轴同 向时λ是正的,当AB与u轴反向时A是负的, 那末数A叫做轴上有向线段AB的值,记作 AB,即A=AB 设e是与u轴同方向的单位向量, AB=(AB)e 设A,B,C是u轴上任意三点,不论这三点 的相互位置如何 AC= AB+BC Bp (AC)e=(AB)e+(BC)e=(AB+ BC)e AC=AB+Bc 例1在轴上取定一点O作为坐标原点.设A,B,是轴上坐标依次为1,l2的两 个点,E是与轴同方向的单位向量,证明AB=(l2-u1) B 证∵OA=1, 故OA=u,同理,OB=l2E,于是 AB=OB-O4=2e-e=(l2-1) 空间两向量的夹角的概念: 2

2 教 学 内 容 一、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴u，AB 是轴u 上的有向线段. AB AB. u AB AB u AB AB u = =       ，即 那末数 叫做轴 上有向线段 的值，记作 向时 是正的，当 与 轴反向时 是负的， 如果数 满足 ，且当 与 轴同 设e 是与u 轴同方向的单位向量，  AB (AB)e.  = 的相互位置如何， 设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点  AC = AB + BC, AC e AB e BC e    即 ( ) = ( ) +( ) (AB BC)e,  = +  AC = AB + BC. 例 1 在 u 轴上取定一点 o 作为坐标原点．设 A,B ,是 u 轴上坐标依次为 1 u , 2 u 的两 个点， e  是与 u 轴同方向的单位向量，证明 AB u u e  ( ) = 2 − 1 . 证 , OA = u1 , 1 OA u e  故 = , 2 OB u e  同理， = 于是 AB = OB − OA u e u e   = 2 − 1 ( ) . 2 1 u u e  = − 空间两向量的夹角的概念： u A B o u A B 1 e  o u A B 1 e  1 u u2

b≠0, 向量a与向量b的夹角 9=Gab)=(b,a)(0≤≤x) 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与丌之间任意取 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直平面,交点A即为点A在轴u上的投影 空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点A和终点B在轴l上的投影分别为A’,B'那 么轴l上的有向线段A'B’的值,称为向量在轴u上的投影 向量AB在轴上的投影记为 Pr j AB=AB 关于向量的投影定理(1) 向量AB在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:

3 0,   a  0,   b  向量 a  与向量 b  的夹角 (0     ) 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在 0 与  之间任意取 值. 空间一点在轴上的投影 过点 A 作轴 u 的垂直平面，交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影. 空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为 A , B 那 么轴 u 上的有向线段 AB 的值，称为向量在轴 u 上的投影. 向量 AB 在轴 u 上的投影记为 Pr j u AB = AB . 关于向量的投影定理（1） 向量 AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： a  b   (a,b)    = (b, a)   = u • A A u A A B B

Prj, Ab彐AB|cosq A Prj, ab= Prj,, Ab引 Abcs 定理1的说明: (1)0≤q< ,投影为正 (2)。<￠≤x,投影为负 (3)=x,投影为零: (4)相等向量在同一轴上投影相等 关于向量的投影定理(2) 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和 (可推广到有限多个) Prj(a,+a,)=Pr ja,+ Pr ja C B 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 设a=M1M2为一向量,u为一条数轴 点M1M2在轴u上的投影分别为点P,P 又设B,P在轴u上的坐标依次为1u2

4 Pr j u AB =| AB | cos Pr j u AB = Pr j u  AB =| AB | cos 定理 1 的说明： (1) 0    , 2  投影为正；     2 (2)  , 投影为负； (3)  = , 2  投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 关于向量的投影定理（2） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. （可推广到有限多个） Pr ( ) Pr Pr . 1 2 1 a2 j a a ja j     + = + 二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 点 在轴 上的投影分别为点 ． 设 为一向量， 为一条数轴． 1 2 1 2 1 2 M , M u P , P a = M M u  又设 P1 ,P2 在轴u 上的坐标依次为u1 ,u2． 证 u A B A B B  u  A A B B C C u 1 a  2 a 

Pr rJ MM2=a PP=OP,-OP =u,-l 如果e是与l轴正向一致的单位向量 由例1知 PP2=ane =(u-u)e 设a是以M1(x1y12=1)为起点、M2(x2,y2,=2) 为终点的向量,过M1M2各作垂直于三个坐标轴的平面 这六个平面围成一个以线段MM2为对角线的长方体 P 以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量 上式分别表示 向量在x轴上的投影 向量在y轴上的投影 向量在z轴上的投影 ar=x2-x y-y1a2=22-1

5 Pr , u M1M2 au  j = P1P2 = OP2 −OP1 , = u2 −u1 .  au = u2 −u1 如果 e  是与 u 轴正向一致的单位向量， 由例 1 知 P P a eu  = 1 2 ( ) . 2 1 u u e  = − 设 a  是以 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 为起点、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为终点的向量，过 1 2 M , M 各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段 M1M2 为对角线的长方体. 以 i j k    , , 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量. a a i a j a k x y z     = + + 上式分别表示 向量在 x 轴上的投影 向量在 y 轴上的投影 向量在 z 轴上的投影 2 1 a x x x = − 2 1 a y y y = − 2 1 a z z z = − M1 P1 M2 o P2 u x y z o M1• P N Q R • M2 i  j  k 

M1M2=(x2-x1)+(2-y)+(2-1 按基本单位向量的坐标分解式 M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(二2-=1)k 在三个坐标轴上的分向量:a1,a,J,ak 向量的坐标:a2,an,a2 向量的坐标表达式:a={a2,an,a2} M1M2={x2-x1,y2-y 特殊地OM={x,y,} 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 b={b,b,b2}, b b,a2+b2} (a4+b2)+(a1+b,)+(a2+b)k b=la-b, a-b,a-b_ =(a1-b,)+(a,-b,)+(a2-bk na=a, 2a,, a. (a1)+(a,)j+(lan:)k 例2设A(x1,y,)和B(x2,y2,2)为两已知点,而在AB直线上的点M分有向 线段AB为两部分AM、MB,使它们的值的比等于某数1(2≠-1),即 求分点的坐标 解设M(x,y,=)为直线上的点

6 M M x x i y y j z z k    ( ) ( ) ( ) 1 2 = 2 − 1 + 2 − 1 + 2 − 1 按基本单位向量的坐标分解式： M M x x i y y j z z k    ( ) ( ) ( ) 1 2 = 2 − 1 + 2 − 1 + 2 − 1 在三个坐标轴上的分向量： a i , a j, a k , x y z    向量的坐标： , , , ax ay az 向量的坐标表达式： { , , } a = ax ay az  { , , } 1 2 2 1 2 1 2 1 M M = x − x y − y z − z 特殊地 OM ={x, y, z} 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 { , , }, a = ax ay az  { , , }, b = bx by bz  { , , } a +b = ax +bx ay +by az +bz   (a b )i (a b ) j (a b )k; x x y y z z    = + + + + + { , , } a −b = ax −bx ay −by az −bz   (a b )i (a b ) j (a b )k; x x y y z z    = − + − + − { , , } a = ax ay az  ( a )i ( a ) j ( a )k. x y z    =  +  +  例 2 设 ( , , ) 1 1 1 A x y z 和 ( , , ) 2 2 2 B x y z 为两已知点，而在 AB 直线上的点 M 分有向 线段 AB 为两部分 AM 、MB ，使它们的值的比等于某数 (  −1) ，即 =  MB AM ， 求分点的坐标. 解 设 M (x, y,z) 为直线上的点， A B M x y z o

AM=ix-x, y-y MB={x2-x,y2-y,z2--} 由题意知:AM=MB {x-x,y-y,2-1}=A{x2-x,y2-y2=2- x1=(x2 x1+x2 y-y1=A(y2-y)→y A(二2-z) =5+2=2 1+ M为有向线段AB的定比分点.M为中点时 x= y1+y2 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 非零向量a的方向角:a、B、y 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 0≤a≤丌,0≤B≤x,0≤y≤丌 由图分析可知 a cosa a =alcosp a=a cosy (向量的方向余弦) 方向余弦通常用来表示向量的方向 = M, Pp+M Q+M, R2

7 { , , } 1 1 1 AM = x − x y − y z − z { , , } 2 2 2 MB = x − x y − y z − z 由题意知： AM = MB { , , } 1 1 1 x − x y − y z − z { , , }, 2 2 2 =  x − x y − y z − z 1 x − x ( ) 2 =  x − x , 1 1 2   + +  = x x x 1 y − y ( ) 2 =  y − y , 1 1 2   + +  = y y y 1 z − z ( ) 2 =  z − z , 1 1 2   + +  = z z z M 为有向线段 AB 的定比分点. M 为中点时， , 2 1 2 x x x + = , 2 1 2 y y y + = . 2 1 2 z z z + = 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 非零向量 a  的方向角：  、  、 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 0    , 0     , 0    . 由图分析可知 ax | a | cos  = ay | a | cos   = a | a | cos z  = (向量的方向余弦) 方向余弦通常用来表示向量的方向. 2 1 2 1 2 M1M2 = M1P + M Q + M R x y z o M1• •  M2  

ld=√a2+an2+a2向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 ≠0时 cos a cOS a+a+ coSy a +a +a 方向余弦的特征 cos a+cos" B+coSy= 特殊地:单位向量的方向余弦为 cos a, cos B, cos y 例3求平行于向量a=6i+7-6k的单位向量的分解式 解所求向量有两个,一个与a同向,一个反向 aF=√62+72+(-6)2=11 676 或a° 例4设有向量PP2,已知PP=2,它与x轴和y轴的夹角分别为和 如果P的坐标为(1,0,3),求P的坐标 解设向量PP的方向角为a、B、y cosa= B COS B= cos a+cos" B+cos y=1

8 2 2 2 | | a = ax + ay + az  向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 当 0 2 2 2 ax + ay + az  时， cos , 2 2 2 x y z x a a a a + +  = cos , 2 2 2 x y z y a a a a + +  = cos . 2 2 2 x y z z a a a a + +  = 方向余弦的特征 cos cos cos 1 2 2 2  +  +  = 特殊地：单位向量的方向余弦为 0 a | a | a   = ={cos, cos , cos }. 例 3 求平行于向量 a i j k     = 6 + 7 − 6 的单位向量的分解式. 解 所求向量有两个，一个与 a  同向，一个反向 2 2 2 | a |= 6 + 7 + (−6)   = 11,  0 a | a | a   = , 11 6 11 7 11 6 i j k    = + − 或 0 a | a | a   = − . 11 6 11 7 11 6 i j k    = − − + 例 4 设有向量 P1P2 ，已知 P1P2 = 2 ，它与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 3  和 4  ， 如果 P1 的坐标为 (1,0,3) ，求 P2 的坐标. 解 设向量 P1P2 的方向角为  、  、 , 3   = , 2 1 cos = , 4   = , 2 2 cos  = cos cos cos 1, 2 2 2   +  +  =

→y=,y=2设P的坐标为(x,y) →x=2. PP coS B= coS ±一→z=4.z=2 P2的坐标为(2,V2,4),(2,√2,2) 例5设m=31+5+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量 a=4m+3-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量 解∵a=4m+3n-p =4(31+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5+j-4k) 在x轴上的投影为a1=13,在y轴上的分向量为7 四、小结 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 (注意分向量与向量的坐标的区别) 向量的模与方向余弦的坐标表示式

9 . 2 1 cos =  . 3 2 , 3      = = 设 P2 的坐标为 (x, y,z), 1 2 1 cos P P x −  = 2 −1  x 2 1 =  x = 2, 1 2 0 cos P P y −  = 2 − 0  y 2 2 =  y = 2, 1 2 3 cos P P z −  = 2 − 3  z 2 1 =   z = 4, z = 2, P2 的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2). 例 5 设 m i j k     = 3 + 5 + 8 ， n i j k     = 2 − 4 − 7 ， p i j k     = 5 + − 4 ，求向量 a m n p     = 4 + 3 − 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量. 解 a m n p      = 4 + 3 − 4(3i 5 j 8k )    = + + 3(2i 4 j 7k )    + − − (5i j 4k )    − + − 13i 7 j 15k ,    = + +  在 x 轴上的投影为 ax =13 ,在 y 轴上的分向量为 j  7 . 四、小结 向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. （注意分向量与向量的坐标的区别） 向量的模与方向余弦的坐标表示式

思考题 设m=i+j,n=-2j+k,求以向量m,n为边的平行四边形的对角线的长度 思考题解答 对角线的长为m+n,|m-n ∵m+n={1-1,1},m-n={1,3,-1} m+n=√3,|m-h= 平行四边形的对角线的长度各为√3,h1

10 思考题 设 m i j    = + ， n j k    = −2 + ，求以向量 m n   , 为边的平行四边形的对角线的长度. 思考题解答 对角线的长为 | m n |, | m n |,     + − m + n = {1,−1,1},    m − n = {1,3,−1}    | m + n |= 3,   | m − n |= 11,   平行四边形的对角线的长度各为 3, 11 . m  n 