章节题目 第九节二次曲面 椭球面、抛物面、双曲面的方程 几个常见曲面的特性 内容提要 讨论二次曲面性状的截痕法 重点分析 次曲面的特性 难点分析 习题布置 备注
1 章 节 题 目 第九节 二次曲面 内 容 提 要 椭球面、抛物面、双曲面的方程 几个常见曲面的特性 重 点 分 析 讨论二次曲面性状的截痕法 难 点 分 析 二次曲面的特性 习 题 布 置 备 注
教学内容 基本内容 二次曲面的定义:三元二次方程所表示的曲面称之 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面性状的截痕法:用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察 其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面 (一)椭球面 T×、b y=0 0 椭球面与平面z==1的交线为椭圆 同理与平面x=x1和y=y1的交线也是椭圆 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 隋球面的几种特殊情况 2
2 教 学 内 容 一、基本内容 二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察 其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． （一）椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 椭球面与三个坐标面的交线： , 0 1 2 2 2 2 = + = z b y a x , 0 1 2 2 2 2 = + = y c z a x . 0 1 2 2 2 2 = + = x c z b y 椭球面与平面 1 z = z 的交线为椭圆 = = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) z z c z c b y c z c a x 同理与平面 1 x = x 和 1 y = y 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面的几种特殊情况： o z x y
(1)a=b,+2+=1旋转椭球面 由椭圆_+2=1绕z轴旋转而成 方程可写为x+y+三=1 旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面二=1(-1k0,q>0 (1)用坐标面xoy(二=0)与曲面相截 截得一点,即坐标原点O(0,00) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 与平面==1(=1>0)的交线为椭圆
3 (1) a = b, 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z a y a x 旋转椭球面 由椭圆 1 2 2 2 2 + = c z a x 绕 z 轴旋转而成． 方程可写为 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 1 z = z (| | ) 1 z c 的交线为圆. 截面上圆的方程 . ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 = + = − z z c z c a x y (2) a = b = c, 1 2 2 2 2 2 2 + + = a z a y a x 球面 方程可写为 . 2 2 2 2 x + y + z = a （二）抛物面 z q y p x + = 2 2 2 2 （p 与 q 同号） 椭圆抛物面 用截痕法讨论：设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 1 z = z ( 0) z1 的交线为椭圆
2 P 2 4-1 当二1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上 与平面=1(=10旋转抛物面 (由xOz面上的抛物线x2=2pz绕它的轴旋转而成的) 与平面==1(=1>0)的交线为圆 2+y2=2p当变动时,这种圆的中心都 在z轴上
4 = + = 1 1 2 1 2 1 2 2 z z qz y pz x 当 1 z 变动时，这种椭圆的中心都在 z 轴上. 与平面 1 z = z ( 0) z1 不相交. （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截 截得抛物线 = = 0 2 2 y x pz 与平面 1 y = y 的交线为抛物线. = = − 1 2 2 1 2 2 y y q y x p z 它的轴平行于 z 轴，顶点 q y y 2 0, , 2 1 1 （3）用坐标面 yoz (x = 0)， 1 x = x 与曲面相截均可得抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论. 椭圆抛物面的图形如下： 特殊地：当 p = q 时，方程变为 z p y p x + = 2 2 2 2 ( p 0) 旋转抛物面 （由 xoz 面上的抛物线 x 2pz 2 = 绕它的轴旋转而成的） 与平面 1 z = z ( 0) z1 的交线为圆. = + = 1 1 2 2 2 z z x y pz 当 1 z 变动时，这种圆的中心都 在 z 轴上. z x y o x y z o p 0, q 0 p 0, q 0
=z(p与q同号)双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论:设p>0,q>0图形如下 y (三)双曲面 22--=1单叶双曲面 b (1)用坐标面xoy(二=0)与曲面相截
5 z q y p x − + = 2 2 2 2 （p 与 q 同号）双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：设 p 0, q 0 图形如下： （三）双曲面 1 2 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x 单叶双曲面 （1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截 x y z o
截得中心在原点O(0,0,0)的椭圆 z=0 与平面二==1的交线为椭圆 当二1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上 (2)用坐标面x0(y=0)与曲面相截 截得中心在原点的双曲线 实轴与x轴相合,虚轴与z轴相合. 与平面y=y(y≠±b)的交线为双曲线 VI a C 双曲线的中心都在y轴上 ()y2b2,实轴与z轴平行,虚轴与x轴平行 (3)y=b,截痕为一对相交于点(0,b,0)的直线 0 y=b y=b (4)y1=-b,截痕为一对相交于点(0,-b0)的直线 x-二=0 y y
6 截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆. = + = 0 1 2 2 2 2 z b y a x 与平面 1 z = z 的交线为椭圆. = + = + 1 2 2 1 2 2 2 2 1 z z c z b y a x 当 1 z 变动时，这种椭圆的中心都在 z 轴上. （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. = − = 0 1 2 2 2 2 y c z a x 实轴与 x 轴相合，虚轴与 z 轴相合. 与平面 1 y = y ( ) y1 b 的交线为双曲线. = − = − 1 2 2 1 2 2 2 2 1 y y b y c z a x 双曲线的中心都在 y 轴上. (1 ) , 2 2 y1 b 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行. (2 ) , 2 2 y1 b 实轴与 z 轴平行, 虚轴与 x 轴平行. (3 ) , y1 = b 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线. , 0 = − = y b c z a x . 0 = + = y b c z a x (4 ) , y1 = −b 截痕为一对相交于点 (0,−b,0) 的直线. , 0 = − − = y b c z a x . 0 = − + = y b c z a x
(3)用坐标面yoz(x=0),x=x1与曲面相截均可得双曲线 平面x=±a的截痕是两对相交直线 单叶双曲面图形 =-1双叶双曲面 二、小结 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法(熟知这几个常见曲面的特性)
7 （3）用坐标面 yoz (x = 0)， 1 x = x 与曲面相截均可得双曲线. 平面 x = a 的截痕是两对相交直线. 单叶双曲面图形 1 2 2 2 2 2 2 + − = − c z b y a x 双叶双曲面 二、小结 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性） x y o z x y o
思考题 x2-4y2+z2=25 方程 表示怎样的曲线 思考题解答
8 思考题 方程 = − − + = 3 4 25 2 2 2 x x y z 表示怎样的曲线？ 思考题解答 = − − + = 3 4 25 2 2 2 x x y z . 3 4 16 2 2 = − − + = x y z
