章节题目 第四节、平面弧长的积分 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 内|弧长的计算 容提要 直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下弧长的计算公式 重点分析 直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下弧长元素的确定 难点分析 356:1、4、6、8、9 题布置 备注
1 章 节 题 目 第四节、平面弧长的积分 内 容 提 要 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 弧长的计算 重 点 分 析 直角坐标系下，参数方程情形下，极坐标系下弧长的计算公式 难 点 分 析 直角坐标系下，参数方程情形下，极坐标系下弧长元素的确定 习 题 布 置 P356 ：1、4、6、8、9 备 注
教学内容 、平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两个端点,在弧上插入分点 A=M0,M1…M,2…,Mn1,M=B并依次连接相邻分点得一内接折线,当分 点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长∑|MM|的极限存 在,则称此极限为曲线弧AB的弧长 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向 点时,此折线的长 M|的极限存在,则称此极限为曲线弧AB的弧长 、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x)(a≤x≤b),其中∫(x)在[a,b]上有一阶连续导数,取 积分变量为x,在[a,b]上任取小区间[x,x+dx],以对应小切线段的长代替小弧 段的长 dy a xx+dx 小切线段的长√dx)2+(d)2=√1+y2dx 弧长元素d=√+p dx 弧长s=√1+y2ax 例1计算曲线y=2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度
2 教 学 内 容 一、平面曲线弧长的概念 设 A 、 B 是 曲 线 弧 上 的 两 个 端 点 ， 在 弧 上 插 入 分 点 A = M0 ,M1 , Mi , ,Mn−1 ,Mn = B 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分 点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存 在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长. 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向 一点时，此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长. 二、直角坐标情形 设曲线弧为 y = f (x) (a x b) ，其中 f (x) 在 [a,b] 上有一阶连续导数，取 积分变量为 x ，在 [a,b] 上任取小区间 [x, x + dx] ，以对应小切线段的长代替小弧 段的长 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y dx b a = + 例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的长度. o x y A = M0 M1 B = Mn M2 Mn−1 o x y a x x + dx b dy
x,∴d=√+(x2)hx=√1+xd 所求弧长为s= (1+b)3-(1+a) 例2计算曲线y= nisin 0de的弧长(0≤x≤nx) 解:y=nSn 1+y2d 1+sin -dx x=nt 1+snt·ndt cos=+2sin-cos-dt =nl sin -+cos 参数方程情形 =(1) =Y=m0(a≤1≤B,其中叫w(0在[a,月上具有连续导数 曲线弧为 )2+(dy)2=o2(1)+v2()dm)2=o2(t)+v2()d 弧长s=Vq2()+v2()dt 例3求星形线x3+y3=a3(a>0)的全长 x=acos t 解:星形线的参数方程为 (0≤t≤2丌) y 根据对称性S=4S1(第一象限部分的弧长4倍) 4s=46√x)+(y)ah=4 basin t cos tdt =6a x= cost 例4证明正弦线y=asnx(0≤x≤2)的弧长等于椭圆 y (0≤t≤2丌)的周长
3 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1+ xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a 例 2 计算曲线 y n d n x = 0 sin 的弧长 (0 x n ). 解： n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 dx n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n. 三、参数方程情形 曲线弧为 , ( ) ( ) = = y t x t ( t ) ，其中 (t), (t) 在 [,] 上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 = + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t dt = + 例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0) 的全长. 解：星形线的参数方程为 = = y a t x a t 3 3 sin cos (0 t 2 ) 根据对称性 4 1 s = s （第一象限部分的弧长 4 倍） 4 1 s = s (x ) (y ) dt = + 2 0 2 2 4 a t tdt = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 例 4 证明正弦线 y = asin x (0 x 2 ) 的弧长等于椭圆 = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0 t 2 ) 的周长. a b
解:设正弦线的弧长等于S 1 1+y2dtx=[√h+a2cos2xtr=2√1+a2cos2xa 设椭圆的周长为s2 四、极坐标情形 曲线弧为r=r(0)(a≤6≤B),其中q(6)在[,月上具有连续导数 x=r(O)cosB ly=r(O)sin ≤b≤B) ds=√dx)2+(dhy)2 2(0) 弧长 r()+r2(e 例5求极坐标系下曲线r=dsm2的长(a>0)(0≤0≤37) 2(0)+r2()d0 +al sin de 例6求阿基米德螺线r=aθ(a>0)上相应于b从0到2丌的弧长 解
4 解：设正弦线的弧长等于 1 s s y dx = + 2 0 2 1 1 a xdx = + 2 0 2 2 1 cos 2 1 cos , 0 2 2 a xdx = + 设椭圆的周长为 2 s 四、极坐标情形 曲线弧为 r = r( ) ( ) ，其中 ( ) 在 [,] 上具有连续导数. = = ( )sin ( ) cos y r x r ( ) 2 2 ds = (dx) + (dy) ( ) ( ) , 2 2 = r + r d 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s r r d = + 例 5 求极坐标系下曲线 3 3 sin = r a 的长. (a 0) (0 3 ) 解： 3 1 3 cos 3 3 sin 2 = r a , 3 cos 3 sin 2 = a s r r d = ( ) + ( ) 2 2 + = 3 0 4 2 2 6 2 3 cos 3 sin 3 a sin a d = 3 0 a d 2 3 sin . 2 3 = a 例 6 求阿基米德螺线 r = a (a 0) 上相应于 从 0 到 2 的弧长. 解： r = a
rVr(0)+r"(0de =S va 02+ade =al ve+lde r√1+4x2+hn(2+V1+4 五、小结 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 求弧长的公式:直角坐标系下;参数方程情形下;极坐标系下 思考题 闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)是否一定可求长? 思考题解答 不一定.仅仅有曲线连续还不够,必须保证曲线光滑才可求长
5 s r r d = ( ) + ( ) 2 2 = 2 0 a a d 2 2 2 + = 2 0 a 1d 2 + 2 1 4 ln( 2 1 4 ). 2 2 2 = + + + + a 五、小结 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 求弧长的公式：直角坐标系下；参数方程情形下；极坐标系下 思考题 闭区间 [a,b] 上的连续曲线 y = f (x) 是否一定可求长？ 思考题解答 不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
