章节题目 第四节三重积分的概念和计算方法 三重积分的定义、计算 内容提要 三重积分的计算 重点分析 化三重积分为三次积分时积分限的确定 难点分析 习题布置 备注
1 章 节 题 目 第四节 三重积分的概念和计算方法 内 容 提 要 三重积分的定义、计算 重 点 分 析 三重积分的计算 难 点 分 析 化三重积分为三次积分时积分限的确定 习 题 布 置 P133 2、5、7 备 注
教学内容 三重积分的定义 设f(x,y,=)是空间有界闭区域Ω上的有界函数,将闭区域Ω任意分成n个小闭 区域△1,△V2…,△vn,其中△v表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每 个Av2上任取一点(5,n,)作乘积f(5,n,)△v,(=1,2,…,n),并作和,如 果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极 限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记为f(x,y,z)dh 即(xy)=m2/(5,n1A 其中d叫做体积元素 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分9 则△v=△ Ay A 三重积记为f(x,yd=m∑/(,n5,A 其中ddz叫做直角坐标系中的体积元素 三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域Ω在xoy面上的投影为闭区域D, (x,y) 2":-1 1(3,y) =y2(x) S1:z==1(x,y), S2:z==2(x,y) 过点(x,y)∈D作直线 2
2 教 学 内 容 一、三重积分的定义 设 f (x, y,z) 是空间有界闭区域 上的有界函数，将闭区域 任意分成 n 个小闭 区域 1 v ， 2 v , , n v ，其中 i v 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 i v 上任取一点 ( , , ) i i i 作乘积 i i i i f ( , , )v ，(i =1,2, ,n) ，并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极 限为函数 f (x, y,z) 在闭区域 上的三重积分，记为 f (x, y,z)dv , 即 f (x, y,z)dv i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0 . 其中dv叫做体积元素. 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分, . i j k l 则 v = x y z 三重积记为 f (x, y,z)dxdydz i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0 . 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素. 二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 闭区域在 xoy面上的投影为闭区域 D, g : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y)D作直线, x y z o D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) 1 y = y x ( ) 2 (x, y) y = y x
从=1穿入,从二2穿出 先将x,y看作定值,将f(x,y,=)只看作二的函数,则 F(x,y)=f(x,y,=)d= 计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 F(x, yido f(x, y, a)d=]do D:y(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b,得 们/y3=m4m, 注意 这是平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的 直线与闭区域Ω的边界曲面S相交不多 于两点情形 例1化三重积分I=f(x,y,z)ddd为三次积分,其中积分区域为由曲 面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域 解由 得交线投影区域x2+y2≤l l≤x≤1 y x2+2y2≤z≤2-x doody,,f(x,y,=)dz -0,5
3 从 z1 穿入，从 z2 穿出． 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z的函数，则 = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算F(x, y)在闭区间D上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 2 1 = D z x y z x y D F x y d f x y z dz d : ( ) ( ), , D y1 x y y2 x a x b 得 = f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 注意 于两点情形． 直线与闭区域 的边界曲面 相交不多 这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的 S z 例 1 化三重积分 I = f (x, y,z)dxdydz 为三次积分，其中积分区域 为由曲 面 2 2 z = x + 2y 及 2 z = 2 − x 所围成的闭区域. 解 由 = − = + 2 2 2 2 2 z x z x y ,得交线投影区域 1, 2 2 x + y 故 ： + − − − − − 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z x x y x x , ( , , ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 − 2 − + − − − = x x y x x I dx dy f x y z dz
例2、化三重积分=(xy)d为三次积分,其中积分区域?为由曲 面z=x2+y2,y=x2,y=1,z=0所围成的空间闭区域如图, 0.5 g2:0≤z≤x2+y2, x2≤y≤1,-1≤x≤1 =ad” f(r,y, =)d 例3将∫h吵[”(x,)按y三x的次序积分 解
4 例 2、化三重积分 I = f (x, y,z)dxdydz 为三次积分，其中 积分区域 为由曲 面 2 2 z = x + y , 2 y = x , y = 1, z = 0 所围成的空间闭区域.如图， 解 1, 1 1. : 0 , 2 2 2 − + x y x z x y − + = 1 1 0 1 2 2 2 ( , , ) x y x I dx dy f x y z dz. 例 3 将 1 + 0 1 0 0 2 2 ( , , ) x y dx dy f x y z dz 按 y,z, x 的次序积分. 解 x y z
D,四0sx 0≤y≤1 0.20.40.60 z-x2≤y≤1 原式=xd[f(x,y,=)+ d=lf(x,y, =)dy 截面法的一般步骤 (1)把积分区域Ω向某轴(例如轴)投影,得投影区间[c2c2] (2)对z∈[,c2]用过z轴且平行xoy平面的平面去截Ω,得截面D; (3)计算二重积分f(x,y)dd其结果为z的函数F() (4)最后计算单积分∫F()即得三重积分值
5 D1： 0 1 0 2 y z x D2： − + 1 1 2 2 2 z x y x z x = + 1 0 1 0 0 ( , , ) 2 dx dz f x y z dy x 原式 − 1 + 1 0 1 2 2 2 ( , , ) z x x x dx dz f x y z dy . 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域 向某轴（例如 z 轴）投影，得投影区间 [ , ] 1 2 c c ； (2) 对 [ , ] 1 2 z c c 用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截 ，得截面 D z ; (3) 计算二重积分 Dz f (x, y,z)dxdy 其结果为 z 的函数 F(z) ； (4) 最后计算单积分 2 1 ( ) c c F z dz 即得三重积分值. D1 D2
例4计算三重积分f[ddhd,其中Ω为三个坐标面及平面x+y+z=1所 围成的闭区域 解(-)‖dhd=[ Ed [[ dxdy, D={(x,y)|x+y≤l- dxdy=:(l-x)(1-) 原式=[:(1-x)2d 解(二) ∫d=广d”d [=(-y-)=2=:2(-=)d 例5计算三重积分2d,其中是由椭球面++2=1所成的
6 例 4 计算三重积分 zdxdydz ，其中 为三个坐标面及平面 x + y + z =1 所 围成的闭区域. 解（一） zdxdydz , 1 0 = Dz zdz dxdy D {(x, y)| x y 1 z} z = + − (1 )(1 ) 2 1 dxdy z z Dz = − − 原式 = − 1 0 2 (1 ) 2 1 z z dz 24 1 = . 解（二） zdxdydz − − − = z y z zdz dy dx 1 0 1 0 1 0 − = − − z zdz y z dy 1 0 1 0 (1 ) = − 1 0 2 (1 ) 2 1 z z dz 24 1 = . 例 5 计算三重积分 z dxdydz 2 ，其中 是由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 所成的 z x o z y 1 1 1
空间闭区域 g:(x,)-5=C,a+b251- 原式==Jdh D2={(x,y) +2 d=x2(-2)165(-元)=mb(- 原式=mb(1--)2=,mbc3 15 例6计算三重积分y1-xdd,其中g由曲面y= x2+z2=1,y=1所围成 解如图, 将Ω投影到xOx平面得 D-:x2+z2≤1
7 空间闭区域. 解 : {( x, y,z)| −c z c, 1 }2 2 2 2 2 2 c z b y a x + − 原式 , 2 − = Dz c c z dz dxdy D {(x, y)| z = 1 }2 2 2 2 2 2 c z b y a x + − (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 c z b c z dxdy a Dz = − − (1 ), 2 2 c z = ab − 原式 − = − c c z dz c z ab 2 2 2 (1 ) . 15 4 3 = abc 例 6 计算三重积分 y x dxdydz − 2 1 ，其中 由曲面 2 2 y = − 1− x − z ， 1 2 2 x + z = ， y =1 所围成. 解 如图, 将 投影到 zox 平面得 : Dxz 1 2 2 x + z , x y z o D z
先对y积分,再求D上二重积分, 原式=』y-xbdd=上 x(x=+o dx (1+x2-2x)dx 、小结 三重积分的定义和计算(计算时将三重积分化为三次积分) 在直角坐标系下的体积元素dh= drava 思考题 选择题: 2为六个平面x=0,x=2,y=1,x+2y=4,z=x,z=2围成的区域, f(x,y,)在Ω上连续,则累次积分 f(x, y, =)d (a)dx rdyLf(x,y, =)d=; (B)2dy,f(x,y,), (C)d2d∫x (D)l dx dyl f(x,y, =)dz 思考题解答 选(D)
8 先对 y 积分，再求 Dxz 上二重积分, − − − = − 1 1 2 2 2 1 x z D y x dxdz dy xz 原式 dz x z dx x x x 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 + = − − − − − dx z x x z x x 2 2 1 1 3 2 1 1 2 )| 3 1 ( − − − − = − + − = + − 1 1 2 4 (1 2 ) 3 1 x x dx . 45 28 = 三、小结 三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分） 在直角坐标系下的体积元素 dv = dxdydz 思考题 选择题: 为六个平面 x = 0， x = 2， y =1， x + 2y = 4 ， z = x ， z = 2 围成的区域， f (x, y,z) 在 上连续，则累次积分____ = f (x, y,z)dv . ( ) ( , , ) ; 2 0 1 2 2− 2 x x A dx dy f x y z dz ( ) ( , , ) ; 2 0 2 2 1 2 − x x B dx dy f x y z dz ( ) ( , , ) ; 2 0 1 2 2 2 − x x C dx dy f x y z dz ( ) ( , , ) . 2 0 2 2 1 2 − x x D dx dy f x y z dz 思考题解答 选（D）