章节题目 第六节微分法在几何上的应用 曲线的切线与方程法平面方程 曲面的切平面方程与法线方程 内容提要 曲线的切线方程与曲面的切平面方程的求法 重点分析 曲线以一般方程形式给出时切线方程的求法 难点分析 习题布置 2、4、6、10 备注
1 章 节 题 目 第六节 微分法在几何上的应用 内 容 提 要 曲线的切线与方程法平面方程 曲面的切平面方程与法线方程 重 点 分 析 曲线的切线方程与曲面的切平面方程的求法 难 点 分 析 曲线以一般方程形式给出时切线方程的求法 习 题 布 置 P52 2、4、6、10 备 注
教学内容 空间曲线的切线与法平面 x=p(1) 设空间曲线的方程{y=v(t) z=o(1) (1)式中的三个函数均可导 设M(x0,y,=0),对应于t=10; M(x0+△x,y+△y,=0+△) 对应于t=t0+A M /M 割线MM的方程为 x-xo y-Vo 考察割线趋近于极限位置—切线的过程 上式分母同除以Mt x-x0y-y02-20 M 当M→M即M→0时,曲线在M处的切线方程 x-xy-y2==0 φ()v(to)c(t0) 2
2 教 学 内 容 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程 (1) ( ) ( ) ( ) = = = z t y t x t (1)式中的三个函数均可导. ( , , ), ; 0 0 0 0 设 M x y z 对应于t = t . ( , , ) 0 0 0 0 t t t M x x y y z z = + + + + 对应于 割线 MM 的方程为 z z z y y y x x x − = − = − 0 0 0 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 t, , 0 0 0 t z z z t y y y t x x x − = − = − 当M→M,即t →0时, 曲线在 M 处的切线方程 . ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − o z y x • M • M o z y x M • • M
切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 7={0(t0)y(n),of(t)} 法平面:过M点且与切线垂直的平面 p(t0x-x)+v(0Xy-y)+(0=-20)=0 例:求曲线F:x= cos udu,y=2m+:=1+e在t=0处的切线 和法平面方程 解当t=0时,x=0,y=1,z=2, x'=e cost →x(0)=1,y(0)=2,x(0)=3 切线方程 y-1 法平面方程x+2(y-1)+3(二-2)=0, 即x+2y+3z-8=0 特殊地: 1.空间曲线方程为 P(x) x=y(x) 在M(xny,=0)处, 切线方程为 1p(x0)v(x0) 法平面方程为(x-x0)+p"(x(y-y0)+v(x0)(=-0)=0. 2空间曲线方程为 F(x,y,=)=0 lG(xy,2)=0 切线方程为 F: F FF (x-x0)+ 法平面方程为G,G (=-=) 例2求曲线x2+y2+2=6,x+y+二=0在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程 解1直接利用公式
3 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 ) 法平面：过 M 点且与切线垂直的平面. (t 0 )(x − x0 ) +(t 0 )( y − y0 ) +(t 0 )(z − z0 ) = 0 例：求曲线 : = t u x e udu 0 cos ， y = 2sin t + cost , t z e 3 =1+ 在 t = 0 处的切线 和法平面方程. 解 当 t = 0 时， x = 0, y =1,z = 2, x e cost, t = y = 2cost −sin t, 3 , 3t z = e x (0) =1, y (0) = 2, z (0) = 3, 切线方程 , 3 2 2 1 1 0 − = − = x − y z 法平面方程 x + 2( y −1) + 3(z − 2) = 0, 即x + 2y +3z −8 = 0. 特殊地： 1.空间曲线方程为 , ( ) ( ) = = z x y x ( , , ) , 在M x0 y0 z0 处 切线方程为 , 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x z z x x x y y − = − = − 法平面方程为 ( ) ( )( ) ( )( ) 0. x − x0 + x0 y − y0 + x0 z − z0 = 2.空间曲线方程为 , ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 切线方程为 , 0 0 0 0 0 0 x y x y z x z x y z y z G G F F z z G G F F y y G G F F x x − = − = − 法平面方程为 0. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 = − + − + z − z G G F F y y G G F F x x G G F F x y x y z x z x y z y z 例 2 求曲线 6 2 2 2 x + y + z = ， x + y + z = 0 在点 (1,−2,1) 处的切线及法平面方程. 解 1 直接利用公式;
解2将所给方程的两边对x求导并移项,得 dy. da (1,-2,1) 由此得切向量T={1,0.-1}, 所求切线方程为 1y+2 法平面方程为(x-1)+0·(y+2)-(-1)=0, 0 、曲面的切平面与法线 设曲面方程为F(x,yz)=0 在曲面上任取一条通过点M的曲线 x=p(1) r:{y=v(1) 二=O(t) 曲线在M处的切向量T={φ(1)v(t)o()}, 令n={F2(x0,y,=0),F,(x0,y0,=0),F(x0,y0,=0)} 则n⊥T,由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线,它们在M的切线都与同
4 解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得 + = − + = − 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y 0, (1, 2,1) = dx − dy 1, (1, 2,1) = − dx − dz 由此得切向量 T = {1, 0,−1}, 所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 法平面方程为 (x −1) + 0( y + 2) − (z −1) = 0, x − z = 0 二、曲面的切平面与法线 设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 在曲面上任取一条通过点 M 的曲线 , ( ) ( ) ( ) : = = = z t y t x t 曲线在 M 处的切向量 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T = t t t 令 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z 则 n T, ⊥ 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线，它们在 M 的切线都与同一 n T M , y z z x dx dy − − = , y z x y dx dz − − =
向量n垂直,故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上,这个 平面称为曲面在点M的切平面 切平面方程为(x0,y,20(x-x)+F(x,1,-0)y-y) +F2(x2,y,=0(-20)=0 通过点M(x0,yn二0)而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线 法线方程为 F(x0,y,=0)F,(x0,y,-0)F(x,y,0) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 曲面在M处的法向量即 万={F2(x0,y0,0),F,(x,y,0,F(x,y,=0) 特殊地:空间曲面方程形为z=f(x,y) 令F(x,y,z)=f(x,y)-x, 曲面在M处的切平面方程为 f(x0,yx-x0)+f,(x0,y0y-y)=z-0 曲面在M处的法线方程为 f(xo f(xo,yo) 全微分的几何意义 因为曲面在M处的切平面方程为 co=f(xo, yo)(x-xo)+f (xo, yo-yo) 切平面上点的竖坐标的增量 函数=f(x,y)在点(x0,%)的全微分 二=f(x,y)在(x0,y)的全微分,表示曲面=f(x,y)在点(x0,y2二0)处的切平 面上的点的竖坐标的增量 若a、B、y表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的, 即使得它与z轴的正向所成的角y是锐角,则法向量的方向余弦为 ∫2 Cosa= / 1+5 +6
5 向量 n 垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面上，这个 平面称为曲面在点 M 的切平面. 切平面方程为 ( , , )( ) 0 ( , , )( ) ( , , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + − = − + − F x y z z z F x y z x x F x y z y y z x y 通过点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线. 法线方程为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x x y z − = − = − 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在 M 处的法向量即 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z 特殊地：空间曲面方程形为 z = f (x, y) 令 F(x, y,z) = f (x, y) − z, 曲面在 M 处的切平面方程为 ( , )( ) ( , )( ) , 0 0 0 0 0 0 0 f x y x x f x y y y z z x − + y − = − 曲面在 M 处的法线方程为 . ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − = − = − z z f x y y y f x y x x x y 全微分的几何意义 因为曲面在 M 处的切平面方程为 ( , )( ) ( , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 z z f x y x x f x y y y − = x − + y − 切平面上点的竖坐标的增量 函数z = f (x, y)在点(x0 , y0 )的全微分 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 的全微分，表示曲面 z = f (x, y) 在点 ( , , ) 0 0 0 x y z 处的切平 面上的点的竖坐标的增量. 若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的， 即使得它与 z 轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的方向余弦为 , 1 cos 2 2 x y x f f f + + − =
cos B √h+f2+f2 coSy √h+f2+2 其中fx=f(x,y)J,=f(x0,y) 例3求旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2,4)处的切平面及法线方程 解f(xy)=x2+y2-,2 ={2x,2y,-1(2.4 {4,2,-1} 切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(-4)=0, 4x+2y-z-6=0 法线方程为 4J= x 2 例4求曲面二-e2+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面及法线方程 解令F(x,y二)= h2.0)=2 (1,2,0) 1,2,0) I≈(0z7 0, (1,2,0) 切平面方程4(x-1)+2(y-2)+0.(二-0)=0, xt) 法线方程 1_y-2_z-0 例5求曲面x2+2y2+32=21平行于平面x+4y+62=0的各切平面方程 解设(x02y,二0)为曲面上的切点 切平面方程为2x0(x-x0)+4y0(y-y)+6-0(二-50)=0
6 , 1 cos 2 2 x y y f f f + + − = . 1 1 cos 2 2 x y + f + f = 其中 ( , ) 0 0 f f x y x = x ( , ) 0 0 f f x y y = y 例 3 求旋转抛物面 1 2 2 z = x + y − 在点 (2,1,4) 处的切平面及法线方程. 解 ( , ) 1, 2 2 f x y = x + y − (2,1,4) (2,1,4) n ={2x, 2y,−1} ={4, 2,−1}, 切平面方程为 4(x − 2) + 2( y −1) − (z − 4) = 0, 4x + 2y − z − 6 = 0, 法线方程为 . 1 4 2 1 4 2 − − = − = x − y z 例 4 求曲面 z − e + 2xy = 3 z 在点 (1,2,0) 处的切平面及法线方程. 解 令 F(x, y,z) = z −e + 2xy−3, z 2 4, (1,2,0) (1,2,0) Fx = y = 2 2, (1,2,0) (1,2,0) Fy = x = 1 0, (1,2,0) (1,2,0) = − = z z F e 切平面方程 4(x −1) + 2( y − 2) + 0(z − 0) = 0, 2x + y − 4 = 0, 法线方程 . 0 0 1 2 2 1 − = − = x − y z 例 5 求曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 平行于平面 x + 4y + 6z = 0 的各切平面方程. 解 设 ( , , ) 0 0 0 x y z 为曲面上的切点, 切平面方程为 2x0 (x − x0 ) + 4y0 (y − y0 ) + 6z0 (z − z0 ) = 0
依题意,切平面方程平行于已知平面,得 4 63, yo=20 因为(x0,y02=0)是曲面上的切点, 满足方程∵x=±1 所求切点为(1,2,2),(-1,-2,-2) 切平面方程(1) 2(x-1)+8(y-2)+12(=-2)=0 x+4y+6z=21 切平面方程(2) 2(x+1)-8(y+2)-12(=+2)=0 →x+4y+6z=-21 、小结 空间曲线的切线与法平面 (当空间曲线方程为一般式时,求切向量注意采用推导法) 曲面的切平面与法线 (求法向量的方向余弦时注意符号) 思考题 如果平面3x+4-3z+16=0与椭球面3x2+y2+2=16相切,求A 思考题解答 设切点(x,y,=0),万={6x0,2y,2=0}, 依题意知切向量为{3,A,-3} ==0 二0→yn=Ax 切点满足曲面和平面方程 3x0+2x+9x+16=0 3x2+2x2+9x2-16=0
7 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 , 6 6 4 4 1 2 0 0 0 x y z = = 2 . 0 0 0 x = y = z 因为 ( , , ) 0 0 0 x y z 是曲面上的切点， 满足方程 1, x0 = 所求切点为 (1,2,2), (−1,−2,−2), 切平面方程(1) 2(x −1) +8( y − 2) +12(z − 2) = 0 x + 4y + 6z = 21 切平面方程(2) − 2(x +1) −8( y + 2) −12(z + 2) = 0 x + 4y + 6z = −21 三、小结 空间曲线的切线与法平面 （当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法） 曲面的切平面与法线 （求法向量的方向余弦时注意符号） 思考题 如果平面 3x + y − 3z +16 = 0 与椭球面 3 16 2 2 2 x + y + z = 相切，求 . 思考题解答 设切点 ( , , ), 0 0 0 x y z {6 , 2 , 2 }, 0 0 0 n = x y z 依题意知切向量为 {3, ,−3} 3 2 2 3 6 0 0 0 − = = x y z , 0 0 y = x 3 , 0 0 z = − x 切点满足曲面和平面方程 , 3 9 16 0 3 9 16 0 2 0 2 0 2 2 0 0 0 2 0 + + − = + + + = x x x x x x = 2