上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（3.3）随机变量的独立性

Ch3-94 533随机变量的独立性 将事件独立性推广到r 两个rv.的相互独立性 定义设(XY)为二维ⅴ.若对任何 实数x,y都有 P(X≤x,sy)=P(X≤x)P(Y≤y) 则称rX和Y相互独立

Ch3-94 §3.3 随机变量的独立性 —— 将事件独立性推广到 r.v. 设(X,Y )为二维 r.v. 若对任何 P(X  x,Y  y) = P(X  x)P(Y  y) 则称 r.v. X 和Y 相互独立 两个 r.v. 的相互独立性 实数 x, y 都有 定义

Ch395 由定义知 维rv.(X,Y)相互独立 今F(x,y)=Fx(x)F(y) →Vaa, Y>c)=P(X>aP(>c)

Ch3 -95 由定义知 二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立 F(x, y) F (x)F ( y) = X Y ( ) ( ) ( , ) , P a X b P c Y d P a X b c Y d a b c d =            ( , ) ( ) ( ) ,P X a Y c P X a P Y c a c R  =    

Ch3-96 离散型X与Y独立对一切i,有 Pi= pipe ap P(X=X;, Y=y)=P(X=X, P(=y) 连续型X与Y独立。对任何x,y有 f(,y)=fr(xfy o(a.e. 二维随机变量(XY)相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布

Ch3-96 X与Y 独立 ( , ) ( ) ( ) i j i j 即 P X = x Y = y = P X = x P Y = y pij = pi• p• j 连续型 f (x, y) f (x) f (y) = X Y 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布 离散型 对一切 i , j 有 X与Y 独立 对任何 x ,y 有 (a.e.)

二维连续rv.(X,)相互独立 fx(x)=fxx(xy) (r()>0) f(y)=fx(yx)(/x(x)>0)

Ch3-97 二维连续 r.v. ( X,Y ) 相互独立 f (x) = f (x y) ( f ( y)  0) X X Y Y f ( y) = f ( y x) ( f (x)  0) Y Y X X

命题(X,Y)~NA4,o2;k2:02;p)相互独立 p=0 证一对任何x,y有 1「(x-32my2)(y)2 2(1-p 2n01O21-p (x-H1 y-l2 2 √兀o √2nO2 取 x=11,y=

Ch3-98  = 0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 2 ( ) 1 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1                    − − − −       − + − − − − − − = − x y x x y y e e e 证 对任何 x,y 有 1 2 取 x =  , y =  ( , ) ~ ( , ; , ; ) 2 2 2 2 命题 X Y N 1 1    相互独立

Ch3-99 2n0G,1P3s1 2O1√2丌O2 故P=0 一将ρ=0代入f(x,y)即得 f(x,y)=f(xf(y

Ch3-99 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1      = − 故  = 0 将  = 0 代入 f (x, y) 即得 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y

Ch3-100 例1已知(X,Y)的联合d;为 (1)f1(x,y)= 4xy,0<x<10<y<1 其他 (2)f(x,y)= 8xy,0<x<y,0<y<1 0, 其他 讨论X,Y是否独立?

Ch3-100 例1 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为        = 0, 其他 4 , 0 1,0 1 ( , ) 1 xy x y (1) f x y        = 0, 其他 8 , 0 ,0 1 ( , ) 2 xy x y y f x y (2) 讨论X ,Y 是否独立？

Ch3-101 解 (1)由图知边缘d, 2x,0<x<1 f(x= 0,其他 2y,0<y<1 fo= 0,其他 显然 f(r,y=fr(xfr 故X,Y相互独立

Ch3-101 解 (1) 由图知边缘 d.f. 为 1 1      = 0, 其他 2 , 0 1, ( ) x x f x X      = 0, 其他 2 , 0 1, ( ) y y f y Y 显然， ( , ) ( ) ( ) 1 f x y f x f y X Y = 故 X ,Y 相互独立

Ch3-102 (2)由图知边缘df.为 4x(1-x2),0<x<1, f(x)= 0. 其他 4y2,0<y<1 f(y)= 0,其他 显然, f2(x,y)≠fx(x)(y) 故X,Y不独立

Ch3-102 (2) 由图知边缘 d.f. 为    −   = 0, 其他 4 (1 ), 0 1, ( ) 2 x x x f x X      = 0, 其他 4 , 0 1, ( ) 3 y y f y Y 显然， ( , ) ( ) ( ) 2 f x y f x f y  X Y 故 X ,Y 不独立 1 1

Ch3-103 判连续型rv.相互独立的有关命题 设f(xy)是连续二维rv.(x,Y)的联合 df.r(x),g()为非负可积函数,且 f(x,y=r(xg(y(ae) 则X,Y相互独立 且 r(x X X + (a.e.) trax f()=8() ae +oO g(ydj

Ch3-103 判连续型 r.v. 相互独立的有关命题 设f (x,y)是连续二维 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. r (x), g(y) 为非负可积函数, 且 f (x, y) = r(x)g(y) (a.e.) 则 X , Y 相互独立 且 ( . .) ( ) ( ) ( ) a e r x dx r x f x X  + − = ( . .) ( ) ( ) ( ) a e g y dy g y f y Y  + − =