第七章习题课
第七章习题课
问题1极大似然估计具有不变性矩估计 是否也具有? 答否 例如X服从反射正态分布其pd;为 21 x>0 f(x)=\zo 口现用矩法分别对a和2作估计
问题 1 极大似然估计具有不变性, 矩估计 是否也具有？ 答 否. 例如 X 服从反射正态分布,其p.d.f.为 = − 0 0 0 2 1 ( ) 2 2 2 x e x f x x 现用矩法分别对 和 2作估计
E(X2N4(X2)=0,DX)=(1-2m 设(X1,X2,,Yn)为总体的样本 E(H2)=D)+B(B=a2/ 由矩法,令E(X)=√2/zo i=1 分别得矩G=Vz/2R 2 估计量为1a=1SX →0≠ 所以矩估计不具有不变性
设（ X1 , X2 ,…, Xn ）为总体的样本 7-37 2 D(X) = (1− 2/) 由矩法，令 = = + = = n i Xi n E X D X E X 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) E(X) = 2 / = X = = n i Xi n 1 2 1 2 ˆ = / 2 X 2 2 ( ˆ) 所以矩估计不具有不变性 分别得矩 估计量为 E(X ) = 2 / , ( ) , 2 2 E X =
问题2似然方程的解都是极大似然估计吗? 答不尽然 例如X服从柯西 Cauchy)分布其pdf为 f(x;) <X< [1+(x-0)2] 当n=1时,似然函数为 L(6)= z[1+(x1-0)2]
问题2 似然方程的解都是极大似然估计吗？ 答 不尽然. 例如 X 服从柯西(Cauchy)分布,其p.d.f.为 [1 ( ) ] 1 ( ; ) 2 + − = x f x − x 当 n =1 时，似然函数为 [1 ( ) ] 1 ( ) 2 1 + − = x L
7-38 hnL(0)=-hz-h[1+(x-0)2] 此时,对数似然方程为 dhL 2(x-6 de 1+(x-)20 故=X是O极大似然估计 当n=2时,似然函数为 L(6) z2[1+(x1-0)1I1+(x2-0)
7-38 ln ( ) ln ln[1 ( ) ] 2 L = − − + x1 − 当 n = 2 时，似然函数为 此时，对数似然方程为 0 1 ( ) ln 2( ) 2 1 1 = + − − = x x d d L 1 故 ˆ = X 是 极大似然估计. [1 ( ) ][1 ( ) ] 1 ( ) 2 2 2 1 2 + − + − = x x L (1)
7-38 要使L(0达到最大,只要(1)的分母最小 令f(0)=[1+(x-0)]1+(x2-0)2] 由f(O)=-2(x+x12-20) [e2-(x1+x2)0+xx2+1]1=0(2 解得三个解:=(X1+X2)2 a23=(x1+x2)±√(x-x2)2-412 通过f"(O)的正负可判得:
7-38 要使 L( ) 达到最大，只要(1)的分母最小 令 ( ) [1 ( ) ][1 ( ) ] 2 2 2 f = + x1 − + x − 由 ( ) = −2( + −2 ) f x1 x2 [ ( ) 1] 0 1 2 1 2 2 − x + x + x x + = 解得三个解： ( )/ 2 1 = X1 + X2 [( ) ( ) 4 ]/ 2 2 2,3 = X1 + X2 X1 − X2 − (2) 通过 f () 的正负可判得:
7-38 当B为的极大似然估计时,,不是O的 极大似然估计之,当3为的极大似 然估计时,θ不是的极大似然估计. 而无论发生何种情况,似然方程(2) 的三个解不全是b的极大似然估计
7-38 而无论发生何种情况 , 似然方程 (2) 极大似然估计； 当 1 为 的极大似然估计时， 反之 , 当 2,3 为 的极大似 然估计时, 不是 的极大似然估计. 1 2,3 不是 的 的三个解不全是 的极大似然估计
7-16解一X~B(m,) 令=E(X)=m0 →B=X/n202=x2/ E(02)=E(X2/n2)=E(x2)/n2 =[D(X)+E2(X)/n2 =[1(r2 O2的无偏佔计量为Ⅹ2/n2
7 -16 X B n ~ ( , ) 令 ˆ 2 2 2 = = X n X n / / X E X n = = ( ) 2 2 = + [ ( ) ( )]/ D X E X n 2 2 2 2 2 E E X n E X n ( ) ( / ) ( ) / = = 2 2 2 的无偏估计量为X n/ . 解一 [ (1 )/ ( ) ]/ . 2 2 2 = n − n + n n = ？
解二X~B(n,)令E(X)=nb=X 样本容量为 E|>x2|=∑E(x2)何与分布的 参数n相同? ∑[D(X)+E(Xx)2=n(-+6) X+m(n-1)2 (x2-X1) 为的无偏估计 n2(n-1)
X B n ~ ( , ) 令 解二 E(Xi ) = n = X = = + n i D Xi E Xi n 1 2 [ ( ) ( )] 1 = = = n i i n i i E X n X n E 1 2 1 2 ( ) 1 1 2 = n(1−) + (n) 2 = X + n(n −1) ( 1) ( ) ˆ 2 1` 2 2 − − = = n n X X n i i i 样本容量为 何与分布的 参数n相同？ 为 的无偏估计. 2
正确解X~B(n,b)令E(X1)=n=X, E∑x2=∑E(x2) ∑[D(x)+E2(,)=m6(1-0)+(9 =X+n(n-12 ∑(X2-x) ,62= 为的无偏估计. m(-1)
正确解 X B n ~ ( , ) 令 E(X ) n X , i = = = = + m i D Xi E Xi m 1 2 [ ( ) ( )] 1 = = = m i i m i i E X m X m E 1 2 1 2 ( ) 1 1 2 = n(1−) + (n) 2 = X + n(n −1) ( 1) ( ) ˆ 1` 2 2 − − = = mn n X X m i i i 为 的无偏估计. 2