概率统计模型 俊蘧系统的效舉 报童的缺窍 腕窒公的颢票 软件开发人员的薪金 教学评售
概率模型 现实世界的变化受着众多因素的影响,包括确定的和随机 的。如果从建模的背景、目的和手段看,主要因素是确定 的,随机因素可以忽略,或者随机因素的影响可以简单地 以平均值的作用岀现,那么就能够建立确定性模型。如果 随机因素对研究对象的影响必须考虑,就应建立随机模型。 本章讨论如何用随即变量和概率分布描述随机因素的影响, 建立随机模型-概率模型。 统计模型 如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限 制,无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规 律的模型,那么通常要搜集大量的数据,基于对数据的统 计分析建立模型,这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 类随机模型一统计回归模型
概率模型 现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机 的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定 的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地 以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果 随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。 本章讨论如何用随即变量和概率分布描述随机因素的影响， 建立随机模型--概率模型。 统计模型 如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限 制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 一类随机模型—统计回归模型
传送系统的效率 在机械化生产车间里,排列整齐的工作台旁工人们紧张的生 产同一种产品,工作台上放一条传送带在运转,带上设置若 千钩子,工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走,如图。 当生产进入稳定状态后,每个工人生产一件产品所需时间是 不变的,而他挂产品的时刻是随机的。衡量这种传送系统的 效率可以看他能否及时把工人的产品带走。在工人数目不变 的情况下传送带速度越快,带上钩子越多,效率越高。 传送带 挂钩 工作台□」 要求构造衡量传送系统效率的指标,并在简化假设下建立模型 描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系
一 传送系统的效率 在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁工人们紧张的生 产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若 干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走，如图。 当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是 不变的，而他挂产品的时刻是随机的。衡量这种传送系统的 效率可以看他能否及时把工人的产品带走。在工人数目不变 的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率越高。 要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假设下建立模型 描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。 …… …… 传送带 挂钩 工作台
1模型分析 为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送系统的效率,在 工人生产周期(即生产一件产品的时间)相同的情况下,需要 假设工人生产出一件产品后,要么恰好有空钩子经过工作台, 他可以将产品挂上带走,要么没有空钩子经过,他将产品放下 并立即投入下一件产品的生产,以保证整个系统周期性的运转。 工人生产周期相同,但由于各种因素的影响,经过相 当长的时间后,他们生产完一件产品的时刻会不一致 认为是随机的,并在一个生产周期内任一时刻的可能 性一样。 由上分析,传送系统长期运转的效率等价于一周期的效 率,而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品 数与一周期内生产的全部产品数之比来描述
1 模型分析 为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送系统的效率，在 工人生产周期（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要 假设工人生产出一件产品后，要么恰好有空钩子经过工作台， 他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，他将产品放下 并立即投入下一件产品的生产，以保证整个系统周期性的运转。 工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相 当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致， 认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能 性一样。 由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效 率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品 数与一周期内生产的全部产品数之比来描述
2模型假设 1)有n个工人,其生产是独立的,生产周期是常数, n个工作台均匀排列。 2)生产已进入稳态,即每个工人生产出一件产品的时刻 在一个周期内是等可能性的。 3)在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方,钩子 均匀排列,到达第一个工作台上方的钩子都是空的。 4)每个工人在任何时刻都能触到一只钩子,且之能触 到一只,在他生产出一件产品的瞬间,如果他能触到的 钩子是空的,则可将产品挂上带走;如果非空,则他只 能将产品放下。放下的产品就永远退出这个传送系统
2 模型假设 3）在一周期内有 个钩子通过每一工作台上方，钩子 均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。 m 4）每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且之能触 到一只，在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的 钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空，则他只 能将产品放下。放下的产品就永远退出这个传送系统。 1）有 n 个工人，其生产是独立的，生产周期是常数， n 个工作台均匀排列。 2）生产已进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻 在一个周期内是等可能性的
3模型建立 将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的 全部产晶数之比,记作D,设带走的产品数为s,生产的 全部产晶数为n,则D=s/n。需求出S。 如果从工人的角度考虑,分析每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率,这与工人所在的位置有关(如第1个工人一定 可挂上),这样使问题复杂化。我们从钩子角度考虑,在稳定 状态下钩子没有次序,处于同等地位。若能对一周期内的m只 钩子求出每只钩子非空的概率P,则S=mp。 得到P的步骤如下:(均对一周期而言) 任一只钩子被一名工人触到的概率是1/m; 任一只钩子不被一名工人触到的概率是-1/m; 由工人生产的独立性,任一只钩子不被所有个工人挂上 产品的概率,即任一只钩子为空钩的概率是1; 任一只钩子非空的概率P=11°
3 模型建立 将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的 全部产品数之比，记作 ，设带走的产品数为 ,生产的 全部产品数为 ，则 。需求出 。 D 得到 的步骤如下：（均对一周期而言） 任一只钩子被一名工人触到的概率是 ； 任一只钩子不被一名工人触到的概率是 ； 由工人生产的独立性，任一只钩子不被所有 个工人挂上 产品的概率，即任一只钩子为空钩的概率是 ； 任一只钩子非空的概率是 。 s n D = s/ n s 如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率，这与工人所在的位置有关（如第1个工人一定 可挂上），这样使问题复杂化。我们从钩子角度考虑，在稳定 状态下钩子没有次序，处于同等地位。若能对一周期内的 只 钩子求出每只钩子非空的概率 ，则 。 m p s = mp p 1/ m 1−1/ m n n m − 1 1 n m p = − − 1 1 1
传送系统的效率指标为D=m2=m 为了得到比较简单的结果,在钩子数m相对于工人数η较 大,即“较小的情况下,将多项式1展开后只取前3 项,则有 D≈m 2 2 如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比记作E 再假定n>>1,则 D=1-E.E≈ 2m 当m=10m=40时,上式给出的结果为D=875% 用D的精确表达式计算得D=894%
传送系统的效率指标为 = = − − n n m m n mp D 1 1 1 为了得到比较简单的结果，在钩子数 m 相对于工人数 n 较 大，即 较小的情况下，将多项式 展开后只取前3 项，则有 m n n m − 1 1 ( ) m n m n n m n n m D 2 1 1 2 1 1 1 2 − = − − − − + 如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比记作 E 再假定 n 1 ，则 m n D E E 2 =1− , 当 n =10,m = 40 时，上式给出的结果为 D = 87.5% 用 D 的精确表达式计算得 D = 89.4%
4模型评价 这个模型是在理想情况下得到的,其中一些假设,如生产 周期不变,挂不上钩子的产品退出系统等是不现实的,但 模型的意义在于,一方面利用基本合理的假设将问题简化 到能够建模的程度,并用倚单的方法得到结果;另一方面 所得到的简化结果具有非常简单的意义:指标E=1-D 与n成正比,与m成反比。通常工人数目是固定的, 一周期内通过的钩子数m增加一倍,可使“效率”降低 一倍。(可理解为相反意义的效率) 思考: 如何改进模型使“效率”降低
4 模型评价 这个模型是在理想情况下得到的，其中一些假设，如生产 周期不变，挂不上钩子的产品退出系统等是不现实的，但 模型的意义在于，一方面利用基本合理的假设将问题简化 到能够建模的程度，并用简单的方法得到结果；另一方面 所得到的简化结果具有非常简单的意义：指标 E =1− D 与 n 成正比，与 m 成反比。通常工人数目 n 是固定的， 一周期内通过的钩子数 增加一倍，可使“效率” 降低 一倍。 m E 思考： 如何改进模型使“效率”降低？ （可理解为相反意义的效率）
考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法 在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。 周期内通过m个钩对,任一钩对被任意工人触到的概率 p=1/m,不被触到的概率q=1-P,于是任一钩对为空的概率 是q",钩对上只挂一件产品的概率是P 周期内通过 的2m个钩子中,空钩的平均数是m29+mpy-) 带走产品的平均数是2m-m2q+my) 未带走产品的平均数是n-2m=my+= 按照上一模型的定义,有 E=1-D=1 2-21 nm
考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法： 在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一 周期内通过 m 个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率 p =1/ m ，不被触到的概率 q =1− p ，于是任一钩对为空的概率 是 n q ，钩对上只挂一件产品的概率是 n−1 npq ，一周期内通过 的 2m 个钩子中，空钩的平均数是 ( ) 1 2 − + n n m q npq 带走产品的平均数是 ( ) 1 2 2 − − + n n m m q npq 未带走产品的平均数是 ( ) 1 2 2 − − − + n n n m m q npq 按照上一模型的定义，有 − − = − = − − − −1 1 1 1 1 1 2 2 1 n n m m n n m m E D
利用 和 的近似展开,可得 E (n-1)(n-2) om om 注意 展开取4项 展开取3项。而上一模 2 型中的方法有B=有E=BE1B 3m 当m1、2时,B<,所以该模型提供的方法比上一个模型好 3
n m − 1 1 和 1 1 1 − − n m 的近似展开，可得 ( )( ) 2 2 2 6 6 1 2 m n m n n E − − n m − 1 1 展开取4项， 1 1 1 − − n m 展开取3项。而上一模 型中的方法有 m n E 4 1 = 有 E = E1 m n 3 2 = 当 3 2n m 时， 1 ，所以该模型提供的方法比上一个模型好。 注意： 利用