经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 第六单元数学期望 学习目标 通过本节课的学习,认识数学期望是最好的代表性数字,并能利用定义和性质, 熟练地进行数学期望的计算 二、内容讲解 1.定义3.4数学期望 如果随机变量X的概率分布为 Pk p p2 ∑xP 则称和数xp+xp2+…+xpk+… 为X的数学期望或期望,记作E(X ∑xP E(X)=k 如果随机变量X的密度函数为x)则称。(x)x为X的数学期望或期 望,记作E(1). 2.常见分布的期望 (1)二点分布 随机变量X的概率分布为 则E(X)=1×p+0×(1-p) (2)二项分布X~B(n,p) 0 p(1-p)2|;p( (1-p)”k 318
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——318—— 第六单元 数学期望 一、学习目标 通过本节课的学习，认识数学期望是最好的代表性数字，并能利用定义和性质， 熟练地进行数学期望的计算． 二、内容讲解 1.定义 3.4 数学期望 如果随机变量 X 的概率分布为 X x1 x2 ... xk ... pk p1 p2 ... pk ... 则称和数 x1p1+x2p2+…+xkpk+…= k k pk x 为 X 的数学期望或期望，记作 E(X)． E（X）= k k pk x 如果随机变量 X 的密度函数为 f(x),则称 xf (x)dx − + 为 X 的数学期望或期 望，记作 E(X)． 2.常见分布的期望 （1）二点分布 随机变量 X 的概率分布为 X 1 0 pk P 1－p 则 E(X)=1×p+0×(1－p)=p （2）二项分布 X～B（n,p） X 0 1 ... k ... n pk (1－p) n 1 (1 ) 1 − − n p p n ... k n k p p k n − − (1 ) ... p n
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 E(X)=k=0 (3)泊松分布X~r() P(X=k)=k(k=0,1,2,… E(X=入 (4)均匀分布 x∈[a,b Xrf xga,b AC0==02-2 (5)正态分布 yg人 I cox-He 20'dx u E(X=-ov2r 3.随机变量函数的期望 我们提这样一个问题,若X为随机变量,问X是随机变量吗?若X的概率分 布为 X 你会计算E(X)吗?下面我们讨论这个问题. 离散型
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——319—— E(X)= kpk k n = 0 = − − = k n k p p k n k k n ( 1 ) 0 =np （3）泊松分布 X～() P(X=k)= λ k k − e ! (k=0,1,2,…) E(X)= （4）均匀分布 X～f(x)= − 0 [ , ] [ , ] 1 x a b x a b b a E(X)= − = + − b a b a x x xf x x d ( )d = 2 + 2 1 2 x a b b a b a = − （5）正态分布 X～f(x)= 2 2 2 ( ) e 2 1 − − x E(X)= + − − − x x x e d 2 2 2 2 ( ) = + − − − − x x x e d 2 1 2 2 2 ( ) + + − − − x x e d 2 1 2 2 2 ( ) = 3.随机变量函数的期望 我们提这样一个问题，若 X 为随机变量，问 X 2是随机变量吗？若 X 的概率分 布为 X x1 x2 x3 pk p1 p2 p3 你会计算 E(X 2 )吗？下面我们讨论这个问题． 离散型 X x1 x2 ... xk
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 ∑xP E( 连续型X~f(x),E(X) rf(x)dx 若X为随机变量,则X也是随机变量,且 X3 有 般地,设X是随机变量,F=g(x)是连续函数,F=g(Y)亦是随机变量.且有 ∑g(xk)kX是离散型X~P(X=xk)=P) g(x)f(x)dx是连续型X-f(x) E(=E(g(XF 问题思考1:数学期望E(X是随机变量吗?能将数学期望写成E(x)吗? 答案不是.不成.E()是一个确定的数,不是随机变量.不能把数学期望写 成E(x),因为x是普通变量,有E(x)=x. kp 问题思考2:数学期望E(X=k视为加权平均,那么它的权是什么? 答案它的权是随机变量X取值xk的概率值p 三、例题讲解 例1:假设A,B两个工人生产同一种产品,日产量相同.在一天中出现的 不合格品件数分别为X(件)和y(件),它们的概率分布为 川421xu 20.10.1 试比较两工人技术情况 解:E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1 320
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——320—— pk p1 p2 ... pk ... E(X)= k k pk x 连续型 X～f(x)，E(X)= xf (x)dx − + 若 X 为随机变量，则 X 2也是随机变量，且 X x1 x2 x3 Pk p1 p2 p3 有 Y＝X 2 2 1 x 2 2 x 2 3 x Pk p1 p2 p3 一般地，设 X 是随机变量，Y=g(x)是连续函数，Y=g(X)亦是随机变量．且有 E(Y)=E(g(X))= = = + − ( ) ( )d ( ( ) ( )p ( ( ) ) g x f x x X X f x g x X X P X x p k k k k k 是连续型 ～ 是离散型 ～ 问题思考 1: 数学期望 E(X)是随机变量吗？能将数学期望写成 E(x)吗？ 答案不是．不成．E(X)是一个确定的数，不是随机变量．不能把数学期望写 成 E(x),因为 x 是普通变量，有 E(x)=x． 问题思考 2: 数学期望 E(X)= k k pk x 视为加权平均，那么它的权是什么？ 答案它的权是随机变量 X 取值 xk 的概率值 pk． 三、例题讲解 例 1：假设 A，B 两个工人生产同一种产品，日产量相同．在一天中出现的 不合格品件数分别为 X（件）和 Y（件），它们的概率分布为 X 0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 pk 0.4 0.3 0.2 0.1 0 pk 0.5 0.1 0.2 0.1 0.1 试比较两工人技术情况． 解：E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 E(1)=0×0.5+1×0.1+2×0.2+3×0.1+4×0.1=1.2 平均而言,工人A比工人B的技术好些 l≤x≤1 例2:设连续型随机变量x的密度为产=0其它 求E(X 解:先确定常数A.因为1.(x)dx=(x2-x)x=A 所以2 E()= [**(x)dx_Ix52x2-xjdx 例3:一管理员拿10把钥匙去试开一房门,只有1把钥匙能打开此房门.他 随机拿出1把钥匙试开,如若打不开,就把这钥匙放在一旁,再随机取出1把试 开,直至把房门打开为止.问平均试开几次能把房门打开 解:设X为试开第x次打开了房门,有X=1,2,…,10 P(X=1)=0.1 P(X=2)=109 P(X=10)=1092=0.1 于是,能打开房门的平均次数为 (10+1)×1011 EX=1×0.1+2×0.1+…+10×0.1 2 -321
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——321—— E(Y)＝0×0.5+1×0.1+2×0.2 +3×0.1+4×0.1=1.2 平均而言，工人 A 比工人 B 的技术好些. 例 2：设连续型随机变量 X 的密度为 f(x)= − − 0 其它 1 1 2 Ax x x 求 E(X). 解：先确定常数 A．因为 f x x Ax x x A 3 2 1 ( )d ( )d 1 1 2 = = = − + − - 所以 2 3 A = E(X)= + − xf (x)dx = 3 2 )d 2 3 ( 1 1 2 − x x - x x = − 例 3：一管理员拿 10 把钥匙去试开一房门，只有 1 把钥匙能打开此房门．他 随机拿出 1 把钥匙试开，如若打不开，就把这钥匙放在一旁，再随机取出 1 把试 开，直至把房门打开为止．问平均试开几次能把房门打开． 解：设 X 为试开第 x 次打开了房门，有 X＝1，2，…，10 P(X＝1)=0.1 P(X＝2)＝ 9 10 1 9 =0.1 P(X＝10)＝ 9 10 8 9 1 2 1 =0.1 于是，能打开房门的平均次数为 E(X)＝1×0.1+2×0.1+…＋10×0.1＝ 0 1 10 1 10 2 11 2 . ( ) + =
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 b ∈[a,b 例4设x-1x)=(0x[a],求E(2-x+1) 解:由随机变量函数的期望公式 E(H2-X+1) 2)-(b+a)+ 四、课堂练习 练习1假设袋中装有12个球其中9个新球,3个旧球.从中任取1球,如果 取出的是旧球就不再放回,再任取1个球.直至取得新球为止.求在取得新球以前 取出的旧球的平均数 解:设X=(取得新球以前取得的旧球个数),显然旧球只有3个,故X= 1,2,3.旧球只有3个,X表示取得的旧球个数.因为只有3个旧球,若连续三 次都取得旧球,第四次必定终止.是否第四次终止呢?所求是终止前取得的旧球个 数的平均,设终止前取得的旧球个数为随机变量X为好.这是离散型随机变量的数 学期望问题.首先确定这个随机变量的可能取值,其次求这个随机变量的概率分布, 最后代入数学期望的计算公式 F(x) 练习2设连续型随机变量X的分布函数为 x≥0 求:E(X 解:已知随机变量的分布函数F(x),连续型随机变量的分布函数与其密度函 数的关系为f(x)=F(x),当x<0时,F(x)=0,故f(x)=0:当x)0时,f(x)=F(x)=(1 e-x)=1-(e—x)=e-x。连续型随机变量的密度函数是其分布函数的导数.已 322
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——322—— 例 4 设 X～f(x)= − 0 [ , ] [ , ] 1 x a b x a b b a ,求 E(X 2－X+1). 解:由随机变量函数的期望公式 E(X 2－X＋1)＝ x b a x x d b 1 a 2 − − + = b a x x x b a ] 3 2 [ 1 3 2 − + − = ( + ) 1 2 1 ( ) 3 1 2 2 b + ab + a − b a + 四、课堂练习 练习 1 假设袋中装有 12 个球其中 9 个新球，3 个旧球．从中任取 1 球，如果 取出的是旧球就不再放回，再任取 1 个球．直至取得新球为止．求在取得新球以前 取出的旧球的平均数． 解：设 X＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有 3 个，故 X＝ 0,1,2,3．旧球只有 3 个，X 表示取得的旧球个数．因为只有 3 个旧球，若连续三 次都取得旧球，第四次必定终止．是否第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个 数的平均，设终止前取得的旧球个数为随机变量 X 为好．这是离散型随机变量的数 学期望问题．首先确定这个随机变量的可能取值，其次求这个随机变量的概率分布， 最后代入数学期望的计算公式． 练习 2 设连续型随机变量 X 的分布函数为 − = − 1 e 0 0 0 ( ) x x F x x 求：E(X)． 解：已知随机变量的分布函数 F(x)，连续型随机变量的分布函数与其密度函 数的关系为 f(x)=F(x)，当 x<0 时，F(x)=0,故 f(x)=0；当 x〉0 时，f(x)=F(x)=(1 －e－x) =1－(e－x)=e－x。连续型随机变量的密度函数是其分布函数的导数．已
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 知连续型随机变量的分布函数求期望,首先求其密度函数,然后依据数学期望的定 义式,计算广义积分.注意其密度函数是分段函数的情况 五、课后作业 1.已知随机变量X的概率分布为:(x=R(=241:20)求E(0 2.在某城市观看足球比赛,出席观看的球迷人数如下: 当天气非常冷时,有35000人;当天气较冷时,有40000人;当天气较暖和时, 有48000人;当天气暖和时,有60000人.若上述四种天气的概率分别为 0.08,0.42,0.43,0.07,问每场比赛期望观看的球迷有多少? 3.在射击比赛中,每人射4次(每次1发),约定全都不命中得0分;只中1 发得15分;中2发得30分;中3发得55分;中4发得100分.某人每次射击的 命中率为0.5,问他期望能得多少分? 4.设随机变量X的密度函数为f(x) 其它 求X的期望值 f(x)=e(-∞<x<+∞) 5.设随机变量X的密度为 求E(X 6.对圆的直径进行测量,设测得直径值均匀地分布在区间[a,b].求圆面积的 期望值. 1.11:2.44:.35:4.3:5.0:6.12(a2+ab+b2) 323
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——323—— 知连续型随机变量的分布函数求期望，首先求其密度函数，然后依据数学期望的定 义式，计算广义积分．注意其密度函数是分段函数的情况． 五、课后作业 1.已知随机变量 X 的概率分布为： ( 2,4, ,18,20) 10 1 P(X = k) = k = 求 E(X)． 2.在某城市观看足球比赛，出席观看的球迷人数如下： 当天气非常冷时，有 35000 人；当天气较冷时，有 40000 人；当天气较暖和时， 有 48000 人；当天气暖和时，有 60000 人．若上述四种天气的概率分别为 0.08,0.42,0.43,0.07，问每场比赛期望观看的球迷有多少？ 3.在射击比赛中，每人射 4 次(每次 1 发)，约定全都不命中得 0 分；只中 1 发得 15 分；中 2 发得 30 分；中 3 发得 55 分；中 4 发得 100 分．某人每次射击的 命中率为 0.5,问他期望能得多少分？ 4.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 0 2 (0 1) 其它 x x 求 X 的期望值． 5.设随机变量 X 的密度为 e ( ) 2 1 ( ) = − + − f x x x 求 E(X)． 6.对圆的直径进行测量，设测得直径值均匀地分布在区间[a,b]．求圆面积的 期望值． 1.11；2.44440；3.35；4. 3 2 ；5.0；6. 12 (a 2+ab+b 2 )
