经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 第二单元高散型随机变量 学习目标 通过本节课的学习,记住离散型随机变量的定义以及几个常见离散型随机变 量,会计算概率分布中的常数和事件的概率 二、内容讲解 定义3.1离散型随机变量 设X是随机变量,若X可能取有限个值或可列个值,则称X为离散型随机变量 如果离散型随机变量X的可能取值为x,x2,…,x,…,称P(X=xk)pw,(k=1,2,… 为离散型随机变量X的概率分布,或分布列(律) 概率分布有两条性质 (1)p≥0(k=1,2,…); ∑p (2)p+p2+…+pk+ 常见的离散型随机变量 二点分布 随机变量X:{0,1} 概率分布为 X|01 Pk l1-p p 0p≤1,常记q=1-p 如抛掷硬币:p=1 又如射击打靶 X=1
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——294—— 第二单元 离散型随机变量 一、学习目标 通过本节课的学习，记住离散型随机变量的定义以及几个常见离散型随机变 量，会计算概率分布中的常数和事件的概率． 二、内容讲解 定义 3.1 离散型随机变量 设 X 是随机变量，若 X 可能取有限个值或可列个值，则称 X 为离散型随机变量， 如果离散型随机变量 X 的可能取值为 x1,x2,…，xk,…，称 P（X=xk）=pk,(k=1,2,…) 为离散型随机变量 X 的概率分布，或分布列（律）． 概率分布有两条性质： (1)p0 (k=1,2,…)； (2) p1+p2+…+pk+…= pk k= 1 =1 常见的离散型随机变量 1.二点分布 随机变量 X：{0,1} 概率分布为 X 0 1 P k 1－p p 0p1， 常记 q=1-p 如抛掷硬币：p=q= 2 1 又如射击打靶： X X = = 0 1, , 中靶
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 概率分布为 X|0 pk 2.二项分布 设随机变量X,取值0,1,2,…,n概率分布为 P(X=k) p(1-p)(0≤p≤1,k=0,1,2,…,n) 记作K~B(n,p) 3.泊松分布 设随机变量X,取值0,1,2,… 概率分布为 P(X=k) h!(入>0,k=0,1,2,…) 称随机变量X服从泊松分布,记作Ⅹ~π(λ) 当p较小,n较大时,取λ=p,二项分布可以用泊松分布近似 问题思考:P(X=c)=l(c是确定常数)是概率分布吗? 是.因为P(X=c)=1是概率分布(称为一点分布).把它视为特殊的随机变量,总 取值为c的随机变量.所以,它满足概率分布的两条性质: (1)P(X=c)>0; (2)P(X=c)=1 三、例题讲解 例1:某射手打靶,打中的概率为p.连续射击n次,用随机变量X表示n次 射击击中的次数.X的取值范围:{0,1,2,…,n} 若恰好k次击中,事件{X=k}的概率: P(X=k) p(1-p)k(k=0,1, 95
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——295—— 概率分布为： X 0 1 pk 1－p p 2.二项分布 设随机变量 X，取值 0,1,2,…，n 概率分布为 P（X＝k）= k n k p p k n − − (1 ) （0p1，k=0,1,2,…,n） 记作 X～B（n，p） 3.泊松分布 设随机变量 X，取值 0,1,2,… 概率分布为 P（X＝k）= − e k k ! (>0，k=0,1,2,…) 称随机变量 X 服从泊松分布，记作 X～() 当 p 较小，n 较大时，取=np，二项分布可以用泊松分布近似． 问题思考：P(X=c)=1(c 是确定常数)是概率分布吗？ 是.因为 P(X=c)=1 是概率分布(称为一点分布)．把它视为特殊的随机变量，总 取值为 c 的随机变量．所以，它满足概率分布的两条性质： (1) P(X=c)>0； (2)P(X=c)=1． 三、例题讲解 例 1：某射手打靶，打中的概率为 p．连续射击 n 次，用随机变量 X 表示 n 次 射击击中的次数． X 的取值范围：{0,1,2,…,n} 若恰好 k 次击中，事件{X＝k}的概率： P（X＝k）= k n k p p k n − − (1 ) （k=0,1,2,…,n）
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 例2:考察某问询处的电话.每小时接10次电话.用X表示1小时内接到问询 电话的次数 λ=10(次)是1小时内平均接到的电话次数,故有 P(X=12)102-0=0.0948 四、课堂练习 练习1设袋中有标号分别为-1,1,1,2,2,2的6个相同的球,从中任意取出 1个球,已知每个球被取出的可能是相同的.用X表示所取出的球的标号数,求X 的概率分布列,并求P(X>0),P(-1≤X<2) 从这6个球中任取1球,所取到的数无非是-1,1,2.可见X是离散型随机 变量.用古典概型的概率计算公式计算取各数的概率.再求那两个具体概率值.共 6个球,任一球被取到的可能性是一样的,故n=6,再计算有利于事件{X=-1}, X=1},{X=2}的数字个数,求出X的概率分布.随机变量X只能取3个值:-1,1, 2.任取1球的概率是 标口一1的球只有1个,因此随机变量三取值口-1口的概率是1 标□1口的球有2个,因此取到标数口1的概率是-+ 663 取到标有数口2口的概率是1+1+1=1.于是得到随机变量三的概率分布为 666 |-11 Pk 632 296
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——296—— 例 2：考察某问询处的电话．每小时接 10 次电话. 用 X 表示 1 小时内接到问询 电话的次数． =10（次）是 1 小时内平均接到的电话次数，故有 P（X＝k）= − e k k ! = 10 ! 10 − e k k ，k=0,1,2,… P（X＝12）= 10 12 12! 10 − e =0.0948 四、课堂练习 练习 设袋中有标号分别为－，，，，，的个相同的球，从中任意取出 个球，已知每个球被取出的可能是相同的．用 X 表示所取出的球的标号数，求 X 的概率分布列，并求 P(X>0),P(－1X<2)． 从这 6 个球中任取 1 球，所取到的数无非是－1，1，2．可见 X 是离散型随机 变量．用古典概型的概率计算公式计算取各数的概率．再求那两个具体概率值．共 6 个球，任一球被取到的可能性是一样的，故 n=6，再计算有利于事件{X=－1}， {X=1}，{X=2}的数字个数，求出 X 的概率分布．随机变量 X 只能取 3 个值：－1，1， 2．任取 1 球的概率是 6 1 ． 标－的球只有个，因此随机变量取值－的概率是 6 1 ； 标的球有个，因此取到标数的概率是 3 1 6 1 6 1 + = ； 取到标有数的概率是 2 1 6 1 6 1 6 1 + + = ．于是得到随机变量的概率分布为：
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 练习2某名牌烟市场上有15%的假烟.一顾客一年内买20条该牌香烟,求- 年内他买到假烟的概率 由所设他买到X条假烟,对1条香烟真假必具其一,且为假的概率是15%,对 于这位顾客来说.可能买到0条,或1条,或2条,,或20条假烟,也即X= 0,12,20,依二项分布的定义,所以X服从二项分布B(20,0.15) 五、课后作业 1.判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布 (2)XA 2.设随机变量Y的概率分布为P(y=k)=k=1,2,3 求P(Y=1),P(>2P(Y≤3)P(5s≤5P(√2) 3.天气记录表明,某地在11月份的30天中,平均有3天下雪,试问明年11 月份至多有3个下雪天的概率 4.某车间有12台车床,每台车床由于装卸加工零件等原因时常停车.设各台 车床停车或开车是相互独立的,每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是0.3, 求:(1)任一时刻车间内停车台数X的分布;(2)车间内有3台车床停车的概率; (3)任一时刻车间内车床全部工作的概率 5.已知随机变量X~π(λ),P(X0=04,求参数λ,并求P(X2) 1.(1)不能,(2)能 2.6266 3.0.647
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——297—— 练习 2 某名牌烟市场上有 15％的假烟．一顾客一年内买 20 条该牌香烟，求一 年内他买到假烟的概率． 由所设他买到 X 条假烟，对 1 条香烟真假必具其一，且为假的概率是 15％，对 于这位顾客来说．可能买到 0 条，或 1 条，或 2 条，…，或 20 条假烟，也即 X＝ 0,1,2,…,20，依二项分布的定义，所以 X 服从二项分布 B(20，0.15). 五、课后作业 1.判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布． (1) Xk －2 1 0 (2) Xk 1 2 3 4 Pk 2 1 10 3 5 2 pk 2 1 4 1 8 1 8 1 2. 设随机变量 Y 的概率分布为 P(Y=k)= 1,2,3 6 k = k ， 求 P(Y=1),P(Y>2),P(Y3),P(1.5Y5),P(Y> 2 )． 3.天气记录表明，某地在 11 月份的 30 天中，平均有 3 天下雪，试问明年 11 月份至多有 3 个下雪天的概率． 4. 某车间有 12 台车床，每台车床由于装卸加工零件等原因时常停车．设各台 车床停车或开车是相互独立的，每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是 0.3， 求：(1)任一时刻车间内停车台数 X 的分布；(2) 车间内有 3 台车床停车的概率； (3)任一时刻车间内车床全部工作的概率． 5. 已知随机变量 X～()，P(X=0)=0.4，求参数,并求 P(X2). 1.（1）不能，(2)能； 2. 6 5 ; 6 5 ; 1; 2 1 ; 6 1 ． 3. 0.647．
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 4(1)(4Jo.30712-k(k=01…12) 30.79=0.2397 (2) 3 (3)0.7120.0138. 5.元=ln2.=0.9168:0235 8
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——298—— 4. (1) 12 k k k k = − 0 3 0 7 0 1 12 12 . . ( , ,, ) ； (2) 12 3 0 0 7 0 2397 3 9 .3 . = . ；(3) 0.712 0.013 8． 5. = ln2.5= 0.9163; 0.233 5