经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 第八单元二维随机变量 学习目标 通过本节课的学习,知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合,是概率论 中的重要公式,要求会用它计算有关的概率问题. 二、内容讲解 1.离散型随机变量的联合分布 离散型的二维随机变量(X,Y X3 P13 y2 p2 P22 仅也可以用矩阵-Px=x,y=,称矩阵为二维离散型随机变量的联 概率分布 2.二维随机变量的联合分布函数 F(x,y)=P(K≤x,Y≤y),称Fxy)为二维随机变量(X)的联合分布函数 3.二维连续型随机变量联合密度函数 二维随机变量(X,Y),若 F(x,y) P(x, y)dydx ,称(xy)为二维随机 变量(X,Y的联合分布密度函数,或简称联合密度 联合分布密度函数0(xy)为应有性质: (1)(x,y)≥0:(2) P(x, y)dxdy 4.随机变量的独立性 随机变量的独立性是概率统计中的重要概念.在研究随机现象时经常遇到这
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——331—— 第八单元 二维随机变量 一、学习目标 通过本节课的学习，知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合，是概率论 中的重要公式，要求会用它计算有关的概率问题. 二、内容讲解 1.离散型随机变量的联合分布 离散型的二维随机变量(X,Y) Y= x1 x2 x3 y1 p11 p12 p13 y2 p21 p22 p23 也可以用矩阵 ( , ) ij i j p = P X = x Y = y ，称矩阵为二维离散型随机变量的联 合概率分布. 2.二维随机变量的联合分布函数 F(x,y)=P(Xx，Yy)，称 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数. 3.二维连续型随机变量联合密度函数 二维随机变量(X，Y)，若 − − = x y F(x, y) (x, y)dydx ，称 (x, y) 为二维随机 变量(X,Y)的联合分布密度函数，或简称联合密度． 联合分布密度函数 (x, y) 为应有性质： (1) (x, y) 0； (2) + − + − (x, y)dxdy ＝1 4.随机变量的独立性 随机变量的独立性是概率统计中的重要概念．在研究随机现象时经常遇到这 X=
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 样的随机随机变量:其中一些随机变量的取值对其余随机变量没有什么影响 若二维随机变量(X,y的联合分布密度函数为0(xy)=9(x)2(y),则有 P(X≤x,Y≤y)= P,(x), (y)dydx Lo, (x)dx[2(v)dy P(X≤x)P(Y≤y) 称随机变量X与Y相互独立的. 问题思考:二维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布是一回事吗? 答案不完全是一回事.边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的 分布,它具有一维分布的性质,但从整体来看,边缘分布在三维空间考虑,而 维分布只在平面上考虑.例如F(x)是X的分布函数,它表示X的值落在区间(一 x上的概率.若X是连续型随机变量,F(x)表示面积.如果X是二维随机变量 的一个分量,则它的分布函数F(x)表示(X,Y)的取值落在区域(-∞<K≤x, x<y<+)上的概率当Cx,是连续型时,Fx)表示某个面积. 三、例题讲解 例1设在袋中有8只球,4红,1白,3黑,从袋中不放回地随机摸4个球, 用X表示其中的红球数,Y表示其中的白球数 (1)写出(X,Y的联合概率分布.(2)求红球比白球多2的概率 解(1)显然X可能取值是0,1,2,3,4.Y的可能取值是0,1.(X,Y) 是二维离散型随机变量.于是其联合概率分布为 0 0 332
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——332—— 样的随机随机变量：其中一些随机变量的取值对其余随机变量没有什么影响． 若二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数为 ( , ) ( ) ( ) 1 2 x y = x y ，则有 P(X x,Y y) ＝ − − x y (x) (y)dydx 1 2 ＝ − − x y (x)dx (y)dy 1 2 ＝ P(X x)P(Y y) 称随机变量 X 与 Y 相互独立的. 问题思考：二维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布是一回事吗？ 答案不完全是一回事．边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的 分布，它具有一维分布的性质，但从整体来看，边缘分布在三维空间考虑，而一 维分布只在平面上考虑．例如 F(x)是 X 的分布函数，它表示 X 的值落在区间(－ ,x]上的概率．若 X 是连续型随机变量，F(x)表示面积．如果 X 是二维随机变量 的一个分量，则它的分布函数 FX(x)表示(X,Y)的取值落在区域(－<Xx，－ <Y<+)上的概率．当(X,Y)是连续型时，FX(x)表示某个面积． 三、例题讲解 例 1 设在袋中有 8 只球，4 红，1 白，3 黑，从袋中不放回地随机摸 4 个球， 用 X 表示其中的红球数，Y 表示其中的白球数. (1)写出(X,Y)的联合概率分布． (2)求红球比白球多 2 的概率. 解 (1) 显然 X 可能取值是 0，1，2，3，4．Y 的可能取值是 0，1.(X，Y) 是二维离散型随机变量．于是其联合概率分布为 X= Y= 0 1 2 3 4 0 0 70 4 70 18 70 12 70 1
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 具体计算如下;P(X=0,Y=0)=0 4C344)2 P(x=1,y=0)=C870 4×33×2 C4C3-2×12×1_18 C8×7×6×570 P(X=2,F=0) 4! C3C 4×3 C8×7×6×570 P(X=3,Y=0) C48×7×6×570 P(X=4,￥=0= P(X=0,Y=1)=70,P(X=1,F=1)=70, P(X=2,=1)=70,P(X=3,=1)=70,P(X=4,y=1)=0 (2)所求为P(X-y=2) P(X-Y=2)=P(X=2,F=0)+P(K=3,Y=1) 例2设二维随机变量(X,Y的联合密度函数为 plx, y)s 6e-j3r-2y x≥0,y≥0 其它 333
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——333—— 1 70 1 70 12 70 18 70 4 0 具体计算如下；P(X=0，Y=0)=0 P(X=1，Y=0)= 70 4 8! 4(4!) 2 4 8 3 3 1 4 = = C C C P(X=2，Y=0)= 70 18 4! 8 7 6 5 2 1 3 2 2 1 4 3 4 8 2 3 2 4 = = C C C P(X=3，Y=0)= 70 12 4! 8 7 6 5 4 3 4 8 1 3 3 4 = = C C C P(X=4，Y=0)= 70 1 4! 8 7 6 5 1 4 8 4 4 = = C C P(X=0，Y=1)= 70 1 ，P(X=1，Y=1)= 70 12 ， P(X=2，Y=1)= 70 18 ，P(X=3，Y=1)= 70 4 ，P(X=4，Y=1)=0 (2)所求为 P(X－Y＝2). P(X－Y＝2)＝P(X=2,Y=0)+P(X=3，Y=1)＝ 35 11 70 22 70 4 70 18 + = = 例 2 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 = − − 0 其它 6e 0, 0 ( , ) 3 2 x y x y x y y 1 G 0 1 x
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 求概率P(X,Y)∈G),其中G是平面区域(右图) 解:P(X,Y)∈G)=(x,y _∫4∫m6∫cdx(3yc_-3 四、课堂练习 练习1已知二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为 2|3 6 求:(1)概率值P(K<2,Y≤2) (2)随机变量X与Y的边缘概率分布 (3)概率值P(F<2),P(X1) (4)问随机变量X与Y独立吗? 分析:随机变量X只能取值1,2,而随机变量Y只能取值1,2,3.K2与 Y≤2,都包括哪些X和Y的取值 (DP(K<2,K2)=P(-∞<K(2,-∞<Y≤2) =P({-∞<K(1{X=1}<K2}, -∞<K(1}{F=1}{!K<2}U{F=2})=P({X=1},{F=1{Y=2}) =P(X=1,y=1)+P(X=1,=2=6918 334
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——334—— 求概率 P((X,Y)G)，其中 G 是平面区域(右图)． 解：P((X,Y)G)＝ x y G x y x y ( , ) ( , )d d ＝ − − + 1 0 1 0 3 2 dx 6e dy x x y ＝ − − − − x x y x y 1 0 2 1 0 3 e d ( 3) e d ＝ − − − − 1 0 1 0 3 2 3 e [e ] dx x y x ＝ − − − − 1 0 2 3 3 [e - e ]dx x x ＝ 1 0 2 3 e ] 3 1 - 3[-e− −x − x + = 2 3 1 3e 2e − − − + 四、课堂练习 练习 1 已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 6 1 9 1 18 1 2 3 1 9 2 9 1 求：(1) 概率值 P(X<2,Y2)； (2) 随机变量 X 与 Y 的边缘概率分布； (3) 概率值 P(Y<2)，P(X1)； (4) 问随机变量 X 与 Y 独立吗？ 分析：随机变量 X 只能取值 1，2，而随机变量 Y 只能取值 1，2，3．X<2 与 Y2，都包括哪些 X 和 Y 的取值． (1)P(X<2,Y2)=P(－<X<2，－<Y2) ＝P({－<X<1}{X＝1}{1<X<2}, {－<Y<1}{Y=1}{!<Y<2}{Y=2})=P({X=1},{Y=1}{Y=2}) =P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)= 18 5 9 1 6 1 + =
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 已知联合概率分布,求概率值,要弄清X,Y的取值哪些在所指定的范围内 这些联合概率分布的概率值相加.求X的边缘概率分布,是对Y的取值求和.判 断独立性用定理的充分必要条件 练习2已知二维随机变量(X,Y的联合分布密度为 f(x,y)=4 (2x+y) 0<x<10<y<2 其他 求:(1)概率值P(13,P21) (2)概率值P(0.5≤K<1.8); (3)随机变量X和Y的边缘分布密度 (4)试问随机变量X与Y独立吗? 分析:这是二维连续型随机变量求概率值的问题,根据定义式,就是求二重 积分.所有积分都是在使联合分布密度非0的区域上积分,而求X的边缘分布密度 是联合分布密度对y的积分,Y的边缘分布密度是对x的积分.判断独立性用定 理.要弄清联合分布密度在哪个区域,将概率值的式子化为二重积分. 当xy)∈DuD3时,联合分布密度fxy)=0.P(-1<K,,Y21)=P(D1∪D2UD f(x, y)drd (2x+ y)dydx P(D1)+P(D)+P(D)=P(D2) 4 ∫。[2xy+y2]dx 五、课后作业 -335
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——335—— 已知联合概率分布，求概率值，要弄清 X，Y 的取值哪些在所指定的范围内， 这些联合概率分布的概率值相加．求 X 的边缘概率分布，是对 Y 的取值求和．判 断独立性用定理的充分必要条件． 练习 2 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为 + = 0 其他 (2 ) 0 1,0 2 4 1 ( , ) x y x y f x y 求：(1)概率值 P(－1<X 10 3 ，Y1) (2)概率值 P(0.5Y<1.8)； (3)随机变量 X 和 Y 的边缘分布密度； (4)试问随机变量 X 与 Y 独立吗？ 分析：这是二维连续型随机变量求概率值的问题，根据定义式，就是求二重 积分.所有积分都是在使联合分布密度非 0 的区域上积分，而求 X 的边缘分布密度 是联合分布密度对 y 的积分，Y 的边缘分布密度是对 x 的积分．判断独立性用定 理．要弄清联合分布密度在哪个区域，将概率值的式子化为二重积分． 当(x,y)D1D3 时，联合分布密度 f(x,y)=0．P(－1<X 10 3 ，Y1)＝P(D1D2D3) ＝ P(D1)+P(D2)+P(D3) ＝ P(D2) ＝ 2 ( , )d d D f x y x y ＝ + 0.3 0 2 1 (2 )d d 4 1 x y y x ＝ + 0.3 0 2 1 2 ] d 2 1 [2 4 1 xy y x = ]d 0.135 2 3 [2 4 1 0.3 0 + = x x 五、课后作业
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 1.设二维离散型随机变量(X,Y的联合概率分布如下 0|0.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004 00.0990.0640.0400.0310.0200.006 00.0310.0250.080.0130.008 00.0010.0020.0040.11 求X和Y的边缘概率分布,并判断X与Y是否独立 2如二维随机变量(X,Y在矩形区域D={(x,y)|a<x<b,cy<d内服从均匀分 布,试求其联合分布密度和各自的边缘分布密度,并问X与Y相互独立吗? 3.设二维随机变量(X,Y的联合分布密度为 P(x,y) Asin(x+y) 0<x<-,0 2 其他 求(1)系数A;(2)X,Y的边缘分布密度 4.已知随机变量X与Y相互独立,并且它们的密度函数分别为 Px(r) e2(-∞<x<+∞) Pr ()=ye y≥0 求(X,Y)的联合分布密度和概率值P(-2<K<2,5,-3<Y≤5) -336
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——336—— 1. 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下： X 0 1 2 3 4 5 6 0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 3 0 0 0 0.001 0.002 0.004 0.11 求 X 和 Y 的边缘概率分布，并判断 X 与 Y 是否独立． 2.如二维随机变量(X,Y)在矩形区域 D={(x,y)a<x<b,c<y<d}内服从均匀分 布，试求其联合分布密度和各自的边缘分布密度，并问 X 与 Y 相互独立吗？ 3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为 + = 0 其他 2 ,0 2 sin( ) 0 ( , ) A x y x y p x y 求(1) 系数 A；(2)X,Y 的边缘分布密度． 4.已知随机变量 X 与 Y 相互独立，并且它们的密度函数分别为 e ( ) 2 1 ( ) 2 2 = − + − x x x X = − 0 0 ( ) ye 0 2 2 y y y y Y 求(X,Y)的联合分布密度和概率值 P(－2<X<2,5，－3<Y5)． Y
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 5.一台机器制造直径为X的圆轴,另一台机器制造内径为Y的轴衬.设(X,Y 的联合分布密度为 25000.49<x<0.51,0.51<y<0.53 f(r,y) 其他 轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.036时两者可以适衬.求任 一轴与任一轴衬适衬的概率 0.627 0.260 0.0950.018 0.2020.2730.2080.1280.1000.0600.029 X与Y不独立 ≤d P(x,y)=(b-a)(d-c) 0 其他 a≤x<b c≤y≤d Prc P2(y)={d-c 其他 其他 X与Y独立 (cosx+snx)0≤x Px(x)=12 3.(1)A=2 其他 (cos y+sin y) 0<x P(y)=2 其他 337
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——337—— 5. 一台机器制造直径为 X 的圆轴，另一台机器制造内径为 Y 的轴衬．设(X,Y) 的联合分布密度为 = 0 其他 2 500 0.49 0.51,0.51 0.53 ( , ) x y f x y 轴衬的内径与轴的直径之差大于 0.004 且小于 0.036 时两者可以适衬．求任 一轴与任一轴衬适衬的概率． 1. X 0 1 2 3 PX 0.627 0.260 0.095 0.018 Y 0 1 2 3 4 5 6 PY 0.202 0.273 0.208 0.128 0.100 0.060 0.029 X 与 Y 不独立． 2. = − − 0 其他 , ( )( ) 1 ( , ) a x b c y d p x y b a d c = − 0 其他 1 ( ) a x b pX x b a ; = − 0 其他 1 ( ) c y d pY y d c X 与 Y 独立． 3.(1)A= 2 1 ；(2) + = 0 其他 2 (cos sin ) 0 2 1 ( ) x x x p x X ； + = 0 其他 2 (cos sin ) 0 2 1 ( ) y y x p y Y
经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 ∞0 其他 338
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——338—— 4. − + = + − 0 其他 e , 0 ( , ) 2 2 2 2 x y y x y x y ； 5. 0.96．