《经济数学基础》课程教学资源：第九章 随机事件与概率（9.7）方差

经济数学基础 第9章随机事件与概率 第七单元方差 学习目标 通过本节课的学习,认识方差是随机变量取值的离散程度的反映.学会方差的 定义及其性质,会进行方差的计算 内容讲解 1.定义3.5方差 如果随机变量X的概率分布为P(X=x)=pk ∑(x4-E(X)2p 则称和数D()= 为X的方差,记为D(X 若连续型随机变量X的概率密度为∫x),则D() (x-e(X)f(x)dx 统一为:D(X=E(X-E(X)2=E(X2)-(E(X))2 以连续型随机变量为例,推导上公式 D(X) (x-E(r) f(x) x f(x) dx-2E(X)I xf(x)dr E(x f(x)dx E(X)-2ECXECX+E(X =E()-E() D(x)称为随机变量X的标淮准差 2.常见分布的方差 (1)X服从二点分布 D(1=E(X)-E(1)=12×p+02×(1-p)-p=p(1-p) 324

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——324—— 第七单元 方差 一、学习目标 通过本节课的学习，认识方差是随机变量取值的离散程度的反映．学会方差的 定义及其性质，会进行方差的计算． 二、内容讲解 1.定义 3.5 方差 如果随机变量 X 的概率分布为 P(X＝xk)=pk 则称和数 D(X)= k k k  (x − E(X)) p 2 为 X 的方差，记为 D(X)； 若连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则 D(X)= (x − (X)) f (x) x − +  E d 2 统一为： D(X)＝E(X－E(X))2＝E(X 2 )－(E(X))2 以连续型随机变量为例，推导上公式． D(X)＝  + − (x − E(X)) f (x)dx 2 ＝   + − + − x f (x)dx − 2E(X) xf (x)dx 2 +  + − E (X) f (x)dx 2 ＝E(X 2 )－2E(X)E(X)+E 2 (X) ＝E(X 2 )－E 2 (X) D(X ) 称为随机变量 X 的标准差． 2.常见分布的方差 (1)X 服从二点分布 X 1 0 pk p 1－p D(X)＝E(X 2 )－E 2 (X)＝1 2×p+02×(1－p)－p 2＝p(1－p)

经济数学基础 第9章随机事件与概率 (2)X服从均匀分布 la,b gLa, b 已知E(X=2,D(X=E(X)-E() dx a+b b (b-a)2 (3)X服从正态分布N(凸d2) D()=E(X-E(X))2 (-2y 2[- dr] 2丌 3常见分布的期望与方差 (1)二点分布:E(HP,D(X=p(1-p (2)均匀分布:E(X)=2,D(M)=12 (3)正态分布N(d):E(X)=4,D(X)=2 325

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——325—— ＝pq(q＝1－p) （2）X 服从均匀分布 X～f(x)=        − 0 [ , ] [ , ] 1 x a b x a b b a 已知 E(X)＝ 2 a + b ，D(X)=E(X 2 )－E 2 (X) =  − b a b a x dx 2 －( 2 a + b ) 2 = b a b a x − 3 3 1 －( 2 a + b ) 2 = 12 ( ) 2 b − a （3）X 服从正态分布 N（, 2） D(X)=E(X－E(X))2 =  + − − − x − x x e d 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) 2      = − = − +  x t t t     2 2 2 2 e d - t 2 = e d ] 2 1 e 2 [ 2 2 2 2 2  + − − + − − − + t t t t    = 2 3.常见分布的期望与方差 （１）二点分布：E(X)=p，D(X)=p(1－p) （２）均匀分布：E(X)= 2 b + a ，D(X)= 12 ( ) 2 b − a （３）正态分布 N(, 2 )：E(X)=，D(X)= 2

经济数学基础 第9章随机事件与概率 (4)标准正态分布N(0,1):E(X=0,D(x)=1 (5)二项分布B(np):E(X)=np,D(X)=np(1-p) (6)泊松分布x():E(X=,D(Y)= 问题思考1:方差的公式写成D(Y)=E[X-E(x)2,对吗? 答案不对.式中的x是普通变量,因此E(x)=x,它不是随机变量X的期望.所 以公式D(X)=E[X一E(x)]2是错误的 问题思考2:随机变量X的方差D(X可以为0吗?可以为负数吗? 答案随机变量的方差可以为0.不能为负数.对于特殊的随机变量X,它只 取一个值X=c(常数),于是E(X=c,D(h=[X-E(x]=[c-c]2=0.或解释为随 机变量κ取值非常集中(只取一个值),没有偏差,所以随机变量X的方差为0.从 方差的定义,它是平方数乘以非负函数(或数)积分(或求和)必定是非负数.从方 差的意义解释:方差是偏差的平方,平方数必是大于或等于0的数 三、例题讲解 例1有10000人参加某保险公司的人寿保险,每人每年付100元的保险 费.而在1年内,1个人死亡的概率是0006.死亡时,其家属可以获赔偿费10000 元,试计算(1)保险公司赔本的概率;(2)保险公司在1年内利润不少于30万元 的概率 解:假设10000人中1年内有X个人死亡,则X~B(10000,0.006) E(X)=np=60 D(X=mp(1-p)=5964 (1)所求为P(X>100) 因为n较大,p又较小, ∴近似有X~N(60,59.64),于是, 6

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——326—— （４）标准正态分布 N(0,1)：E(X)=0，D(X)=1 （５）二项分布 B(n,p)：E(X)=np ，D(X)=np(1－p) （６）泊松分布()：E(X)= ，D(X)= 问题思考 1:方差的公式写成 D(X)=E[X－E(x)]2，对吗？ 答案不对．式中的 x 是普通变量，因此 E(x)＝x，它不是随机变量 X 的期望．所 以公式 D(X)=E[X－E(x)]2是错误的． 问题思考 2:随机变量 X 的方差 D(X)可以为 0 吗？可以为负数吗？ 答案随机变量的方差可以为 0．不能为负数．对于特殊的随机变量 X，它只 取一个值 X＝c(常数)，于是 E(X)=c，D(X)=[X－E(X)]2 =[c－c] 2 =0．或解释为随 机变量 X 取值非常集中(只取一个值)，没有偏差，所以随机变量 X 的方差为 0．从 方差的定义，它是平方数乘以非负函数(或数)积分(或求和)必定是非负数．从方 差的意义解释：方差是偏差的平方，平方数必是大于或等于 0 的数． 三、例题讲解 例 1 有 10000 人参加某保险公司的人寿保险，每人每年付 100 元的保险 费．而在 1 年内，1 个人死亡的概率是 0.006．死亡时，其家属可以获赔偿费 10000 元．试计算 (1)保险公司赔本的概率；(2)保险公司在 1 年内利润不少于 30 万元 的概率. 解：假设 10000 人中 1 年内有 X 个人死亡，则 X～B（10 000，0.006） E(X)＝np＝60 D(X)＝np(1－p)=59.64 (1) 所求为 P（X>100）． 因为 n 较大，p 又较小， 近似有 X～N（60，59.64），于是

经济数学基础 第9章随机事件与概率 P(X100)=1-P(K100 X-60100-60 5964√5964=1-5,18)≈0 可见,保险公司基本不会亏本 (2)获利30万元,即公司赔偿70万元,则死亡人数达到70人,故所求为 P(0<K≤70) P(0<K70)=P(√59.64√59.64√59.64) -7.769< ≤1.295 P( =d(1.30)-④(-7.769) 即获利30万元的概率是90.32% l≤x<2 例2设随机变量x的密度函数为(x)=(0其他 试求随机变量 的方差D( 解:用方差的定义式,D()=E[x-E f(xdx E(1)= D(Y=E[X-1]2= (x-D)f(x)ax Joax-12xdx+5(x-12(2-x)dx (x2-2x+1「(-x2+4x2-5x+2t1 -327

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——327—— P（X>100）＝1－P(X100) ＝1－ ) 59.64 100 60 59.64 60 ( −  X − P ＝1－(5.18)0 可见，保险公司基本不会亏本． (2)获利 30 万元，即公司赔偿 70 万元，则死亡人数达到 70 人，故所求为 P(0<X70)． P(0<X70)=P( 0 60 59 64 60 59 64 70 60 59 64 −  −  − . . . X ) =P( −  − 7 769  60 59 64 . 1.295 . X ) =(1.30)－(－7.769) =0.9032 即获利 30 万元的概率是 90.32%． 例 2 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)=      −     0 其他 2 1 2 0 1 x x x x ，试求随机变量 X 的方差 D(X)． 解：用方差的定义式．D(X)＝E[X－E(X)]2 E(X)＝  + − xf(x)dx ＝  1 0 xxdx +  − 2 1 x(2 x)dx ＝1 D(X)=E[X－1]2＝  + − (x −1) f (x)dx 2 =   − + − − 2 1 2 1 0 2 (x 1) xdx (x 1) (2 x)dx =  − + 1 0 2 (x 2x 1)dx +  − + − + 2 1 3 2 ( x 4x 5x 2)dx ＝ 6 1

经济数学基础 第9章随机事件与概率 例3如果离散型随机变量X的概率分布为 X 1|0 1-21-6 6 试求随机变量X的方差D( 解:用方差的计算公式,D(X=E(2)-(E(X)2 (-1)×÷+0×+×+1×+2×= E()= 由X分布,得到Z=X2的分布 1-416 152 6 4 注意.P2z=1)=P(x2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=3+1212 所以D(X)=E(X2)-[E(]2=6 四、课堂练习 练习1假设袋中装有12个球其中9个新球,3个旧球.从中任取1球,如 果取出的是旧球不再放回,再任取1个球.直至取得新球为止.求在取得新球以 前取出的旧球的个数的方差 分析:因为只有3个旧球,若连续三次都取得旧球,第四次必定终止.是否 第四次终止呢?所求是终止前取得的旧球个数的方差,设终止前取得的旧球个数 为随机变量ⅹ为好.这是离散型随机变量的方差问题.首先确定这个随机变量的 可能取值,其次求这个随机变量的概率分布,然后求期望值,最后计算方差. -328

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——328—— 例 3 如果离散型随机变量 X 的概率分布为 X －1 0 2 1 1 2 pk 3 1 6 1 6 1 12 1 4 1 试求随机变量 X 的方差 D(X)． 解:用方差的计算公式．D(X)=E(X 2 )－(E(X))2 E(X)= 3 1 4 1 2 12 1 1 6 1 2 1 6 1 0 3 1 (−1)  +  +  +  +  = 由 X 分布，得到 Z＝X 2 的分布： Z＝X 2 0 4 1 1 4 pk 6 1 6 1 12 5 4 1 注意： 12 5 12 1 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 P Z = = P X = = P X = − + P X = = + = 所以 D(X)=E(X 2 )－[E(X)]2 = 2 ) 3 1 ( 4 1 4 12 5 1 6 1 4 1 6 1 0 +  +  +  − = 72 97 四、课堂练习 练习 1 假设袋中装有 12 个球其中 9 个新球，3 个旧球．从中任取 1 球，如 果取出的是旧球不再放回，再任取 1 个球．直至取得新球为止．求在取得新球以 前取出的旧球的个数的方差． 分析：因为只有 3 个旧球，若连续三次都取得旧球，第四次必定终止．是否 第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个数的方差，设终止前取得的旧球个数 为随机变量 X 为好．这是离散型随机变量的方差问题．首先确定这个随机变量的 可能取值，其次求这个随机变量的概率分布，然后求期望值，最后计算方差．

经济数学基础 第9章随机事件与概率 提示:X表示在取得新球之前所取得的旧球个数, 解:设=(取得新球以前取得的旧球个数),显然旧球只有3个,故上=0,1,2,3. 练习2设连续型随机变量X的密度函数为 0<x<1 fx 其它 且已知E(X)=,求a与b的值,并计算随机变量X的方差D() 分析:题设给出了密度函数,但是含有两个未知参数a,b,为确定这两个未 知参数,就需找出两个等式.密度函数性质和已知期望值正是两个条件.密度函 数一旦确定,方差就容易计算 解:由密度函数的性质,以及随机变量X的期望E(X),得到一组联立方程 a+bx2≥0 Ixa+bx )dr= 为确定两个参数,由密度函数的性质,右 1和已知 xf(x)d E(XF 将所给密度函数fx)=a+bx2(xf(0,1)代入以上两个等式,得到 (a+ bx )dx=l x(a+bx) dx5 五、课后作业 1.已知随机变量X的概率分布为: P(X=)=10(k=24.1820 9

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——329—— 提示：X 表示在取得新球之前所取得的旧球个数， 解：设 X＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有 3 个，故 X＝0,1,2,3． 练习 2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)=     +   其它 0 0 1 2 a bx x 且已知 E(X)= 5 3 ，求 a 与 b 的值，并计算随机变量 X 的方差 D(X)． 分析：题设给出了密度函数，但是含有两个未知参数 a,b，为确定这两个未 知参数，就需找出两个等式．密度函数性质和已知期望值正是两个条件．密度函 数一旦确定，方差就容易计算． 解：由密度函数的性质，以及随机变量 X 的期望 E(X),得到一组联立方程      + = +   5 3 ( )d 0 1 0 2 2 x a bx x a bx 为确定两个参数，由密度函数的性质，有  + − f (x)dx ＝1 和已知 E(X)=  + − = 5 3 xf (x)dx 将所给密度函数 f(x)＝a+bx2(xÎ(0,1)),代入以上两个等式，得到        + = + =   5 3 ( )d ( )d 1 1 0 2 1 0 2 x a bx x a bx x 五、课后作业 1.已知随机变量 X 的概率分布为： ( 2,4, ,18,20) 10 1 P(X = k) = k = 

经济数学基础 第9章随机事件与概率 求随机变量X的方差D(X). 2.已知每次射击的命中率为0.6,如果进行10次射击,用X表示命中的次数 求E(Y),D(X) 3.在相同的条件下,用两种方法测量某零件的长度(单位:mm),由大量测量 结果得到分布列如下: 长度(m)4.84.95.05.15.2 0.10.10.60.10.1 0.20.20.20.20. 其中p,D分别表示第一,二种方法的概率,试比较哪种方法的精确度较好 4.设随机变量X的密度为 p(x)={1 0<x≤1 其它 第一种. 330—

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——330—— 求随机变量 X 的方差 D(X)． 2.已知每次射击的命中率为 0.6,如果进行 10 次射击，用 X 表示命中的次数， 求 E(X),D(X)． 3.在相同的条件下，用两种方法测量某零件的长度(单位：mm)，由大量测量 结果得到分布列如下： 长度(mm) 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 p1 0.1 0.1 0.6 0.1 0.1 p2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 其中 p1,p2分别表示第一，二种方法的概率，试比较哪种方法的精确度较好． 4. 设随机变量 X 的密度为      −   + −   = 0 1 0 1 1 1 0 ( ) x x x x p x 1. 33． 2. 6，2.4． 3. 第一种． 4. 1 6．