经济数学基础 第9章随机事件与概率 第四单元古典概型与概率性质 学习目标 通过本节课的学习,会计算简单的古典概型的概率问题.掌握概率的性质,为概 率的计算打下基础 二、内容讲解 1.古典概型: 抛一枚均匀硬币,落地后正反两个面都有可能朝上,且朝上的机会均等同理 若盒中有1个白球,9个红球,从中任取1球是白球,这一事件的概率是这是因 为盒中有10个球,每个球被取到的机会是均等的,白球只占,所以取到白球的概 率是这是一种将比例与概率对应起来的思考方法.这种用“等可能的条件”计算 概率的例子很多,而且其中等可能性发生的事件只有有限个,每次试验只有一个事 件发生.这种计算概率的模型,就是古典概型,计算公式为 如果试验只有n个等可能结果,且每次试验只有一种等可能结果发生,其中导致 事件A出现的结果有k个,则事件A发生的概率为 P(A A包含的等可能结果数kk 等可能结果的总数nn 可见,对于古典概型,只要弄清楚等可能结果总数和导致事件A出现的结果数, 便可以求得事件A的概率.这样就将求概率的问题转化成计数问题 归纳古典概型为 (1)一个随机试验,只能有有限个基本事件(有限性); (2)每个基本事件发生的可能性(概率)相等(等概性)
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——256—— 第四单元 古典概型与概率性质 一、学习目标 通过本节课的学习，会计算简单的古典概型的概率问题. 掌握概率的性质，为概 率的计算打下基础. 二、内容讲解 1.古典概型： 抛一枚均匀硬币，落地后正反两个面都有可能朝上，且朝上的机会均等.同理， 若盒中有 1 个白球，9 个红球，从中任取 1 球是白球，这一事件的概率是 10 1 .这是因 为盒中有 10 个球，每个球被取到的机会是均等的，白球只占 10 1 ，所以取到白球的概 率是 10 1 .这是一种将比例与概率对应起来的思考方法. 这种用“等可能的条件”计算 概率的例子很多，而且其中等可能性发生的事件只有有限个，每次试验只有一个事 件发生. 这种计算概率的模型，就是古典概型，计算公式为： 如果试验只有 n 个等可能结果，且每次试验只有一种等可能结果发生，其中导致 事件 A 出现的结果有 k 个，则事件 A 发生的概率为 n k n A k P A = = 等可能结果的总数 包含的等可能结果数 ( ) 可见，对于古典概型，只要弄清楚等可能结果总数和导致事件 A 出现的结果数， 便可以求得事件 A 的概率.这样就将求概率的问题转化成计数问题. 归纳古典概型为： (1) 一个随机试验，只能有有限个基本事件(有限性)； (2) 每个基本事件发生的可能性(概率)相等(等概性)
经济数学基础 第9章随机事件与概率 计算古典概型的概率问题,要做到: (1)首先弄清楚一个试验有多少个基本事件,即n等于多少 (2)考察事件A所包含的基本事件个数,即k等于多少 (3)将n和k代入公式 P(A A包含的等可能结果数kk 等可能结果的总数nn 2.概率具有下列性质: 性质3 如果事件A,B,满足AcB,那么有P(4)sP(B),P(B-4)=P(B)-F( 事件B包含事件A,即AB,事件A发生,必有事件B发生,而事件B发生, 不一定有事件A发生,因而事件A发生的概率不可能超过事件B发生的概率 即P(A)≤P(B) 用文氏图说明,AcB如图将必然事件U的面积记作1, 有P(A)=4的面积,P(B)=B的面积 A的面积不可能超过B的面积,即P(A)≤P(B) 事件B-A是事件B发生而事件A不发生,B-A正是图中阴影的面积,也正是 图中B的面积减去A的面积,即P(B-4)=P(B)-P(A) 问题思考1:抛两枚均称的硬币,出现正面向上记作H,求出现一个H的概率 有人计算如下:{不出,{出一个,{出两个共三个基本事件,于是P(出现 个H)=,这个计算对吗? 257
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——257—— 计算古典概型的概率问题，要做到： (1) 首先弄清楚一个试验有多少个基本事件，即 n 等于多少； (2)考察事件 A 所包含的基本事件个数，即 k 等于多少； (3)将 n 和 k 代入公式 n k n A k P A = = 等可能结果的总数 包含的等可能结果数 ( ) 2.概率具有下列性质： 性质 3 如果事件 A,B，满足 AB，那么有 P(A) P(B)， P(B − A) = P(B) − P(A) 事件 B 包含事件 A，即 AB，事件 A 发生，必有事件 B 发生，而事件 B 发生， 不一定有事件 A 发生，因而事件 A 发生的概率不可能超过事件 B 发生的概率. 即 P(A)P(B) 用文氏图说明，AB 如图.将必然事件 U 的面积记作 1， 有 P(A)=A 的面积，P(B)＝B 的面积 A 的面积不可能超过 B 的面积，即 P(A)P(B) 事件 B－A 是事件 B 发生而事件 A 不发生，B－A 正是图中阴影的面积，也正是 图中 B 的面积减去 A 的面积，即 P(B－A)=P(B)－P(A) 问题思考 1：抛两枚均称的硬币，出现正面向上记作 H，求出现一个 H 的概率. 有人计算如下：{不出 H}，{出一个 H}，{出两个 H}共三个基本事件，于是 P(出现 一个 H)= 3 1 ，这个计算对吗？
经济数学基础 第9章随机事件与概率 答案不对.若记出现反面为T,则抛两枚硬币,有四个基本事件:{HH,{H,{TH和{TT, 所以出现一个H的事件包含两个基本事件,正确结果为P(出现一个HD= 问题思考2:若P(A)=0,则有一定有A=? 不对例如,作文氏图说明概率时,常用图的面积表示概率.假如事件A与B的公共部分是 一线段,那么P(AB)=0,但是AB=⑧ 例题讲解 例1从分别写有1,2,…,9的9张纸片中,任意抽出1张.问 (1)抽到奇数号纸片的概率是多少? (2)抽出纸片上的数小于4的概率是多少? 解:(1)设A={取到奇数纸片} 从9张纸片中任取1张,因为9张纸片中任何1张被取到的机会是一样的,因此, 等可能结果的总数是n=9. 取到奇数号纸片,即取写有1,3,5,7,9的纸片,共有5张,即导致事件A P( k 5 发生,也即事件A包含的等可能结果数k=5.于是,所求为 (2)设B={抽出纸片上的数小于4} 因为小于4的数只有1,2,3,导致事件B发生的等可能结果数有k=3,所求 P(B)=-=== 例2从分别写有1,2,…,9的9张纸片中,不放回地先后抽出2张纸片,记 C-2张纸片的数字组成25的事件,D2张纸片的数字组成奇数的事件,求P(C), P(D). 解:从9张纸片中任取2张,组成两位数,两个数字不会重复,因此是一个不重 复的排列问题.等可能的结果的总数是:n=9×8=72 258
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——258—— 答案不对. 若记出现反面为 T，则抛两枚硬币，有四个基本事件：{HH}，{HT}，{TH}和{TT}， 所以出现一个 H 的事件包含两个基本事件，正确结果为 P(出现一个 H)= 2 1 问题思考 2：若 P(A)=0,则有一定有 A=? 不对.例如，作文氏图说明概率时，常用图的面积表示概率. 假如事件 A 与 B 的公共部分是 一线段，那么 P(AB)=0，但是 AB 三、例题讲解 例 1 从分别写有 1，2，…，9 的 9 张纸片中，任意抽出 1 张.问： （1）抽到奇数号纸片的概率是多少？ （2）抽出纸片上的数小于 4 的概率是多少？ 解：(1)设 A＝{取到奇数纸片} 从 9 张纸片中任取 1 张，因为 9 张纸片中任何 1 张被取到的机会是一样的，因此， 等可能结果的总数是 n＝9. 取到奇数号纸片，即取写有 1，3，5，7，9 的纸片，共有 5 张，即导致事件 A 发生，也即事件 A 包含的等可能结果数 k=5.于是，所求为 9 5 ( ) = = n k P A (2)设 B＝{抽出纸片上的数小于 4} 因为小于 4 的数只有 1，2，3，导致事件 B 发生的等可能结果数有 k=3，所求 3 1 9 3 ( ) = = = n k P B 例 2 从分别写有 1，2，…，9 的 9 张纸片中，不放回地先后抽出 2 张纸片，记 C⎯2 张纸片的数字组成 25 的事件，D⎯2 张纸片的数字组成奇数的事件，求 P(C)， P(D). 解：从 9 张纸片中任取 2 张，组成两位数，两个数字不会重复，因此是一个不重 复的排列问题. 等可能的结果的总数是:n=9×8＝72
经济数学基础 第9章随机事件与概率 (不重复的2元排列,也可视为个位从9张纸片中任取,有9种可能,于是,十 位就只能从剩余8个数中任取,有8种可能,有:n=9×8) 所取之数是25,即十位是2,只有1种可能,而个位取5也只有1种可能 即k=1×1=1 所求 P(C)=29x872 两个数字组成奇数,显然个位是奇数,而十位数可任意,于是个位数从5个奇数 中取一,有5个可能,十位数可从8(4个奇数,4个偶数)个数中取一.于是组成奇数 的个数是k=5×8.所求(0)k5×8405 9×8 四、课堂练习 练习1某车间在二月份生产了44台合格冰箱,6台不合格冰箱,若对其进行质 量检査,随机抽取3台进行检验,求所抽取的3台冰箱全不合格的概率 这是从50个元素中取3,可视为每次取一个元素,连续取3次的一个问题.这是古典概率 问题.关键是计算出n和k.n为总的等可能基本事件有多少.50取3,可视为每次取1,连续地 取3次.冰箱总台数为44+6=50,一次随机地从中取出3台,可视为不放回地每次取出一台, 连续取3次.于是,n=50×49×48 练习2从一副扑克牌中抽取4张牌,用A表示四张牌中全是2,B表示四张牌中 至少有两张2,试分析事件A与B的概率关系 这两个事件显然不是相等的,弄清楚“至少”与“全是”的关系,才能进一步分析概率关系 因为B表示四张牌中至少有两张2,,即B包含两张2,或三张2,或四张2,而A是四张牌 中全是2,可知BA.也即A发生了,则B必定会发生 五、课后作业 259
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——259—— ( 不重复的 2 元排列，也可视为个位从 9 张纸片中任取，有 9 种可能，于是，十 位就只能从剩余 8 个数中任取，有 8 种可能，有:n=9×8). 所取之数是 25，即十位是 2，只有 1 种可能，而个位取 5 也只有 1 种可能， 即 k=1×1＝1 所求 72 1 9 8 1 ( ) = = = n k P C 两个数字组成奇数，显然个位是奇数，而十位数可任意，于是个位数从 5 个奇数 中取一，有 5 个可能，十位数可从 8(4 个奇数，4 个偶数)个数中取一.于是组成奇数 的个数是 k=5×8.所求 9 5 72 40 9 8 5 8 ( ) = = = = n k P D 四、课堂练习 练习 1 某车间在二月份生产了 44 台合格冰箱，6 台不合格冰箱，若对其进行质 量检查，随机抽取 3 台进行检验，求所抽取的 3 台冰箱全不合格的概率. 这是从 50 个元素中取 3，可视为每次取一个元素，连续取 3 次的一个问题. 这是古典概率 问题.关键是计算出 n 和 k. n 为总的等可能基本事件有多少. 50 取 3，可视为每次取 1，连续地 取 3 次. 冰箱总台数为 44＋6＝50，一次随机地从中取出 3 台，可视为不放回地每次取出一台， 连续取 3 次. 于是，n＝50×49×48. 练习 2 从一副扑克牌中抽取 4 张牌，用 A 表示四张牌中全是 2，B 表示四张牌中 至少有两张 2，试分析事件 A 与 B 的概率关系. 这两个事件显然不是相等的，弄清楚“至少”与“全是”的关系，才能进一步分析概率关系. 因为 B 表示四张牌中至少有两张 2，，即 B 包含两张 2，或三张 2，或四张 2，而 A 是四张牌 中全是 2，可知 B A. 也即 A 发生了，则 B 必定会发生. 五、课后作业
经济数学基础 第9章随机事件与概率 1.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数中任取一个,求这个数能被2或者 3除尽的概率. 2.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中任意取出两个,求两数的和等 于3的概率. 3.从5个球(其中3个红球,2个黄球)中任取2球,求 (1)2球都是红球的概率 2)2球都是黄球的概率; (3)恰有黄球、红球各1个的概率 假设有10个人,分别佩戴从1~10号的徽章,从这10个人中任选3名,求所 戴徽章最大号码为5的概率 5.一批产品中有合格品和不合格品,合格品中有 三等产品.从这批产品 中任取一件,是一等品时记作A,是合格品记作B,试分析事件A和B的概率关系 0.05 (1);(2);(3) 1.3;2.45;3. 3 AcB 260—
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——260—— 1. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数中任取一个，求这个数能被 2 或者 3 除尽的概率. 2. 从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个数中任意取出两个，求两数的和等 于 3 的概率. 3. 从 5 个球(其中 3 个红球，2 个黄球)中任取 2 球，求 (1) 2 球都是红球的概率； (2) 2 球都是黄球的概率； (3)恰有黄球、红球各 1 个的概率. 4.假设有 10 个人，分别佩戴从 1～10 号的徽章，从这 10 个人中任选 3 名，求所 戴徽章最大号码为 5 的概率. 5.一批产品中有合格品和不合格品，合格品中有一、二、三等产品.从这批产品 中任取一件，是一等品时记作 A，是合格品记作 B，试分析事件 A 和 B 的概率关系. 1. 3 2 ；2. 45 2 ；3. 5 3 ; (3) 10 1 ; (2) 10 3 (1) ； 4. 0.05 3 10 2 4 = ；5. A B