《经济数学基础》课程教学资源：第九章 随机事件与概率（9.6）条件概率与乘法公式

经济数学基础 第9章随机事件与概率 第六单元亲件概率与乘法公式 学习目标 通过本节课的学习,领会条件概率的意义,并会用公式表示出来,学会用乘法 公式求积事件的概率问题 内容讲解 条件概率与乘法公式 先给出一个例子 例:一周的天气情况如下 周日旧 顸报晴“”雨 四雨雨 设A表示预报有雨的事件,B表示实际下雨的事件有 P(4)=4,P(B)=3,PAB)=2 P(在预报有雨的条件下,实际也下雨) 就是事件A已经发生的前提下,事件B发生的概率 P(BlA) P(AB) P(A) 一般地,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,记为P(B|A),称为 事件B对A的条件概率 265

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——265—— 第六单元 条件概率与乘法公式 一、学习目标 通过本节课的学习，领会条件概率的意义，并会用公式表示出来，学会用乘法 公式求积事件的概率问题. 二、内容讲解 条件概率与乘法公式 先给出一个例子. 例：一周的天气情况如下： 周日 日 一 二 三 四 五 六 预报 晴 阴 雨 雨 雨 晴 雨 实际 晴 雨 阴 雨 雨 晴 晴 设 A 表示预报有雨的事件，B 表示实际下雨的事件有 7 2 , ( ) 7 3 , ( ) 7 4 P(A) = P B = P AB = . P（在预报有雨的条件下，实际也下雨）＝ 4 2 P（BA）= 2 1 4 2 = 就是事件 A 已经发生的前提下，事件 B 发生的概率. P（BA）= ( ) ( ) 7 4 7 2 P A P AB = 一般地，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，记为 P（BA）,称为 事件 B 对 A 的条件概率

经济数学基础 第9章随机事件与概率 有公式P(B|A)=P(4B)(P40) P(A) P(AB)=P(BLA)P(A)(P(A)#0) P(A|B)P(B)(P(B)≠0) 称为概率乘法公式 问题思考:若AcB,计算P(AB),P(A|B),PB|A) 答案只要B≠8,因为AB,则AB=A,所以P(AB)=P(A) P( P(AB) P(A) 根据条件概率的计算公式 P(B) P(B) 当事件A≠O时,因为AcB,于是事件A发生,那么事件B一定发生, 则有P(BA)=1 P(BA)=P(AB)_P(A) 或根据条件概率的计算公式 P(A) P(A) 、例题讲解 例1一周的天气情况如下: [周日 预报晴阴雨雨 实际晴雨上阴雨 求预报下雨的条件下,而实际也下雨的概率 解:设A表示预报有雨的事件,B表示实际下雨的事件有 4 P(4)=7,P(B)=7,P(B)=7 P(在预报有雨的条件下,实际也下雨) 266

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——266—— 有公式 P（BA）= ( ) ( ) P A P AB (P(A)0) P(AB)＝P(BA)P(A)（P(A)0） ＝P(AB)P(B)（P(B)0） 称为概率乘法公式. 问题思考：若 AB，计算 P(AB)，P(AB)，P(BA). 答案只要 B，因为 AÌB，则 AB＝A，所以 P(AB)=P(A) 根据条件概率的计算公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B P A P B P AB P A B = = 当事件 A时，因为 AB，于是事件 A 发生，那么事件 B 一定发生， 则有 P(BA)＝1 或根据条件概率的计算公式 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = P A P A P A P AB P B A 三、例题讲解 例 1 一周的天气情况如下： 周日 日 一 二 三 四 五 六 预报 晴 阴 雨 雨 雨 晴 雨 实际 晴 雨 阴 雨 雨 晴 请 求预报下雨的条件下，而实际也下雨的概率. 解：设 A 表示预报有雨的事件，B 表示实际下雨的事件有 P(A)= 7 4 ，P(B)＝ 7 3 ，P(AB)= 7 2 . P（在预报有雨的条件下，实际也下雨）

经济数学基础 第9章随机事件与概率 P(AB)7 P 即为P(B|A) 7=42 所以,已知预报下雨情况下,实际下雨的概率为05. 例2已知某射手连续打2枪,2枪中靶的概率为0.5,第1枪不中耙的概率是 0.3,第2枪不中靶的概率是0.4,求第1枪中靶的情况下第2枪也中靶的概率. 解:设A={第1枪打中靶},B={第2枪打中靶} 由题设知P(4)=03,.P(B)=04,P(4B)=05 PCAB P(B4) 0.5 所求为P(B|A P(4)1-P(A)0.77 四、课堂练习 练习1一批产品中有5%的废品,25%的一级品,其余为二级品,一级品和二 级品为合格品.试求合格品中的一级品率 废品和一级品之外的为二级品,故事件B2与事件A+B1对立 已知的一级品率25%是全部产品的一级品率,所求是合格品中的一级品率,即在已知是 合格品时,其中一级品占多大比例.是条件概率问题.需先求合格品率是多少 设任取1件产品为废品记作A,为一级品记作B1,为二级品记作B2,若任取1件产品为 合格品,记作H,则P(A)=0.05,P(B1)=0.25.P(B2)=1-0.05-0.25=070 练习2一批零件共100个,次品率10%.任意从这批零件中依次取出两个, 每次只取一个,取后不放回.求第二次才取到正品的概率. 所求第二次才取到正品,但是本题是取出两个零件才是一个整体.第二次才取到正品必 定第一次未取到正品.故所求是两个事件的积. 第二次才取到正品,必是第一次未取到正品. 设Ak={第k次取到正品},k=1,2. 267

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——267—— 即为 P（BA）= 7 4 7 2 ( ) ( ) = P A P AB ＝ 2 4 1 2 = 所以，已知预报下雨情况下，实际下雨的概率为 0.5. 例 2 已知某射手连续打 2 枪，2 枪中靶的概率为 0.5，第 1 枪不中耙的概率是 0.3，第 2 枪不中靶的概率是 0.4，求第 1 枪中靶的情况下第 2 枪也中靶的概率. 解：设 A＝{第 1 枪打中靶}，B＝{第 2 枪打中靶} 由题设知 P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.5 所求为 P(BA). 7 5 0.7 0.5 1 ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) = = − = = P A P A P AB P B A 四、课堂练习 练习 1 一批产品中有 5％的废品，25％的一级品，其余为二级品，一级品和二 级品为合格品. 试求合格品中的一级品率. 废品和一级品之外的为二级品，故事件 B2 与事件 A＋B1 对立. 已知的一级品率 25％是全部产品的一级品率，所求是合格品中的一级品率，即在已知是 合格品时，其中一级品占多大比例. 是条件概率问题. 需先求合格品率是多少. 设任取 1 件产品为废品记作 A，为一级品记作 B1，为二级品记作 B2，若任取 1 件产品为 合格品，记作 H，则 P（A）＝0.05， P（B1）＝0.25. P（B2）＝1－0.05-0.25＝0.70. 练习 2 一批零件共 100 个，次品率 10％. 任意从这批零件中依次取出两个， 每次只取一个，取后不放回. 求第二次才取到正品的概率. 所求第二次才取到正品，但是本题是取出两个零件才是一个整体. 第二次才取到正品必 定第一次未取到正品. 故所求是两个事件的积. 第二次才取到正品，必是第一次未取到正品. 设 Ak＝{第 k 次取到正品}，k=1，2

经济数学基础 第9章随机事件与概率 由题设,必定是第一次取到的产品是次品(A1),第二次取到正品(A2),即第一次取到次品 且第二次取到正品,也就是A1A2,才能说“第二次才取到正品”.故所求为P(A1A2) 五、课后作业 批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中,随 机抽取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率. 2.盒中有5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的.每次取一球,依次连续无 放回地取两次.求 (1)第一次取到新球的概率; (②)当第一次取到新球时,第二次取到新球的概率; (3)两次都取到新球的概率 3.已知100件产品中有10件次品,无放回地抽3次,每次取1件,求全是次 品的概率 2 1.0.72 40y)10 268

经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——268—— 由题设，必定是第一次取到的产品是次品( A1)，第二次取到正品(A2)，即第一次取到次品 且第二次取到正品，也就是 A1A2，才能说“第二次才取到正品”. 故所求为 P( A1A2). 五、课后作业 1. 一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8. 在这批种子中，随 机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率. 2. 盒中有 5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的. 每次取一球，依次连续无 放回地取两次. 求 (1) 第一次取到新球的概率； (2) 当第一次取到新球时，第二次取到新球的概率; (3) 两次都取到新球的概率. 3. 已知 100 件产品中有 10 件次品，无放回地抽 3 次，每次取 1 件，求全是次 品的概率. 1. 0.72． 2. 10 3 ; (3) 4 2 ; (2) 5 3 (1) ． 3. 2 695 2 ．