经济数学基础 第9章随机事件与概率 第五单元概率加法公式 学习目标 通过本节课学习,能用概率加法公式进行和事件概率的计算. 二、内容讲解 概率加法公式 由文氏图可知 (4)=4的面积 的面积 设乙的面积为1 P(A)=A的面积 P(A+B)=(A+B)的面积 一般地P(A+B)≠P(A)+P(B) ( P CA+B A+B (B)P(4) 有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),称为概率加法公式 当AB=∞→A,B互不相容(互斥)时,→P(AB)=0,则有P(A+B)=P (A)+P(B) 特别地,有P(A)=1-P(A) 问题思考:下列习题的解法错在哪里? 从1到10的10个数中,能被2整除的数有2,4,6,8,10共5个,能被3整除的数有 3,6,9共3个,于是!~10能被2或3整除的概率是5,3 0.8 10+10 261
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——261—— 第五单元 概率加法公式 一、学习目标 通过本节课学习，能用概率加法公式进行和事件概率的计算. 二、内容讲解 概率加法公式 有 P（A＋B）=P（A）＋P（B）－P（AB）,称为概率加法公式. 当 AB＝A,B 互不相容（互斥）时， P（AB）＝0，则有 P（A＋B）＝P （A）＋P（B）. 特别地，有 P（ A ）=1－P（A）. 问题思考：下列习题的解法错在哪里？ 从 1 到 10 的 10 个数中，能被 2 整除的数有 2，4，6，8，10 共 5 个，能被 3 整除的数有 3，6，9 共 3 个，于是！～10 能被 2 或 3 整除的概率是 p= 0.8 10 3 10 5 + = +
经济数学基础 第9章随机事件与概率 不对.正确解法:设A={被2整除的数},B={被3整除的数},C={被2或3整除的数} 显然,C=A+B.但是P(O≠P(A)+P(B),因为P(AB)≠0.AB={被2且3整除的数}={6},故 P(AB)=0.1.有P(O=P(4+B)=P(4A+P(B)-P(B)=0.5+0.3-0.1=0.7. 、例题讲解 例1三个工厂各有男女职工人数为:男 第一分厂:400 第二分厂:3 第三分厂 若任抽1名职工,问该职工是女工或第三分厂职工的概率是多少? 解:设A={抽到女工},B={抽到三分厂工人} 200+30050450 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)1200120012001200 例2盒中有7个棋子(4白3黑),从中任取3个,求能取到白色棋子的概率 解: 方法1设A={恰好取到i个白色棋子},p1,2,3 因为A1,A2,A3互不相容,所求概率为 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A42)+P(A3) 4×3×2 7×6×57×6×57×6×5 3×2 3×2 0.971 方法2设B={所取3个棋子全是黑色棋子};C={取到白色棋子} 所求概率为P(C)=P(B=1-P(B)=1-1x6x5=1-1=.971 262
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——262—— 不对.正确解法：设 A＝{被 2 整除的数}，B＝{被 3 整除的数}，C={被 2 或 3 整除的数} 显然，C＝A＋B. 但是 P(C)P(A)+P(B)，因为 P(AB)0. AB={被 2 且 3 整除的数}＝{6}，故 P(AB)=0.1. 有 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.5+0.3－0.1=0.7. 三、例题讲解 例 1 三个工厂各有男女职工人数为：男 女 第一分厂： 400 100 第二分厂： 350 50 第三分厂： 250 50 若任抽 1 名职工，问该职工是女工或第三分厂职工的概率是多少？ 解：设 A＝{抽到女工}，B＝{抽到三分厂工人} P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) 例 2 盒中有 7 个棋子（4 白 3 黑），从中任取 3 个，求能取到白色棋子的概率. 解： 方法 1 设 Ai＝{恰好取到 i 个白色棋子}，i=1,2,3， 因为 A1，A2，A3 互不相容，所求概率为 P（A1＋A2＋A3）＝P(A1)+P(A2)+P(A3) ＝ 7 6 5 4 3 2 3 2 1 7 6 5 2 4 3 3 3 2 1 7 6 5 4 2 3 2 + + =0.971 方法 2 设 B＝{所取 3 个棋子全是黑色棋子}；C＝{取到白色棋子} 所求概率为 P（C）＝ P(B)＝1－P（B）＝ 3 2 1 1 7 6 5 1 1 − ＝ 35 1 1− =0.971 1200 450 1200 50 1200 300 1200 200 = + − =
经济数学基础 第9章随机事件与概率 四、课堂练习 练习1若产品分一等品、二等品和次品,如果一等品的概率是0.73,二等品 的概率是0.21,并规定一、二等品为合格品.求产品的合格率和次品率. 产品的一等品和二等品是不能混淆的,又合格品与次品是对立的,故本例要用 互斥事件和的概率加法公式和对立事件的概率计算公式.设A={任取1件产品是 等品},产一,二.由题设,一等品、二等品的概率分别为P(A)=0.73,P(A)=0.21 练习2某射手连续打2枪,已知至少有1枪中靶的概率为0.8,第1枪不中靶 的概率是0.3,第2枪不中靶的概率是0.4.求 (1)两枪均未中靶的概率; (2)第1枪中靶,第2枪未中靶的概率 第(1)问是一个概率加法公式的综合应用题目.已知是两个事件和的概率.所求两枪都 不中,是事件之积的概率:第(2)问,求一枪中一枪不中也是事件之积的概率.而且已知的 是不中的概率,因此对立事件的概率公式以及事件的运算律、摩根律是很有用的 设A1=第1枪中靶},A2={第2枪中靶}.PCA1+42)=0.8,P(A1)=0.3,P(A2)=0.4 (1)所求为P(44)=由摩根律,4=4+4,得到P(耳4)=P4+4) 由对立事件的概率公式P(4+4)=1-P(4+4),:(2)所求为P(A112) 五、课后作业 1.试推导三个事件A,B,C和事件的概率公式P(A+B+C) 2.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,然后返回.若连取三次, 求取到的三个球中没有红色球或没有黄色球的概率. 3.某单位订阅甲、乙、丙三种报纸,据调查,职工中40%读甲报,26%读乙 报,24%读丙报,8%兼读甲、乙报,5%兼读甲、丙报,4%兼读乙、丙报,2%兼 263
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——263—— 四、课堂练习 练习 1 若产品分一等品、二等品和次品，如果一等品的概率是 0.73，二等品 的概率是 0.21，并规定一、二等品为合格品. 求产品的合格率和次品率. 产品的一等品和二等品是不能混淆的，又合格品与次品是对立的，故本例要用 互斥事件和的概率加法公式和对立事件的概率计算公式.设 Ai＝{任取 1 件产品是 i 等品}，i= 一，二.由题设，一等品、二等品的概率分别为 P(A1)=0.73，P(A2)=0.21. 练习 2 某射手连续打 2 枪，已知至少有 1 枪中靶的概率为 0.8，第 1 枪不中靶 的概率是 0.3，第 2 枪不中靶的概率是 0.4. 求 （1）两枪均未中靶的概率； （2）第 1 枪中靶，第 2 枪未中靶的概率. 第（1）问是一个概率加法公式的综合应用题目. 已知是两个事件和的概率. 所求两枪都 不中，是事件之积的概率；第（2）问，求一枪中一枪不中也是事件之积的概率. 而且已知的 是不中的概率，因此对立事件的概率公式以及事件的运算律、摩根律是很有用的. 设 A1＝{第 1 枪中靶}，A2={第 2 枪中靶}.P（A1＋A2）＝0.8， ( ) P A1 ＝0.3， ( ) P A2 ＝0.4 （1）所求为 P（ A1 A2 ) = 由摩根律， A1 A2 = A1 + A2 ，得到 P（ ) ( ) A1 A2 = P A1 + A2 ） 由对立事件的概率公式 ( ) 1 ( ) P A1 + A2 = − P A1 + A2 ；（2）所求为 ( ) P A1 A2 五、课后作业 1. 试推导三个事件 A，B，C 和事件的概率公式 P(A+B+C). 2. 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，然后返回. 若连取三次， 求取到的三个球中没有红色球或没有黄色球的概率. 3. 某单位订阅甲、乙、丙三种报纸，据调查，职工中 40％读甲报，26％读乙 报，24％读丙报，8％兼读甲、乙报，5％兼读甲、丙报，4％兼读乙、丙报，2％兼
经济数学基础 第9章随机事件与概率 读甲、乙、丙报.现从职工中随机抽查一人,问该职工至少读一种报纸的概率是多 少?不读报的概率是多少? 4.设三个随机事件A,B,C,已知P(A)=P(B)=P(O)=,PAB=P(BC)=0, P(AC=,求A,B,C至少一个发生的概率 P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+ P(ABC) 1 2.27.3.0.75;0.25.4. 264
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——264—— 读甲、乙、丙报. 现从职工中随机抽查一人，问该职工至少读一种报纸的概率是多 少？不读报的概率是多少？ 4. 设三个随机事件 A，B，C，已知 P(A)=P(B)=P(C)= 4 1 ，P(AB)=P(BC)=0， P(AC)= 8 1 ，求 A，B，C 至少一个发生的概率. 1. P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) − P(AC) + P(ABC) ． 2. 27 1 ． 3. 0.75；0.25． 4. 8 5 ．