茂名学院函授《复变函数》课程自学指导 茂名学院师范学院数学系李伟勋编 2002年8月
- 1 - 茂名学院函授《复变函数》课程自学指导 茂名学院师范学院数学系 李伟勋 编 2002 年 8 月
茂名学院函授《复变函数》课程自学指导 课程代码: 课程名称:复变函数/ Complex Functions 面授学时:50 学分 先修课程:《数学分析》 适用专业:数学教育专业函授本科(专升本) 开课院(系教研室:茂名学院成人教育学院 教材、教学参考书:《复变函数论》钟玉泉编(高等教育出版社) (一)、本课程的性质和任务 复变函数是微积分在复数域的推广,它是研究复变量的复值函数的分析课 程,是一门重要的数学基础课程。针对数学专科起点的学生,本课程面授侧重 于基本理论能力的讲解和培养,使学生熟练掌握复变函数的基本理论和基本方 法,了解复变函数在后继的数学课程中的应用及在解决实际问题中的应用。通 过本课程的学习,为以后更好地学习其他专业课程奠定必要的基础。 (二)、本课程教学内容和基本要求 本课程指导按教材分七章,分别如下 第一章复数与复变函数 具体要求:
- 2 - 茂名学院函授《复变函数》课程自学指导 课程代码： 课程名称：复变函数/Complex Functions 面授学时：50 学分： 先修课程：《数学分析》 适用专业：数学教育专业函授本科（专升本） 开课院(系)、教研室：茂名学院成人教育学院 教材、教学参考书：《复变函数论》 钟玉泉 编 （高等教育出版社） （一）、本课程的性质和任务 复变函数是微积分在复数域的推广，它是研究复变量的复值函数的分析课 程，是一门重要的数学基础课程。针对数学专科起点的学生，本课程面授侧重 于基本理论能力的讲解和培养，使学生熟练掌握复变函数的基本理论和基本方 法，了解复变函数在后继的数学课程中的应用及在解决实际问题中的应用。通 过本课程的学习，为以后更好地学习其他专业课程奠定必要的基础。 （二）、 本课程教学内容和基本要求 本课程指导按教材分七章，分别如下： 第一章 复数与复变函数 一、具体要求：
1、理解并掌握复数、复数域、模、辐角、共轭复数等概念及性质 2、熟练掌握复数的多种表示法、复数的四则运算及开方运算 4、理解复数运算的几何意义、复平面上点集、区域、单连通域、多连通域和 复球面、错误!不能通过编辑域代码创建对象。、扩充复平面等概念。 5、理解复变函数以及映射的概念,会求复变函数的极限和证明其连续性。 、学习重点 1、熟练掌握复数的模、辐角、共轭、四则运算及三种表示法的互换、开方 2、熟练掌握复数列及复变函数的极限求法。 、作业:错误!不能通过编辑域代码创建对象。1、2、3;错误!不能通 过编辑域代码创建对象。7,9;错误!不能通过编辑域代码创建对象。11, 15 第二章解析函数 具体要求 1、理解函数解析的概念与柯西一黎曼条件、掌握判别函数解析性的方法。 2、理解并记住初等函数的定义以及它们的一些主要性质。 3、理解并学会分出根式函数与对数函数的单值解析分支 、学习重点 1、函数解析性的判断,掌握和运用柯西一黎曼条件。 2、熟练掌握如何采用限制辐角或割破Z平面的方法,来求出根式函数与对数
- 3 - 1、理解并掌握复数、复数域、模、辐角、共轭复数等概念及性质。 2、熟练掌握复数的多种表示法、复数的四则运算及开方运算。 4、理解复数运算的几何意义、复平面上点集、区域、单连通域、多连通域和 复球面、错误！不能通过编辑域代码创建对象。、扩充复平面等概念。 5、理解复变函数以及映射的概念，会求复变函数的极限和证明其连续性。 二、学习重点 1、熟练掌握复数的模、辐角、共轭、四则运算及三种表示法的互换、开方。 2、熟练掌握复数列及复变函数的极限求法。 三、作业： 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 1、2、3；错误！不能通 过编辑域代码创建对象。 7，9；错误！不能通过编辑域代码创建对象。 11， 15 第二章 解析函数 一、具体要求 1、理解函数解析的概念与柯西－黎曼条件、掌握判别函数解析性的方法。 2、理解并记住初等函数的定义以及它们的一些主要性质。 3、理解并学会分出根式函数与对数函数的单值解析分支。 二、学习重点 1、函数解析性的判断，掌握和运用柯西－黎曼条件。 2、熟练掌握如何采用限制辐角或割破 Z 平面的方法，来求出根式函数与对数
函数的单值解析分支。(由已给单值解析分支的初值错误!不能通过编辑域代 码创建对象。,计算终值错误!不能通过编辑域代码创建对象。) 三、作业:错误!不能通过编辑域代码创建对象。4,5;错误!不能通过编辑域代码 创建对象。8(1)、(2);错误不能通过编辑域代码创建对象。10,11;错误不能通 过编辑域代码创建对象。22,25,26 第三章复变函数的积分 、具体要求 1、理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质;掌握复变函数积分的一般 计算方法(含复围线);掌握柯西定理及其推论 2、熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分;了解摩勒拉定理。 3、了解解析函数与调和函数的关系,并掌握由已知的调和函数求其共轭调和 函数,从而得到解析函数的方法。 二、学习重点 1、柯西定理,柯西积分公式及高阶导数公式的用法 2、利用调和函数求解析函数。 三、作业:B351:P364,5,9:;P3710,12,15:R3716(1),(3); 第四章解析函数的幂级数表示法 具体要求 1、了解复数项级数的敛散性及有关概念、主要性质及重要定理
- 4 - 函数的单值解析分支。（由已给单值解析分支的初值错误！不能通过编辑域代 码创建对象。，计算终值错误！不能通过编辑域代码创建对象。） 三、作业：错误！不能通过编辑域代码创建对象。 4，5；错误！不能通过编辑域代码 创建对象。 8（1）、（2）；错误！不能通过编辑域代码创建对象。 10，11；错误！不能通 过编辑域代码创建对象。 22，25，26； 第三章 复变函数的积分 一、具体要求 1、理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般 计算方法（含复围线）；掌握柯西定理及其推论； 2、熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分；了解摩勒拉定理。 3、了解解析函数与调和函数的关系，并掌握由已知的调和函数求其共轭调和 函数，从而得到解析函数的方法。 二、学习重点 1、柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法。 2、利用调和函数求解析函数。 三、作业： P135 1； P136 4，5，9； P137 10，12，15； P137 16（1），（3）； 第四章 解析函数的幂级数表示法 一、具体要求： 1、了解复数项级数的敛散性及有关概念、主要性质及重要定理；
2、了解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念,掌 握幂级数收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质; 3、记住几个主要的初等函数的泰勒展开式,能熟练地把一些比较简单的初等 函数展开成泰勒级数; 4、掌握解析函数零点的概念;理解解析函数零点的孤立性及内部唯一性定理, 最大模原理。 学习重点 1、学会判断级数的敛、散性 能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数;会求幂级数的收敛 半径及收敛范围。 3、能找出零点并指出它们的级; 4、能够利用解析函数零点的孤立性及内部唯一性定理,最大模原理证明一些 简单问题 三、作业:Pn1,2;Bn25(1),(4),(5);7(1),(2,(3);B38,12; 第五章解析函数的罗朗( Laurent)展式与孤立奇点 具体要求: 1、理解罗朗级数的作用,能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数; 2、理解并掌握孤立奇点的概念、分类及判别方法(含无穷远点∞)
- 5 - 2、了解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌 握幂级数收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质； 3、记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等 函数展开成泰勒级数； 4、掌握解析函数零点的概念；理解解析函数零点的孤立性及内部唯一性定理， 最大模原理。 二、学习重点 1、学会判断级数的敛、散性； 2、能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数；会求幂级数的收敛 半径及收敛范围。 3、能找出零点并指出它们的级； 4、能够利用解析函数零点的孤立性及内部唯一性定理，最大模原理证明一些 简单问题。 三、作业： P171 1，2； P172 5（1），（4），（5）；7（1），（2），（3）； P173 8，12； 第五章 解析函数的罗朗（Laurent）展式与孤立奇点 一、具体要求： 1、理解罗朗级数的作用，能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数； 2、理解并掌握孤立奇点的概念、分类及判别方法（含无穷远点 ）
3、理解整函数与亚纯函数的概念。 学习重点 1、能在不同环域内将函数展开成罗朗级数; 2、孤立奇点类型的判别。 三、作业:P201(1),(2);P202(1),(3); ,5,8; 第六章残数理论及其应用 、具体要求: 1、理解函数在孤立奇点残数的概念;掌握残数的计算,尤其要熟悉较低阶极 点处残数的计算 2、掌握并能熟练应用残数定理; 3、能用残数来计算3种标准类型及积分路径上有奇点的定积分 4、理解并掌握辐角原理、儒歇定理及其应用。 、学习重点 1、残数的计算及应用残数计算定积分 2、辐角原理、儒歇定理及其应用。 三、作业: P2601;P633(1),(3),(4);4(1)、(2)5(1),(3)P26410,11,12
- 6 - 3、理解整函数与亚纯函数的概念。 二、学习重点 1、能在不同环域内将函数展开成罗朗级数； 2、孤立奇点类型的判别。 三、作业： P209 1（1），（2）； P209 2（1），（3）； P210 4，5，8； 第六章 残数理论及其应用 一、具体要求： 1、理解函数在孤立奇点残数的概念；掌握残数的计算，尤其要熟悉较低阶极 点处残数的计算； 2、掌握并能熟练应用残数定理； 3、能用残数来计算 3 种标准类型及积分路径上有奇点的定积分。 4、理解并掌握辐角原理、儒歇定理及其应用。 二、学习重点 1、残数的计算及应用残数计算定积分。 2、辐角原理、儒歇定理及其应用。 三、作业： P260 1； P263 3（1），（3），（4）；4（1）、（2）5（1），（3） P264 10，11，12
第七章保形变换 具体要求: 1、理解解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的倸形性;知道有关保形 变换的几个重要定理; 2、掌握分式线性变换的重要性质:保形性、保圆性、保对称性和保交比性」 掌握确定半平面到半平面、半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性变换; 3、对于适当的区域能求得由分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数或 其复合函数构成的变换。 4、了解保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理 二、学习重点 熟练并掌握求由分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数或其复合函数构 成的变换。 、作业:P3m1.4(1),(4),6,8.(1),(2);13;13(2),18 第八章解析开拓 、具体要求: 1、充分掌握相交区域解析开拓的概念与幂级数开拓方法c 2、掌握班勒卫连续开拓原理及透弧直接解析开拓的概念。 3、了解完全解析函数及黎曼面的概念 7
- 7 - 第七章 保形变换 一、具体要求： 1、理解解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的保形性；知道有关保形 变换的几个重要定理； 2、掌握分式线性变换的重要性质：保形性、保圆性、保对称性和保交比性； 掌握确定半平面到半平面、半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性变换； 3、对于适当的区域能求得由分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数或 其复合函数构成的变换。 4、了解保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理 二、学习重点 熟练并掌握求由分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数或其复合函数构 成的变换。 三、作业：P307 1. 4(1), (4) , 6, 8. (1), (2); 13; 13(2), 18 第八章 解析开拓 一、具体要求： 1、充分掌握相交区域解析开拓的概念与幂级数开拓方法。 2、掌握班勒卫连续开拓原理及透弧直接解析开拓的概念。 3、了解完全解析函数及黎曼面的概念
学习重点 1、熟练掌握利用幂级数求解析开拓方。 2、会求(相互)直接解析开拓。 作业:P (三)作业参考答案 第一章复数与复变函数P371、2、3;P387,9;P3911,15 1、解:因为:=1- ,|=|= Arg==actg +2kz=-+2kx,k=0,±±2 解:由于 3、提示:移项,有:==02k=0,±,±2 7、证明:设已知直线ax+by+c=0,(a,b,c∈R,a,b不全为零 代 y=代入上式,化简,得 令(a+b)=a≠0,得c+az+c=0 9证明:由于、1-=a+b2 Xa+b),所以ag-a+bx+anga+b故三点共线。 11、解:由 有
- 8 - 二、学习重点 1、熟练掌握利用幂级数求解析开拓方。 2、会求（相互）直接解析开拓。 三、作业： P353 1，2，3，6，7 (三)作业参考答案 第一章 复数与复变函数 P37 1、2、3； P38 7，9； P39 11，15 1、解：因为 z i 2 3 2 1 = − ， 2 2 ) 2 3 ) ( 2 1 | z |= ( + − =1 Arg z =arctg 2 3 2 1 − + 2k = 2k 3 − + , k = 0, 1, 2 ...... 2、解：由于 i z e 4 1 = ， i z e 6 2 2 − = ，故 i z z e 12 1 2 2 = ， i e z z 12 5 2 1 2 1 = 3、提示：移项，有 4 4 4 4 k z a ae − + = − = k = 0, 1, 2, ........ 7、证明：设已知直线 ax+by + c = 0 ，（ a, b, c R, a,b不全为零 ） 代 i z z y z z x 2 , 2 − = + = 代入上式，化简，得 ( ) 0 2 1 ( ) 2 1 a −bi z + a + bi z + c = 令 ( ) 0, 2 1 a + bi = 得 z +z + c = 0 □ 9、证明：由于 )( ) 1 ( 1 2 2 a bi a bi a b + + = − − + ，所以 arg a bi 。 a bi arg( ), 故三点共线 1 = + + − + 11、解：由 i u v v u v u u iv x yi w z z w 2 2 2 2 1 , 1 , 1 + − + = + = 有 = + =
所以 (1)由于 (u2+y2)2 4,所以 (2) 故 (3)由于 有 1有 即 15、证明:v=o∈ lim f()=m(x-0)=x0-00=f(x=0) 所以f(=)=2在Z平面上处处连续。 第二章解析函数错误!不能通过编辑域代码创建对象。4,5;错误!不能通过编辑 域代码创建对象。8(1)、(2); 错误!不能通过编辑域代码创建对象。10,11错误!不能通过编辑 域代码创建对象。22,25,26 4、5、提示:利用C一R条件。 8、(1)证明:因为u2=3x2-3y2=v,u,=-,=-6x 故满足C一R条件,f(-)在Z平面上解析 有f(=)=3x2-3y2 (2)证明:易求得a2= e cosy+e'sny+xe'siny=v l,=e(xsin y-sin y-ycos y) 满足C一R条件.故在Z平面上解析 f(e)=l,+iv, =e cos y+xe cos y-e ysin y+i(e ycos y+e sin y+ xe sin y) e(cos y+isin y)+xe(cos y+isin y)+ ye(-sin y+i cos y) e+xe*+ye'leos(y+x)+isin(y+x=e2+xe2+ye=e(+1)
- 9 - 所以 + = − + = 2 2 2 2 u v v y u v u x （1） 由于 4, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + u v v u v u 所以 4, 4 1 2 2 2 2 = + = + u v u v （2） u v u v v u v u x y = − + − = + = , 即 2 2 2 2 , 故 （3）由于 1 2 2 = u + v u 即 0 2 2 u + v −u = ， 有 4 1 4 2 1 2 u −u + + v = ，即 4 1 ) 2 1 ( 2 2 u − + v = （4）由 1 ( ) ( 1) 2 2 2 2 2 2 2 = + − + + u v v u v u 有 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + − + u v v u v u u v u 即 2 1 u = 15、证明： z0 C ， lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f z x iy x iy f z y y z z x x = − = − = → → → , 所以 f (z) = z 在 Z 平面上处处连续。 □ 第二章 解析函数 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 4，5；错误！不能通过编辑 域代码创建对象。 8（1）、（2）； 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 10，11; 错误！不能通过编辑 域代码创建对象。 22，25，26； 4、5、提示：利用 C.—Ｒ条件。 8、（1）证明：因为 u x y v u v xy x 3 3 y , y x 6 2 2 = − = = − = − 故满足 C.—R 条件， f (z) 在 Z 平面上解析. 有 2 2 2 2 f (z) = 3x −3y +6xyi = 3(x + yi) = 3z (2) 证明: 易求得 y x x x x u = e y cos y + e sin y + xe sin y = v x x y u = e (−xsin y −sin y − y cos y) = −v 满足 C.—R.条件. 故在 Z 平面上解析. )] ( 1) 2 ) sin( 2 [cos( (cos sin ) (cos sin ) ( sin cos ) ( ) cos cos sin ( cos sin sin ) = + + + + + = + + = + = + + + + − + = + = + − + + + + + e xe ye y i y e xe yie e z e y i y xe y i y ye y i y f z u iv e y xe y e y y i e y y e y xe y x iy x iy x z z z z x x x x x x x x x x x
10.证明:(1)|e2He-2x-y)=e-2x 2)=Re(e=r COS +isin-J coS 11.证明:设z=x+y,则 (1)e=ee=ere-jy=er-iy=e (2)cosz=(e2+e)/2]=(e+e)/2=(e+e)/2=cosE 22.解:作右图,令w(=)=v2 Ac arg w()=Ac arg-3' arg w(i=arg(-1)=- w()=f(ile arg w(-iefAc rgw()=V-ile2e3'=e 6 2解: 如图 W B =二 B A(R 作变换w=z4,则有f() (z在z平面上沿以z=0为心,R>1为半径的圆周c从A走到B,经过该变换,其象 点w在w平面上以点w=0为心,R4>1为半径的象圆周r从A走到,刚好绕v=√m+1
- 10 - 10.证明: (1) i z x i y x e e e 2 2 (1 2 ) 2 | | | | − − + − − = = (2) 2 2 2 2 2 | | | | z x y 2xyi x y e e e − + − = = (3). 2 2 2 2 2 2 1 1 cos Re( ) Re( ) Re( ) (cos sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y e x y y i x y y e e e e x y x x y x x y y i x y x z x iy + = + − + + − = = = + + + − + + 11. 证明: 设 z = x + yi , 则 (1) z x iy x iy x iy z e = e e = e e = e = e − − (2) z e e e e e e z i z i z i z i z iz iz cos = [( + ) / 2] = ( + ) / 2 = ( + ) / 2 = cos − − − (3) z e e i e e i e e i z i z i z i z i z iz iz sin = [( − ) / 2 ] = −( − ) / 2 = ( + ) / 2 = sin − − − 22. 解: 作右图, 令 3 w(z) = z 2 , arg ( ) arg( ) 3 arg 3 1 arg ( ) C w z = C z = w i = −i = − i i i i i w i i w z w i f i e e i e e e arg ( ) C arg ( ) 3 2 3 6 ( ) | ( ) | | | − − − − = − = − = C 0 -i 2 解： 如图 作变换 4 w = z ，则有 f (z) = w+1 ， （z 在 z 平面上沿以 z=0 为心, R 1 为半径的圆周 c 从 A 走到 B，经过该变换，其象 点 w 在 w 平面上以点 w = 0 为心， 1 4 R 为半径的象圆周 从 A走到B ， 刚好绕 w = w+1 A A B −1 B z z 0 O (R 1) Z 4 w = z W (R 1) 4