复交函数论 辅导课程二 王饼教师;李伟励
辅导课程二
第三节复变函数 CMA EAUMRITAEA aeAS 定义 定义9设E为一复数集,若对E内每 复数z,有唯一确定的复数O与 之对应,则称在E上确定了一个单值 函数O=f(z),(z∈E)。若对E内 每一复数z,有几个或无穷多个与之 对应,则称在确定了一个多值函数
第三节 复变函数 • 1 定义 定义9 设 为一复数集，若对 内每 一复数 ，有唯一确定的复数 与 之对应，则称在 上确定了一个单值 函数 。 若对 内 每一复数 ，有几个或无穷多个与之 对应，则称在 上确定了一个多值函数。 E E z E E z E = f (z), (z E)
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例a=z| 三z 等均为单值函数。 rgz 等均为多值函数。 注以后如不特别说明,所提函数均指 单值函数
• 例 等均为单值函数。 等均为多值函数。 • 注 以后如不特别说明，所提函数均指 单值函数。 =| z |, = z , w = z 2 z Argz n = , =
2表示形式 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 复变函数一般有三种表示形式: (1)O=f(z),(z∈E) (2)若令z=x+,则有 (3)若令=l(x,y)+iv(x,y),(x,y)sE) 则有z=r(c0sb+isin) O=P(r,6)+1(1,6)
２表示形式 • 复变函数一般有三种表示形式： （１） （２） 若令 ，则有 （３）若令 ， 则有 = f (z), (z E) z = x + iy = u(x, y) + iv(x, y), ((x, y) E) z = r(cos + isin ) = P(r,) + iQ(r,)
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 复变函数不能用同一个平面或同一个 维空间中的几何图形来表示。一般我们 取两张复平面,分别称为z平面和O 平面,而把复变函数理解为两个复平面 上的点集之间的对应
• 复变函数不能用同一个平面或同一个三 维空间中的几何图形来表示。一般我们 取两张复平面，分别称为 平面和 平面， 而把复变函数理解为两个复平面 上的点集之间的对应。 z
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例1试问函数O=z2把z平面上 的下列曲线分别变成a平面上的何种曲 线 (1)以原点为心,2为半径,在第一象项 里的圆弧; (2)倾角 的直线 (3)双曲线x2-y2=4
• 例1 试问函数 把 平面上 的下列曲线分别变成 平面上的何种曲 线？ • （1）以原点为心，2为半径，在第一象项 里的圆弧； • （2） 倾角 的直线； （3） 双曲线 。 2 = z z 3 = 4 2 2 x − y =
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 解设z=x+iy=r(cosb+isib), w=u+iv=r(cos p+isin 则R=r 9=20 因此 (1)在O平面上对应的图形为:以原点为 心,4为半径,在上半平面的半圆周
• 解 设 则 因此 （1）在 平面上对应的图形为：以原点为 心，4为半径，在上半平面的半圆周。 (cos sin ) (cos sin ), w u iv R i z x iy r i = + = + = + = + , 2 2 R = r =
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 2丌 (1)q 在O平面上对应的图形为 射线。 (2)因 y-+xvi 故 2 u=x-y 在平面上对应的图形为:直线Rew=4
（1） 在 平面上对应的图形为： 射线。 （2） 因 ，故 在平面上对应的图形为：直线 3 2 = z x y 2xyi 2 2 2 = = − + 2 2 u = x − y Rew = 4
复变函数的极限与递续性 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE °定义10设0=f(z),(z∈E)20 为E的聚点。若存在一复数Ob, 使VE>03>0 只要 0<z-z<δ,z∈E 就有 f(=)-ok<E, 则称∫(z)沿E于20有极限 并记为imf(=)=00
复变函数的极限与连续性 • 定义10 设 ， 为 的聚点。若存在一复数 ， 使 只要 就有 则称 沿 于 有极限 ， 并记为 = f (z), (z E) 0 z E 0 0 0 0 | z − z0 | , z E | ( ) | , 0 f z − f (z) E 0 z 0 0 lim ( ) 0 = → f z z z
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系: 定理2设函数f(=)=l(x,y)+m(x,y) 于点集E上有定义,z0=x0+沙 则 lim f(e=n=a+ib 的充要条件是 lim u(x,y)=a, (x,y)→>(x0,y0) lm v(x,y)=b (x,y)→>(x0,yo)
• 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系 ： 定理2 设函数 于点集 上有定义， 则 的充要条件是 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) E 0 0 0 z = x + iy f z a ib z z = = + → ( ) lim 0 v x y b u x y a x y x y x y x y = = → → lim ( , ) lim ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0