2000级概率论与数理统计试题考试时间:120分钟试卷总分100分 题号 二|三|四五|六|七|八九十总分 装评卷 、填空题(满分15分) 1.已知P(B)=0.3,P(A∪B)=0.7,且A与B相互独立,则 PO 2.设随机变量X服从参数为二项分布,且PX=0}=1,则 订 3.设X~N(3,2),且P{X<0}=0.1,则P3<X<6}= 4.已知DX=1,DY=2,且X和Y相互独立,则D(2X-Y) 5.已知随机变量X服从自由度为n的t分布,则随机变量X2服从的分布 是 线 、选择题(满分15分) 1.抛掷3枚均匀对称的硬币,恰好有两枚正面向上的概率是 (A)0.125, (B)0.25,(C)0.375,(D)0. 2.有γ个球,随机地放在n个盒子中(Y≤n),则某指定的y个盒子中各 有一球的概率为 (B)C 3设随机变量X的概率密度为f(x)=ce,则c (A) (B)0(C) (D)1 2 4.掷一颗骰子600次,求“一点”出现次数的均值为 (A)50(B)100(C)120(D)150 5.设总体X在(-p,+p)上服从均匀分布,则参数的矩估计量 (A)=(B) (C) 2(D)x
2000 级概率论与数理统计试题 考试时间:120 分钟 试卷总分 100 分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评卷 教师 一、填空题(满分 15 分) 1. 已 知 P(B) = 0.3 , P(A B) = 0.7 , 且 A 与 B 相 互 独 立 , 则 P(A) = 。 2. 设随机变量 X 服从参数为二项分布,且 2 1 P{X = 0} = , 则 p = 。 3.设 ~ (3, ) 2 X N ,且 P{X 0} = 0.1 ,则 P{3 X 6} = 4.已知 DX=1,DY=2,且 X 和 Y 相互独立,则 D(2X-Y)= 5.已知随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布,则随机变量 2 X 服从的分布 是 。 二、选择题(满分 15 分) 1.抛掷 3 枚均匀对称的硬币,恰好有两枚正面向上的概率是 。 (A)0.125, (B)0.25, (C)0.375, (D)0.5 2.有 γ 个球,随机地放在 n 个盒子中(γ≤n),则某指定的 γ 个盒子中各 有一球的概率为 。 (A) n ! (B) n C r n ! (C) n n ! (D) n n n C ! 3.设随机变量 X 的概率密度为 | | ( ) x f x ce − = ,则 c= 。 (A)- 2 1 (B)0 (C) 2 1 (D)1 4.掷一颗骰子 600 次,求“一点” 出现次数的均值为 。 (A)50 (B)100 (C)120 (D)150 5.设总体 X 在 ( − , + ) 上服从均匀分布,则参数 的矩估计量 为 。 (A) x 1 (B) − = n i Xi n 1 1 1 (C) − = n i Xi n 1 2 1 1 (D) x 装 订 线 班 级 : 学 号 : 姓 名 :
三、计算题(满分60分) 1.某商店拥有某产品共计12件,其中4件次品,已经售出2件,现从剩下 的10件产品中任取一件,求这件是正品的概率 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N(40,100),随机地取5个元件, 求恰有两个元件寿命小于50的概率。(Φ(1)=0.8413, p(2)=0.9772) 3.在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于5”的概率 4.一台设备由三个部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2,0.3,0.4,各部件的状态相互独立,求需要调整的部件数X的期望EX和方 差DX 5.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均 值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差。 (d(2.055)=0.98(2325)=099) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩, 算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认 为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。(lo3(35)=20301, to25(36)=20281) 四、证明题 1设A,B是两个随机事件,0P()41,PA=八A 证明:A与B相互 独立 2设总体X服从参数为2的泊松分布,X1,…Xn是X的简单随机样本,试证: (x+S2)是的无偏估计 2000级概率论与数理统计试题B卷答案 填空题(满分15分) 3、04 4、65、F(1,n) 填空题(满分15分) 3、C 三、计算题 1、应用贝叶斯公式,P=0.9523 2、当原方程有实根时,解得k>2或k<-1,因此所求概率为
三、计算题(满分 60 分) 1.某商店拥有某产品共计 12 件,其中 4 件次品,已经售出 2 件,现从剩下 的 10 件产品中任取一件,求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布 N(40,100),随机地取 5 个元件, 求恰有两个元件寿命小于 50 的概率。( (1) = 0.8413, (2) = 0.9772 ) 3.在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于 5 6 ”的概率。 4.一台设备由三个部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2,0.3,0.4,各部件的状态相互独立,求需要调整的部件数 X 的期望 EX 和方 差 DX。 5.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本,假定有 2%的样本均值与总体均 值之差的绝对值在 4 以上,求总体的标准差。 ( (2.055) = 0.98,(2.325) = 0.99) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取 36 位考生的成绩, 算得平均成绩为 66.5 分,标准差为 15 分,问在显著性水平 0.05 下,是否可认 为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程。( t 0.025 (35) = 2.0301, t 0.025 (36) = 2.0281 ) 四、证明题 1.设 A,B 是两个随机事件,0<P(A)<1, = A B P A B P ,证明:A 与 B 相互 独立。 2.设总体 X 服从参数为 的泊松分布, X Xn , 1 是 X 的简单随机样本,试证: ( ) 2 2 1 X + S 是 的无偏估计。 2000 级概率论与数理统计试题 B 卷答案 一、填空题(满分 15 分) 1、 0.5 2、 3 1 1 2 − − 3、0.4 4、6 5、 F(1, n) 二、填空题(满分 15 分) 1、C 2、D 3、C 4、B 5、D 三、计算题 1、应用贝叶斯公式,P=0.9523 2、当原方程有实根时,解得 k 2 或 k −1 ,因此所求概率为 5 3 5 5 1 2 = dx
o其它,f0y 070}≥0.94 ≥09→ 0.9 √n≥129 ≥41.6 因此至少应取n=42 、设Hn:2=1.62,H1σ2≠1.62, 由于X=5283,所以 ∑x2-nx|=1925<218 故拒绝H,即认为零件强度的方差较以往发生了变化 四、证明题 1、证明: 由于 P(AB)=P(A)P(B A) P(4L小+P(小)(B|4 P(A)P(A)P(B A)+P()P(A)P(B A)
3、 = 0 其它 1 0 1 ( ) x f x X , = 0 其它 1 0 1 ( ) y f y Y 由于 X 与 Y 相互独立,因此 = = 0 其它 1 0 1,0 1 ( , ) ( ) ( ) x y f x y f x f y X Y , 所以 = = + − 5 4 0 5 4 0 25 8 ( , ) 5 4 y P X Y f x y dxdy . 4、 5 4 ( ) 12 1 0 0 2 = = E X xy dydx x , 2 1 ( ) 12 1 0 0 3 = = E XY xy dydx x . 5、 − 0.9 5 1 10 72 70 0.9 n n X P P X 41.6 1.29 5 1 0.9 5 1 n n n , 因此至少应取 n = 42 . 6、设 2 2 H0 : = 1.6 , 2 2 H1 : 1.6 , 由于 X = 52.83 ,所以 1.1925 2.18 1 1 2 1 2 2 = − − = = X nX n S n i i , 故拒绝 H0 ,即认为零件强度的方差较以往发生了变化。 四、证明题 1、证明: 由于 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P A P B A P A P A P B A P A P A P A P B A P AB P A P B A = + = + =
P(4)P(B)=P(4PB|4)+P团PB列 P(A)P(A)P(B A)+P(A)P(A)P(B A) 及P(AB)=P(A)P(B), 因此 P(BA= P(AB)-P(A)P(AP(BJA) P(AP(A) P(A)P(B)-P(AP(A)P(B 1A) =P(BA) P(AP(A) 2、:E(x)=x,B(S2)= E ax+(1-a)s =aE(x)+(1-a)E(s2) =a2+(1-a)2 命题得证
( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A P A P B A P A P A P B A P A P B P A P A P B A P A P B A = + = + , 及 P(AB) = P(A)P(B), 因此 ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) P B A P A P A P A P B P A P A P B A P A P A P AB P A P A P B A P B A = − = − = . 2、 E(X ) = , ( ) = 2 E S , , (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 2 2 = = + − = + − + − a a aE x a E s E ax a s 命题得证