《高等数学》课程电子教案：第八讲 幂级数

Ⅱ幂级数: 10定义,具有下列形式的函数项级数 ∑anx=an+a1x+a2x2+…+anxn+…称为幂级数 (∑an1(x-x0)令x-x0=t即上述形式) 取ⅹ=x1∑anx为常数项级数,如收敛,其和为s(x) X=x2∑anx2为常数项级数,如收敛,其和为s(x2) x=xs(x)为和函数lmsn(x)=s(x),x=0,总收敛 对幂级数主要讨论两个问题 (1)幂级数的收敛域 (2)将函数表示成幂级数 幂级数的收敛域具有特别的结构 定理:(i)如∑anx在x=x0(x0≠0)收敛,则对于满足N|xl的一切x ∑anx"发散 证:(1)∵∴∑anx收敛→ lim a.x=0 n=0 n→ nx<k(收敛数列必有界) k 为几何级数,当11即网<d收 ∑x收∴原级数绝对收敛

II 幂级数： 1 0 定义，具有下列形式的函数项级数  = + + + + +  n=0 n n 2 0 1 2 n a n x a a x a x  a x 称为幂级数 (( n n 0 n 0 a (x − x )  = 令 x x t − 0 = 即上述形式)) 取 x = x1   n=0 n nx1 a 为常数项级数，如收敛，其和为 s(x )1 x = x2  n n x2 a 为常数项级数，如收敛，其和为 s(x ) 2 x = x s(x) 为和函数 lim s (x) s(x) n n = → , x = 0,总收敛 对幂级数主要讨论两个问题 （1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数 幂级数的收敛域具有特别的结构 定理：（i）如   n=0 n a n x 在 x = x0 (x 0) 0  收敛，则对于满足 x  x0 的 一切 x n n 0 an x  = 都绝对收敛 （ii）如   n=0 n a n x 在 x = x1 发散，则对于满足 x  x0 的一切 x   n=0 n anx 发散 证：（1）∵   n=0 n n x0 a 收敛 lim a x 0 n n 0 n → = → ∴ a x k n n 0  （收敛数列必有界） 而 n 0 n 0 n n 0 n n x x k x x a x = a x  n n 0 x0 x  k          = 为几何级数，当 1 x x 0  即 x  x0 收 ∴  n a n x 收 ∴ 原级数绝对收敛

(2)反证:如存在一点x2(x2|>x1)使∑anx收 则由(1)∑anx收,矛盾。 由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R 使冈R发,称R为收敛半径 20幂级数的收敛半径及其求法 定理:如幂级数∑ax”系数满足m+=p(或ha=p) 则(1)0<p<+∞ R R=+00 (3)p=+∞ R=0 注意:当ⅹ=±R∑anx"的敛散性不能确定,要讨论∑an(±R) 例1:求下列幂级数的收敛域 (1)∑ n 2n+1 (3)+mx21 n=0(-3)2+2 解:(1)lm 3故R= n+13 原级数为∑(-1) 为交错级数,满足 0∴收敛

（2）反证：如存在一点 2 x ( x x ) 2  1 使   n=0 n n x2 a 收 则由（1）   n=0 n n x1 a 收，矛盾。 由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数 R， 使 x  R 收， x  R 发，称 R 为收敛半径 2 0 幂级数的收敛半径及其求法 定理：如幂级数   n=0 n a n x 系数满足 =  + → n n n a a 1 lim ( lim a ) n n n =  → 或 则（1） 0    +  = 1 R （2）  = 0 R = + （3）  = + R = 0 注意：当 x = R   n=0 n a n x 的敛散性不能确定，要讨论    n=0 n n a ( R) 例 1：求下列幂级数的收敛域 （1）  −  = − n 1 n n n 1 n 3 x ( 1) （2）  −  n=1 n n n n x ( 1) （3）   + = − n 1 n 1 x n ln(1 n) （4）  − +  = + n 0 n n 2n 1 ( 3) 2 nx 解：（1） 3 3 n n 1 3 lim a a lim n n 1 n n n 1 n  = + = + → + → 故 3 1 R = 当 3 1 x = 原级数为  −  = − n 1 n 1 n 1 ( 1) 为交错级数，满足 n un 1 n 1 1 n 1 u = + + =  lim un 0 n = → ∴ 收敛

x=1原级数为-∑发 n=0√n .收敛域为( 解(2)由于 limani=lm ∴R n→an 故收敛域为(-∞ +∞ 解(3)lin In(n+2)n 1h(n+1) In n+In(1+ =lim n→∞n+1 hn+ln(1+-) ∴R 当x=1原级数为∑1+n 发c:如(1+n X=-1原级数为∑(-1) hx1+n)为交错级数 满足(1)mun=bl(1+n)=0 (2)设fx)sh(1+x) X≥2 1+x 1 ∴f(x)<0f(x)单调减,∴u ln(1+n)h(2+n) 故∑(-D+n收敛:收敛域为1,1)

当 3 1 x = − 原级数为−   n=0 n 1 发 ∴ 收敛域为 ] 3 1 , 3 1 (− 解（2）由于 0 n 1 lim a lim n n n n = = → → ∴ R = + 故收敛域为 (−, + ) 解（3） ln( n 1) n n 1 ln( n 2) lim a a lim n n n 1 n +  + + = → + → 1 ) n 1 ln n ln(1 ) n 2 ln n ln(1 n 1 n lim n = + + + +  + = → ∴ R =1 当 x = 1 原级数为   + n=1 n ln(1 n) 发 ) n 1 n ln(1 n) ( n2  +  x = −1 原级数为  + −  n=1 n n ln(1 n) ( 1) 为交错级数 满足（1） 0 n ln(1 n) lim u lim n n n = + = → → （2）设 x ln(1 x) f(x) + = x  2 2 x ln(1 x) 1 x x f (x) − + +  = ，当 x  2， 1 1 x x  + ，ln(1+ x) 1 ∴ f(x)  0 f(x) 单调减， ∴ n un 1 n 1 ln( 2 n) n ln(1 n) u = + + +  + = 故  + −  n=1 n n ln(1 n) ( 1) 收敛 ∴ 收敛域为[-1，1）

解(4)lmn (n+1)(-3)2+2 n(-3)-++2n 1(-3) 1+(--) lim n→-3+2(-2)3 < ∴R 当x=√3 原级数为∑ (-3) m u n→0 (-) 发散 同理x=-3级数也发散收敛域(√3,3) 例、P281 例7.20、721 20幂级数的性质P282 求幂级数的和函数:利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其 化为可求和的形式,即化到公式: 1+x+一+ (-1)x2=1-x+x (-1)-x2+…,(-1,1)

解（4） n ( 3) 2 ( 3) 2 (n 1) x lim u u 1 lim n n n 1 n 1 n 2 n n n − +  − + + = + + + → → n n n n n 2 3( 3) 2 2 ( 3) 2 n n 1 x lim − − +  − +  + = → 2 n n n 2 x 3 1 ) 3 2 3 2( ) 3 2 1 ( x lim = − + − + − = → 令 x 1 3 1 2  x  3 ∴ R = 3 当 x = 3 原级数为 ( )  − +   n=1 n n n 3 3 2 n 3 ( ) ( ) 0 3 2 1 n 3 lim 3 2 n 3 lim u 3 lim n n n n n n n n n        − + = − +  = → → → ∴ 发散 同理 x = − 3 级数也发散 ∴收敛域 (− 3, 3) 例、P281 例 7.20、7.21 2 0 幂级数的性质 P282 求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其 化为可求和的形式，即化到公式： =  = + + + + + (−  +)  = , , n! x 2! x 1 x n! x e 2 n n 0 n x   ( 1) x 1 x x ( 1) x , ( 1,1) 1 x 1 2 n 1 n n 0 n n =  − = − + − + − + − + −  =  

1+ 1,1 h(1+x)=∑(-1)-x=x (-11 2n+ 2n+ six=∑(-1 (2n+1) (-1 n=0 (-1) 2!4!6! (-1) +x)=1+ax+ (a-1)(x-n+1) (-1,1) 在端点的敛散性与a有关。 例、P284例722、723 例、求下列幂级数的和函数 ∑n(n+1)x 解1、lim=lin u y(n+1)(n+2) R=1,x=±1,un→0,∴收敛域为(-1,1) 令S(x)=∑n(n+1)x2=x∑(n+lhx2

x 1 x x x , ( 1,1) 1 x 1 2 n n 0 n =  = + + + + + − −  =   ( ) ( ) , ( 1,1 4 x 3 x 2 x x n x ln 1 x 1 2 3 4 n 1 n n 1 + =  − = − + − + −  = −  ( ) ( ) ( ) ( )  + +  = − + − + + − + = − +  = + 2n 1 ! x 1 7! x 5! x 3! x x 2n 1 ! x sinx 1 2 n 1 n 3 5 7 n 0 2 n 1 n (− ,+) ( ) ( ) ( ) ( ) =  − = − + − ++ − +  = 2n ! x 1 6! x 4! x 2! x 1 2n ! x cosx 1 2 n n 2 4 6 n 0 2 n n (− ,+) ( ) ( ) ( ) ( ) x , ( 1,1) n! 1 n 1 x 2! 1 1 x 1 x 2 n + −   −  − + + +   − + = +  +     在端点的敛散性与α有关。 例、P284 例 7.22、7.23 例、求下列幂级数的和函数 1、  ( + )  n=1 n n n 1 x 2、    + n=0 n n 2 x n! 2 1 n 解 1、 ( )( ) ( ) x x n n 1 n 1 n 2 x lim u u lim n n 1 n n n 1 n = +  + + = + → + → R=1，x=±1，un→0，∴收敛域为（-1，1） 令 ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n 1 n S x n n 1 x x n 1 nx −  =  = =  + =  + ( ) 3 2 n 1 n 1 1 x 2x 1 x x x x x − =          − =        =   = + （-1，1）

tn 解2、∑ +n n!(2 lim-n+=0 收敛域(-∞,+∞) 令S(t)=∑ n! n=In! n t n(n-1)!n2(n-2)! e+ te +t 故S(x)=e21+ o+O 例、利用计算幂级数的和函数,求下列级数的和 (-) 解5(2里=m()+(-)=8+ 记:S1(x)=∑n(n-1x=x2∑n(n-1)x2 2x 2)27

解 2、   +  =     +   =  n 0 n=0 n 2 n 2 t n! 1 n 2 x t 2 x n! 1 n 0 u u lim n n 1 n = + → 收敛域（-∞，+∞） 令 ( )  =  +  + =  =  =  = n 1 n 2 n 0 n n 0 n 2 t n! n n! t t n! 1 n S t ( ) ( )  − − +  = + − = +  =  = n 1 t n n 1 t n t n 1 ! n 1 1 t e n 1 ! n e ( ) ( )  −  + − = +  =  = n 2 n n 1 n t t n 2 ! 1 n 1 ! t e t t 2 t = e + te + t e 故 ( )         = + + 4 x 2 x S x e 1 2 2 x ，(−,+) 例、利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和 ( ) n 2 n 0 n 2 n n 1 1 − +  −  = 解： ( ) ( ) 1 2 n 0 n 0 n n n 0 n 2 n S S 2 1 2 1 n n 1 2 n n 1 S 1    = +       + −       = − − − + = −  =  =  = 3 2 2 1 1 1 S2 = + = 记： ( ) =  ( − ) =  ( − )  = −  = n 2 2 n 2 n 0 n S1 x n n 1 x x n n 1 x （-1，1） ( )          − =        =  − =   =  = − 1 x x x n n 1 x x x x 2 2 x 2 2 n n 2 2 n 2 ( ) 27 4 2 1 S 1 x 2x 3 1 2  =      − − = ∴ ( ) 27 22 3 2 27 4 2 n n 1 1 n 0 n 2 n  = + = − + −  =

3将函数展开成幂函数 1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数f(x)在x0的某邻城内具有任意阶导数,则级数 (x0) n! 称为f(x)在x=x0点的泰勒级数 特别当xo=0,则级数 (), fo、f"(o) fn(0) lL 称为f(x)的麦克劳林级数 2、函数f(x)展开成泰勒级数的条件(x-x<R) f()能展开成泰勒级数:f()=至a(-xf 收敛于f(x) e lim R(x)=0 R,(x) x在x0,x之间 (n+1)! 3、幂级数展开式的求法 方法1、直接法:计算a, f(x0) 证明:mRn(x)=0 n xf(x)=f(xo)+f(xoXx-xo)+ f"(xo (x-x0) 方法2、间接法:利用已知的幂级数展开式,通过变量代换四则运 算,逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式

3 0 将函数展开成幂函数 1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数 f(x) 在 0 x 的某邻城内具有任意阶导数，则级数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 h 0 n 0 0 n x x 2! f x x x 1! f x x x f x n! f x −  − +   − = +  = ( ) ( ) ++ 0 ( − 0 ) n + n x x n! f x 称为 f(x) 在 x = x0 点的泰勒级数 特别当 x0 = 0 ，则级数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++ +  +   = +  = n n 2 h 0 n n x n! f 0 x 2! f 0 x 1! f 0 x f 0 n! f 0 称为 f(x) 的麦克劳林级数 2、函数 f(x) 展开成泰勒级数的条件 (x x R) − 0  f(x) 能展开成泰勒级数： ( ) ( ) ( ) =  −   ( − )  =  = n 0 n 0 0 n n 0 n n 0 x x n! f x f x a x x 收敛于 f(x)  lim Rn (x) 0 n = → ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n x n 1 ! f R x + +  +  =  在 0 x ，x 之间 3、幂级数展开式的求法 方法 1、 直接法：计算 ( ) ( ) n! f x a 0 n n = 证明： lim Rn (x) 0 n = → 及 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( − ) +  = +  − + 2 0 0 0 0 0 x x 2! f x f x f x f x x x ( ) ( ) + 0 ( − 0 ) n + n x x n! f x 方法 2、 间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运 算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式

例将下例函数展开成(x-x0)的幂函数 ()f(x)=h3x (2)f(x) 1+x (3)f(x) (4)f(x)= 0 x2+3x+2 解(1)f(x)=h3x=h(3x-6+6)=hn61+~2 2 =hn6+ (([2 =h6+∑(-1)(x-2)0<x≤4 解2)f(y=1 32(x-1)+5512 (x-1) 3 ∑(-1)2-(x- <X<

例 将下例函数展开成 ( ) x − x0 的幂函数 ⑴ f(x) = ln 3x x0 = 2 ⑵ ( ) 2x 3 1 f x + = x0 =1 ⑶ ( ) x 3x 2 1 f x 2 + + = x0 =1 ⑷ ( ) ( ) 2 1 x 1 x f x − + = x0 = 0 解⑴ ( ) ( )       − = = − + = + 2 x 2 f x ln 3x ln 3x 6 6 ln 6 1       − = + + 2 x 2 ln 6 ln 1 ( ) n 2 x 2 ln 6 1 n n 1 n 1       − = +  −  = − ( ) ( ) n n n 1 n x 2 2 n 1 = ln 6+  −1 −  = 0  x  4 解⑵ ( ) ( ) (x 1) 5 2 1 1 5 1 2 x 1 5 1 2x 3 1 f x + − =  − + = + = ( ) ( ) n n 0 n n n x 1 5 2 1 5 1 =  − −  = (− ) ( − )  = + n 0 n n 1 n n x 1 5 2 1 2 3 x 2 3 −  

解(3)f(x) (x+1)(x+2)x+ 其中 12+(x-1) X-1 l<x<3 ∑(-1 x+23+(x-1)3 x+1x+2 (( n+2n+1x-1 1<X<3 2x2+4x+12 如f(x)=h(-x+x2) =hn(+x3)-hn(+x) 1+X ∑(1)1(k2n-x)(-1, n 解(4)f(x)= 1+x2+(x-1)2 其中 x"|=2∑ ∑x2=2∑n+1)x2-∑

解⑶ ( ) ( )( ) x 2 1 x 1 1 x 1 x 2 1 f x + − + = + + = 其中 ( ) ( )       − = −       − + = + − = +  n=0 n n 2 x 1 1 2 1 2 x 1 2 1 1 2 x 1 1 x 1 1 1 2 x 1 1  − −  ，−1 x  3 ( )  ( )       − = −       − + =  + − = +  n=0 n n 3 x 1 1 3 1 3 x 1 1 1 3 1 3 x 1 1 x 2 1 − 2  x  4 ∴ ( )  ( ) ( − )      = − − + − + =  = + + n 0 n n 1 n 1 n x 1 3 1 2 1 1 x 2 1 x 1 1 f x −1 x  3 （如 x0 = 0 ， ( ) 2 x 1 1 2 1 1 x 1 f x + −  + = ( ) 2x 3 1 5 1 x 4 1 5 2 2x 4x 12 x 2 f x 2 + +  + =  + + + = 如 ( ) ( ) ln (1 x ) ln(1 x) 1 x 1 x f x ln 1 x x ln 3 3 2 = + − +         + + = − + = =  (− ) ( − )  = − n 1 n 1 3n n x x n 1 1 (−1 ，１ ） 解⑷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 1 x 2 1 x 2 x 1 1 x 1 x f x 2 2 2 − − − = − + − = − + = 其中 ( ) ( ) =         =           − = −  = −  = n 1 n 1 n 0 n 2 2 x 2 nx 1 x 2 1 x 2 ( ) =  −  = ( + ) −  = ( + )  =  =  =  =  = − n 0 n 0 n n 0 n n n 0 n n 1 n 1 f x 2 nx x 2 n 1 x x 2n 1 x −1 x 1

例P291例7287.29 例模拟试题习题提示 例设有两条抛物线y=m2+和y=(n+1x2+-记它们交点的 n 横坐标的绝对值为an (1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积sn (2)求级数∑≌n的和 解: 得 y=(n+1x2+ vn(n+1) n+1 ∵所围平面图形对称y轴 S=2 an n+ 0(n(n+1 +Ja+-3√(+ 3n(n+1)yn(n+1) S 3n(n+ nn+1sup (u +u,+…+u n=la n→)0

例 P291 例 7.28 7.29 例 模拟试题 习题提示 例 设有两条抛物线 n 1 y nx 2 = + 和 ( ) n 1 1 y n 1 x 2 + = + + 记它们交点的 横坐标的绝对值为 n a ⑴求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 n s ⑵求级数   n=1 n n a s 的和 解：  ( )     + = + + = + n 1 1 y n 1 x n 1 y nx 2 2 得 n(n 1) 1 a n + = ∵ 所围平面图形对称 y 轴  ( )       + = + − + − an 0 2 2 n dx n 1 1 n 1 x n 1 s 2 nx ( ) ( ) ( ) ( ) 3 an 0 2 n n 1 1 3 2 n n 1 1 n n 1 2 x dx n n 1 1 2         + − +  +  =         − + = n(n 1) n(n 1) 1 3 4 + + = ( ) n n n u n 1 1 n 1 3 4 3n n 1 4 a s  =      + = − + = ( ) 1 2 2 n 1 n n n lim u u u a s  = + + + →  =  3 4 n 1 1 lim 1 3 4 n  =      + = − →