2000级概率论与数理统计试题考试时间:120分钟试卷总分100分 题号 二|三|四五|六|七|八九十总分 装|评卷 一、填空题(满分15分) 1.已知P(B)=0.3,P(A∪B)=0.7,且A与B相互独立,则 P(A) 2.设随机变量X服从参数为的泊松分布,且P{X=0}=,则 订 3.设X~N(2,a2),且P(2<X<4}=02,则P{X<0} 4已知DX=2,DY=1,且X和Y相互独立,则D(X-2Y) 5.设S2是从N(0,1)中抽取容量为16的样本方差,则D(S2)= 、选择题(满分15分) 1.已知事件A,B满足P(AB)=P(AB),且P(A)=04,则P(B) 线 (A)0.4, (B)0.5 (C)0.6,(D)0.7 2.有γ个球,随机地放在n个盒子中(y≤n),则某指定的y个盒子中各 有一球的概率为 (A) (B)C。 (C) 3.设随机变量X的概率密度为f(x)=ce+,则c (A)-2 (B)0 (C) (D)1 4.掷一颗骰子600次,求“一点”出现次数的均值为 (A)50(B)100 (C)120(D)150 5.设总体X在(4-p,+p)上服从均匀分布,则参数的矩估计量 (A) (B) (C) 2 n 计算题(满分60分)
2000 级概率论与数理统计试题 考试时间：120 分钟 试卷总分 100 分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评卷 教师 一、填空题（满分 15 分） 1. 已 知 P(B) = 0.3 , P(A B) = 0.7 , 且 A 与 B 相 互 独 立 ， 则 P(A) = 。 2. 设随机变量 X 服 从 参 数 为 的泊松分布，且 3 1 P{X = 0} = ， 则 = 。 3.设 ~ (2, ) 2 X N ,且 P{2 X 4} = 0.2 ，则 P{X 0} = 4.已知 DX=2，DY=1，且 X 和 Y 相互独立，则 D(X-2Y)＝ 5.设 2 S 是从 N(0,1) 中抽取容量为 16 的样本方差，则 ( ) = 2 D S 二、选择题（满分 15 分） 1.已知事件 A，B 满足 P(AB) = P(AB) ，且 P(A) = 0.4 ，则 P(B) = 。 （A）0.4， （B）0.5， （C）0.6， （D）0.7 2.有 γ 个球，随机地放在 n 个盒子中（γ≤n），则某指定的 γ 个盒子中各 有一球的概率为 。 （A） n ! （B） n C r n ! （C） n n ! (D) n n n C ! 3.设随机变量 X 的概率密度为 | | ( ) x f x ce − = ，则 c＝ 。 （A）－ 2 1 （B）0 （C） 2 1 （D）1 4.掷一颗骰子 600 次，求“一点” 出现次数的均值为 。 （A）50 （B）100 （C）120 （D）150 5.设总体 X 在 ( − , + ) 上服从均匀分布，则参数 的矩估计量 为 。 （A） x 1 （B） − = n i Xi n 1 1 1 （C） − = n i Xi n 1 2 1 1 （D） x 三、计算题（满分 60 分） 装 订 线 班 级 ： 学 号 ： 姓 名 ：
1.某商店拥有某产品共计12件,其中4件次品,已经售出2件,现从剩下 的10件产品中任取一件,求这件是正品的概率 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N(40,100),随机地取5个元件, 求恰有两个元件寿命小于50的概率。(Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772) 3.在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于”的概率。 4.一台设备由三个部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2,0.3,0.4,各部件的状态相互独立,求需要调整的部件数X的期望EX和方 差DX。 5.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均 值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差 (Φ(2.055)=0.98(2.325)=099) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩, 算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认 为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。(tox(35)=2.0301, lo25(36)=2.0281) 四、证明题 1.设A,B是两个随机事件,0P()<1,0P(B)<1,P(B|4)=P(B|,证 明:A与B相互独立。 2设总体X服从参数为A的泊松分布,H1…Xn是X的简单随机样本,试证 1(x+s2)是的无偏估计 2000级概率论与数理统计试题A卷答案 填空题(满分15分) 2.h33.0.34.65.2 选择题(满分15分) 3.C 4.B 三、计算题(满分60分)
1.某商店拥有某产品共计 12 件，其中 4 件次品，已经售出 2 件，现从剩下 的 10 件产品中任取一件，求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布 N（40，100），随机地取 5 个元件， 求恰有两个元件寿命小于 50 的概率。（ (1) = 0.8413，(2) = 0.9772 ） 3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于 5 6 ”的概率。 4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数 X 的期望 EX 和方 差 DX。 5.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，假定有 2％的样本均值与总体均 值之差的绝对值在 4 以上，求总体的标准差。 （ (2.055) = 0.98,(2.325) = 0.99) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩， 算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可认 为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。（ t 0.025 (35) = 2.0301， t 0.025 (36) = 2.0281 ） 四、证明题 1.设 A，B 是两个随机事件，0<P(A)<1，0<P(B)<1， P(B | A) = P(B | A) ，证 明：A 与 B 相互独立。 2.设总体 X 服从参数为 的泊松分布， X Xn , 1 是 X 的简单随机样本，试证： ( ) 2 2 1 X + S 是 的无偏估计。 2000 级概率论与数理统计试题 A 卷答案 一、填空题（满分 15 分） 1. 7 3 2. ln 3 3. 0.3 4. 6 5. 15 2 二、选择题（满分 15 分） 1. C 2. A 3. C 4. B 5. D 三、计算题（满分 60 分）
1.pC3、6+CC7C2x8=067 2.PX<50}=P 50-40 =d(l)=0.8413 令Y= 则Y~B(5,0.8413),因此 P{=2}=C30.8413(1-0.8413)3=00283 10≤x≤1 10≤y≤1 3.f(x) 0其它 0其它 所以(xy)=()(0)=10x105y31 Px+y 4.E(X)=0.9,D(x)=061 P{x-4-=1-02=098,故 2Φ -1=0.98,d =0.99 =2.325,σ=544 6.X~N(66.5,),设H:X=70,H1:X≠70,则 X--1(n-1),故拒绝域为
1. 0.67 10 8 10 7 10 6 2 12 2 4 2 12 1 4 1 8 2 12 2 8 = + + = C C C C C C C P 2. (1) 0.8413 10 50 40 { 50} = = − P X = P , 令 10 − 40 = x Y ，则 Y ~ B(5,0.8413) .因此 { 2} 0.8413 (1 0.8413) 0.0283 2 2 3 P Y = = C5 − = . 3. = 0 其它 1 0 1 ( ) x f x , = 0 其它 1 0 1 ( ) y f y 所以 = = 0 其它 1 0 1,0 1 ( , ) ( ) ( ) x y f x y f x f y 故 25 17 5 6 = P X + Y〈 . 4. E(X ) = 0.9， D(X ) = 0.61. 5. ~ ( , ) 2 n X N ，而 P| X − | 4= 1− 0.02 = 0.98 ，故 1 0.98 4 2 − = n ， 0.99 4 = n ， 2.325 4 = n ， = 5.44. 6. ~ (66.5, ) 2 n X N ，设 H0 : X = 70 , H1 : X 70 ，则 ~ ( −1) − = t n n S X t ，故拒绝域为
w={t≥n(35)或t≤-n(35)},即 w=t≥2030或t≤-20301} 由于t=14不在拒绝域内,故接受H,即可以认为这次考试全体考生的平 均成绩为70分 四、证明题 1. P(B)=P(A)(B A)+P(A)P(B A) LP(A)+P(AP(BIA)=P(BLA)- P(AB) P(A) 所以P(AB)=P(AP(B) 2.E(S)=元,B(x)=+2,故E,(+s)-=k 因此(x+s2)是的无偏估计
= | (35) − (35) 2 2 w t t t 或t t ,即 w = t | t 2.0301或t −2.0301. 由于 t =1.4 不在拒绝域内，故接受 H0 ，即可以认为这次考试全体考生的平 均成绩为 70 分. 四、证明题 1. P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) P A P AB = P A + P A P B A = P B A = ， 所以 P(AB) = P(A)P(B). 2. ( ) = 2 E S ， 2 2 E(Xi ) = + ，故 ( ) = + 2 2 1 E X S ， 因此 ( ) 2 2 1 X + S 是 的无偏估计
