《高等数学》课程电子教案：第一讲 空间解析几何

3°平面曲线弧长 ()曲线:y=()a5X5b5-∫。+f( (2) y() α≤ts阝s 阝 a≤0≤βS 例求下类平面曲线的弧长 .曲线y=n(-x2)相应于0x5的一段 2.心形线r=a(+cos)的全长(a>0) 3.摆线 「x=1-cost 0≤t≤2π的一拱 y=t-sin t 解:1. 1+X1一X +In 3 sin e 2a- cos0+a cos0+a sim-0 d0

3 0 平面曲线弧长 (1) 曲线： y = f(x) a  x  b s 1 f (x)dx b a 2  = + (2) ( ) ( )    = = y y t x x t   t   s x (t) y (t)dt 2 2  =  +   (3) r = r()      () ()    s r r d 2 2  = +  例 求下类平面曲线的弧长 1. 曲线 ( ) 2 y = ln 1− x 相应于 2 1 0  x  的一段 2. 心形线 r = a(1+ cos ) 的全长 (a  0) 3. 摆线    = − = − y t sin t x 1 cost 0  t  2 的一拱 解：1. 2 1 x 2x y − −  = 2 2 2 1 x 1 x 1 y − + +  = dx 1 x 1 x s 2 1 0 2 2  − + = dx 1 x 1 1 x 1 2 1 1 0        − + + = − + 2 1 0 1 x 1 x ln 2 1 − + = − + ln 3 2 1 = − + 2. r() = −a sin  r () r () a 2a cos a cos  a sin  d 2 2 2 2 2 2 2 2 +  = + + + 2 2a 1 cos 2a cos  = +  =

∫2w =2J。c03-c20 =8a 4.S=∫。√“(+y(x-∫。m)+(-)t ∫平m CoS 49向变力沿直线作功液体的水压力P137 空间解析几何 1°向量及其线性运算 P149—P152 向量的坐标表达式及其运算 P153—P154 2向量的数量积的向量积 a=axi +avj+a,k= ()向量积a5=256=b+j+b=,b,b =)同 a 性质:P155

 =   2  0 d 2 S 2a cos   = −        2 0 d 2 d cos 2 2a cos         = −      2 0 2 2sin 2 2a 2sin = 8a 4. S x (t) y (t)dt (sin t) (1 cost) dt 2 0 2 2 2 0 2 2   =  +  = + −    = 2 0 dt 2 t 2sin  = 2 0 dt 2 t 2 sin 2 0 2 t 4 cos       = − = 8 4 0 向变力沿直线作功,液体的水压力 P137 空间解析几何 1 0 向量及其线性运算 P149—P152 向量的坐标表达式及其运算 P153—P154 2 0 向量的数量积的向量积 a = a x i + a y j + azk = a x ,a y ,az     (1)向量积 a b a b cos a,b b = bx i + by j + bzk = bx ,by ,bz          =           ( ) ( ) 2 z 2 y 2 a b x = a b = b a a = a + a + a        性质：P155 x x y y zbz a  b = a b + a b + a  

应用:(i)|ab|=arcs-ab )同 (iii) albea.b=0 例1、习题4,1选择题(1)(2)(3) 2填空题(3)(4)(5) 例2、设同=5问=2|a5-,则-3 解:2-32=(2a-5)(a-5)=42-2a:6+92=76 (2)向量积 =ax b即axba,axb⊥b, 右手定则 即×b),a=0, b=0 性质P155注意a×b=-b×a b

应用：（i） a b a b a b arccos       −  =           （ii） 2 a a a a     =  = （iii） a⊥b  a  b = 0     例 1、习题 4，1 选择题（1）（2）（3） 2 填空题（3）（4）（5） 例 2、设 , 则 2a 3b 2 19 3 π a 5, b 2, a b = − =         = =         解： 2a 3b (2a 3b) (2a 3b) 4 a 2a b 9b 76 2 2 2 − = −  − = −  + =           ∴ 2a − 3b = 2 19   (2)向量积 a b c     = ( )  c = a  b = a b sin a, b        c a, c b a b a, a b b,           ⊥ ⊥ 即  ⊥  ⊥ 右手定则 即 (a  b) a = 0, (a  b) b = 0       性质 P155 注意 a b b a      = −  x y z x y z b b b a a a i j k a b       =

应用(i)SABC= ABaC (ii)a/b←axb=0 (ii)如ac,bLc,则 即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量 例3、习题4,5,2(4) 例4、设知量ab满足ab=3,axb={-1},则 6 3°平面及其方程 已知平面π过点M(x、yo、z0),n={ABC}为兀的法矢量 1>点法式:A(x-x0)+B(y-y)+C(z-z0)=0 2〉一般式:Ax+By+Cz+D=0,A、B、C不全为零。 3〉截距式:X+}+C=1,a,b,分别为平面在x轴、y轴、z轴 上的截距。 π1⊥π2+五1⊥n2 点M6(x、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 Xo Byo t czo t A2+B2+C2

应用（i） AB AC 2 1 SΔABC =  （ii） a//b  a  b = 0     （iii）如 a c, b c, 则 c//(a b)        ⊥ ⊥  即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。 例 3、习题 4，5，2(4) 例 4、设知量 a,b   满足 a  b = 3, a  b = 1,−1,1     ，则 6 π a,b =           解： 3 3 a b a b tan a, b =   =                ∴ ( ) 6 π a, b =   3 0 平面及其方程 已知平面过点 M0（x0、y0、z0）， n = A, B, C  为的法矢量。 1> 点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C 不全为零。 3> 截距式： 1 z c b y a x + + = ，a，b，分别为平面在 x 轴、y 轴、z 轴 上的截距。 π1 ⊥ π 2  1 n  ⊥ 2 n  π1 ∥ π 2  1 n  ∥ 2 n  点 M0(x0、y0、z0)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D d + + + + + =

例1、习题4.13 求通过点P(2,-1,-1),Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的 平面方程。 解:QP={-3-4,已知平面的法矢量1={3-} QPxn=1-3-4=27-5+9 取n={9-13 所求面为:9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即:9x-y+3z-16=0 例2、习题4、11 解:(1)解法一:设平面方程:x+By+D=0 将点M(2,-1,0),M(3,0,5)分别代入得 2-B+D=0 →B=-1 平面方程为:xy-3=0 3+D=0 解法二:五k,n⊥M1M xM-001=-1+1取={小 (x-2)+(y+1)=0得平面方程:xy-3=0 (2)设平面方程为y+Cz+D=0即 -DD D=5 D 得 ∴y+,z-5=0 D 5z-10=0

例1、 习题 4.13 求通过点 P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面 2x+3y-5z+6=0 的 平面方程。 解： QP = 1,−3,− 4 ，已知平面的法矢量 n1 = 2,3,− 5  27i 3j 9k 2 3 5 1 3 4 i j k QP n1        = − + −  = − − 取 n = − 9,−1,3  所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即：9x-y+3z-16=0 例2、 习题 4、11 解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0 将点 M1(2,-1,0)，M2(3,0,5)分别代入得      + = → = − − + = → = − 3 D 0 D 3 2 B D 0 B 1 ∴平面方程为：x–y–3=0 解法二： n k   ⊥ ， n⊥M1M2  i j 1 1 5 0 0 1 i j k k M1M2        = = − + 取 n = −1, 1  -(x–2)+(y+1)=0 得平面方程：x–y–3=0 (2)设平面方程为 y+Cz+D=0 即 1 C D z D y = − + − ∴     − = − = 2 C D D 5 得 D 5 2 5 C = − = ∴ 2y 5z -10 0 z 5 0 2 5 y + = + − =

4直线及其方程 1>空间直线的一般方程 AjX+By+CIz+D,=0 A2x+Byy+C2z+D =0 点向式(对称式) 直线过点M(xo、yo、2),§={mnp为L方向向量 则L X=Xo mt 3>参数式L:{y=y0+mt为参数 Z=Xo + pt L∥L2纱s1∥52 L:⊥L2 ⊥ 5°直线与平面关系 1>L∥π分s⊥n 即s.n=0 2L⊥π4§∥n B C m n p 3>点P到直线L的距离,L的方向向量={np,M为L上一点 OpX 例3、习题42、(7)、(8) 解(7)直线 x-2y+4z+1 即所求平面法向量 n={13,} 由点法式-(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0 即x-3y-z+3=0

4 0 直线及其方程 空间直线的一般方程 L：    + + + = + + + = A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 2 2 2 2 1 1 1 1 点向式（对称式） 直线过点 M0(x0、y0、z0)， s = m, n,p  为 L 方向向量 则 L： p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 参数式 L：      = + = + = + z x pt y y nt x x mt 0 0 0 t 为参数 L1∥L2 1 s   ∥ 2 s  L1⊥L2 1 s   ⊥ 2 s  5 0 直线与平面关系 L∥π s   ⊥ n  即 s n = 0   L⊥π s   ∥ n  p C n B m A = = 点 P 到直线 L 的距离，L 的方向向量 s = m, n,p  ，M0为 L 上一点 s M P s d 0    = 例 3、 习题 4 2、(7)、(8) 解(7) 直线 1 z 1 3 y 4 1 x 2 + = + = − − 即所求平面法向量 n = -1,3,1  由点法式 -(x–1)+3(y–2)+(z+1)=0 即 x–3y–z+3=0

(8)设平面方程为x+B+Cz=0,五={BC}n1={-12} n1n=0得4-B+2C=0 B=1 点(6-3,2)代入平面,得:6-3B+2C=0C=-3 所求平面2x+2y-3z=0 平面束方程 直线L:Ax+By+Cz+D1=0 A2x+B2y+C2z+D WJAX+By+C1+D1+2(A2X+B2y+C2Z+D2) 为过直线L的除平面A2x+B2y+C2z+D2=0外的平面束方程 例一平面过直线L: x一2y+z+7=0 ,且在z轴有截距-3,求 它的方程 解:过直线L的平面束方程为:3x+4y-2z+5+(x-2y+z+7)=0 (入+3)x+(4-2)y+(-2)z+7+5=0 据题意 λ=-代入平面束方程,得:x+38y-19z-57=0

（8）设平面方程为 x + By + Cz = 0，n = 1,B,C, n1 = 4,−1,2   n1  n = 0   得 4 − B + 2C = 0 → B = 1 点 (6, −3, 2) 代入平面，得： 6 − 3B+ 2C = 0 2 3 C = − 所求平面 2x + 2y − 3z = 0 平面束方程 直线 L：    + + + = + + + = A x B y C z D 0 A x B y C z D 0 2 2 2 2 1 1 1 1 则 A1x + B1y + C1 z + D1 + (A2x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 为过直线 L 的除平面 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 外的平面束方程 例 一平面过直线 L：    − + + = + − + = x 2y z 7 0 3x 4y 2z 5 0 ，且在 z 轴有截距− 3 ，求 它的方程 解：过直线 L 的平面束方程为: 3x + 4y − 2z + 5 + (x − 2y + z + 7) = 0 即 ( + 3)x + (4 − 2)y + ( − 2)z + 7 + 5 = 0 据题意 4 11 3 2 7 5 = = − − +    4 11  = − 代入平面束方程，得： x + 38y −19z − 57 = 0

习题4,2,(9) 例己知两直线方程L1:x1=y-2=2-3 X+2 y 1221=1,则过L且平行L2的平面方程是 x-3y+z+2=0 过L1的平面束方程:x+z-4+(y-2)=0 x+y+Z 由平行L2∴§·n=0得λ=-3 所求方程为:x-3y+z+2=0 例已知平面r:y+2z-2=0直线L 2x-y-2=0 l3y-2z+2=0 (1)直线L和平面x是否平行? (2)如直线L与平面x平行,则求直线L与平面x的距离,如不平 行,则求L与r的交点。 (3)求过直线L且与平面x垂直的平面方程 解:丌法矢量n={o,1 k L的方向向量52-10=2+41+6k,取-{2引 n·s≠0 ∵.L与π不平行

习题 4 , 2 ,(9) 例 已知两直线方程 1 z 3 0 y 2 1 x 1 L : 1 − − = − = − 1 z 1 y 1 2 x 2 L2: = − = + ，则过 L1 且平行 L2 的平面方程是 x − 3y + z + 2 = 0 解：    − = + − = y 2 0 x z 4 0 L1:       s = 1, 0, −1  过 L1 的平面束方程： x + z − 4 + (y − 2) = 0 即       x + y + z − 4 − 2 = 0 n = 1, , 1  由平行 L2 ∴ s  n = 0   得  = −3 所求方程为： x − 3y + z + 2 = 0 例 已知平面  : y + 2z − 2 = 0 直线    − + = − − = 3y 2z 2 0 2x y 2 0 L : （1）直线 L 和平面  是否平行？ （2）如直线 L 与平面  平行，则求直线 L 与平面  的距离，如不平 行，则求 L 与  的交点。 （3）求过直线 L 且与平面  垂直的平面方程 解：  法矢量       n = 0, 1, 2  L 的方向向量 s  ∥ 2i 4 j 6k 0 3 2 2 1 0 i j k       = + + − − , 取 s = 1, 2, 3  ∵ n  s  0   ∴ L与 不平行

y 解 x-y-2=0得交点(1,0,1) 解二、将L化为点向式x=y+2=三+2,(在L中令x=0, 即(0 2)为L上的一点),化 为参数式 y=2t-2代入得8t=8t=1,得交点(,0,1) Z=3t-2 过直线L的平面束方程:2x-y-2+3y-2z+2)=0 即2x+(37-1)y-2入z+2x-2=0 所求平面:x-2y+z-2=0

解一、      − + = − − = + − = 3 2 2 0 2 2 0 2 2 0 y z x y y z 得 交点（1，0，1） 解二、将 L 化为点向式 3 2 2 2 1 + = + = x y z ，(在 L 中令 x = 0 ， 得 y = −2,z = −2 ，即 (0, − 2, − 2)为L 上的一点)，化 为参数式      = − = − = z 3t 2 y 2t 2 x t 代入  得8t = 8 t = 1, 得交点(1, 0, 1) 过直线 L 的平面束方程： 2x − y − 2 + (3y − 2z + 2) = 0 即 2x + (3 −1)y − 2z + 2 − 2 = 0 ∵ 1 ⊥  3 − 1− 4 = 0  = −1 所求平面： x − 2y + z − 2 = 0